重难点专题 有理数的运算（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 有理数的运算 2.1有理数的加法 重难点一 有理数的加减运算 1. 同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3. 一个数与0相加 法则：仍得这个数。 1．若，，且，则的值为（ ） A．或11 B．1或 C．或 D．11或1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，有理数的加法运算，掌握知识点的运用是解题的关键． 首先依据绝对值的定义求出、，然后结合条件，进行分类计算即可． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴，或，， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或； 故选：． 2．如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，熟练掌握法则是正确解决本题的关键．根据横向、纵向的分数之和相等，列式即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点二 有理数的加法实际应用 一、明确实际情境中的“正负意义” 1. 确定基准量：将题目中的某个量规定为“0”，以此为标准定义正数和负数。例如： · 收入/盈利记为“+”，支出/亏损记为“-”； · 上升/向东记为“+”，下降/向西记为“-”； · 高于标准记为“+”，低于标准记为“-”。 关键步骤：在解题前用文字清晰标注正负所代表的实际含义，避免混淆。 二、将实际问题转化为数学算式 1. 提取数据并标注符号：根据第一步的规定，将题目中的具体数值加上正负号。例如：“盈利50元”记为“+50”，“亏损30元”记为“-30”。 2. 确定运算类型：题目中若出现“合计”“总和”“一共”等表示累加的词语，直接列出有理数加法算式。例如：两天的盈亏分别为+50和-30，总盈亏算式为“(+50)+(-30)”。 三、运用有理数加法法则计算结果 1. 同号相加：取相同符号，绝对值相加。 2. 异号相加：取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 3. 与0相加：任何数加0仍得原数。例：(-12)+0=-12。 1．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．五袋优质大米以每袋为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重记录（单位：）如下：，，，，，那么这五袋大米共超重 ，总质量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，将五个记录数据相加得到净超重量，再计算总质量即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算记录值的和：，故超重， 总质量为， 故答案为：，． 3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“”，向西记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客），请回答： (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ (2)若小王的出租车每千米需油费0.4升，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需耗油多少升？ (3)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 【答案】(1)小王在出发地的正西方向，距出发地3千米． (2)10.8升． (3)86元． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正数与负数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）通过计算所有行程的代数和确定最终位置的方向和距离． （2）计算所有行程的绝对值得总路程，再乘以每千米耗油量． （3）根据收费规则，对每个行程单独计算车费后求和． 【详解】（1）解：（1）， ∵ 结果为负， ∴ 小王在出发地的正西方向，距出发地3千米． （2）解：总路程：（千米）． 耗油量：（升）． 答：共需耗油升． （3）解：计算每个行程车费： 第一个行程：，车费元． 第二个行程：，车费元． 第三个行程：，车费元． 第四个行程：，车费元． 第五个行程：，车费元． 第六个行程：，车费元． 总车费：元． 答：收到乘客所给车费共86元． 2.2有理数的减法 重难点一 有理数加减混合运算 一、统一运算符号 将算式中的减法转化为加法，依据是有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。具体操作是把所有“-”号后面的数（包括其前面的符号）都变为它的相反数，并将运算符号统一为“+”。 二、运用运算律简化计算 在进行有理数加法运算时，合理运用加法交换律和结合律能有效简化计算过程。加法交换律指两个数相加，交换加数的位置，和不变，即；加法结合律指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。常见的结合方式有： 1. 同号结合：把所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加。 2. 凑整结合：将能凑成整数的数结合相加，如互为相反数的两个数结合（其和为0）、能凑成整十、整百的数结合。 3. 同分母或易通分分数结合：对于分数运算，将同分母的分数或容易通分的分数结合相加，可减少通分的麻烦。 1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解题意是解题关键．根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，， 故选：C． 2．对有理数a、b规定一种新运算“*”：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解新规定运算法则是解题关键．根据新规定运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算，熟记有理数加法、减法运算法则是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律，再由有理数加法运算求解即可得到答案； （2）将算式中的减法转化为加法，再利用有理数加法运算的交换律与结合律求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点二 有理数加减简便运算 一、相反数结合法 将互为相反数的两个数先相加，和为0，简化运算。 二、同号结合法 把所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加，再将两个结果相加。 三、同分母分数结合法 若算式中有分数，先将分母相同的分数结合相加，便于通分计算。 四、凑整法 将能凑成整数（整十、整百等）的数结合相加，简化计算过程。 五、拆项法（适用于带分数） 把带分数拆成整数和分数两部分，再分别结合计算。 六、利用运算律交换结合 灵活运用加法交换律（a+b=b+a）和加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)），调整数的位置和组合顺序，使计算简便。 1．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 2．计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算，计算过程中可以运用运算律进行简便计算． 运用加法交换律和结合律把能凑成整数的两个数结合起来，进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 首先把小数转换成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； 运用加法交换律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 重难点三 拆项法 一、拆项法的概念与核心思想 拆项法是有理数运算中一种重要的简便计算技巧，其核心思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的代数和（差）形式，使得拆分后的分数在后续运算中能够相互抵消，从而简化计算过程。它主要适用于分母为两个或多个连续整数乘积形式的分数加减运算。 二、拆项法的基本公式与推导 1. 基本公式（分母为两个连续整数乘积）： 对于形如 的分数，可以拆项为： 推导过程： 设，通分可得。 则分子需满足：，即 。 对于任意 (n)（）等式成立，因此有： ，解得。 所以。 2. 扩展公式（分母为两个相差(d)的整数乘积）： 对于形如（(d) 为正整数）的分数，可以拆项为： 推导过程： 类似地，设，通分后分子为 ，即 。 可得，解得。 因此。 当 时，即为基本公式。 三、拆项法的应用步骤 1. 观察算式结构：判断算式中是否存在分母为两个整数乘积形式的分数，且分子为常数（通常为1或能转化为1的形式）。 2. 选择合适公式：根据分母中两个整数的差值，选择基本公式（差值为1）或扩展公式（差值为(d)）。 3. 进行拆项变形：将每个符合条件的分数按照选定公式拆分成两个分数的差（或和）。 4. 相互抵消计算：拆项后，观察是否存在“相反数”项，这些项在加减运算中可以相互抵消，最终简化为少数几项的运算。 5. 计算结果：对剩余的项进行常规有理数运算，得出最终结果。 1．计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的交换律与结合律：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：. 故选：B ． 2．计算的值为 ． 【答案】 【分析】根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 【详解】解： ＝+…+ ＝1﹣+…+ ＝1﹣ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 3．阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2.3有理数的乘法 重难点一 有理数的乘法运算律 一、乘法交换律 应用方法：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。即：(a×b = b×a)。 操作步骤： 1. 观察算式中因数的位置，当需要调整因数顺序以简化计算时使用。 2. 交换因数位置后，先确定积的符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。 二、乘法结合律 应用方法：三个或三个以上有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即：((a×b)×c = a×(b×c))。 操作步骤： 1. 观察算式中哪些因数结合相乘后绝对值为整十、整百等易算结果，或能凑出互为倒数的数。 2. 用括号将选定的因数结合在一起，先计算括号内的乘积（注意符号规则），再与其他因数相乘。 三、乘法分配律 应用方法：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：(a×(b + c)=a×b + a×c)；逆用：(a×b + a×c = a×(b + c))。 操作步骤（正向使用）： 1. 确定括号外的因数(a)和括号内的两个加数(b)、(c)。 2. 将(a)分别与(b)、(c)相乘，计算出两个积（注意符号）。 3. 将两个积相加，得出最终结果。 操作步骤（逆向使用）： 4. 观察算式中是否有相同的因数(a)，且其他部分(b)、(c)相加（或相减，此时(c)为负数）后计算简便。 5. 提取相同因数(a)，将剩下的部分用括号括起来相加（或相减）。 6. 先算括号内的和（或差），再与(a)相乘。 四、综合运算技巧 1. 符号优先：在所有乘法运算中，先根据“负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负”确定最终结果的符号，再将各因数的绝对值相乘。 2. 凑整优先：利用交换律和结合律，优先将能凑成整数、分数单位（如(0.25×4=1)，）的因数组合相乘，简化计算。 3. 分配律简化复杂运算：当算式中出现一个数乘以多个数的和（或差）时，优先使用分配律展开计算，避免直接计算括号内的复杂加减。 1．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律：或，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题关键．根据有理数乘法的分配律解答即可得． 【详解】解：方法一：． 方法二： ． 故选：C． 2．计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将式子化为，然后根据乘法分配律进行计算，再进行减法计算，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．用简便方法计算：． 【答案】38 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先将变形为，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 重难点二 有理数的乘法实际应用 一、明确问题中的数量关系 1. 识别关键量：仔细阅读题目，找出题目中涉及的已知量和未知量，明确它们之间的运算关系是否为乘法。 2. 区分正负数意义：根据实际情境规定正方向或标准量，确定每个量的正负属性。例如：收入记为正，支出记为负；向东为正，向西为负；上升为正，下降为负等。 二、构建数学模型 1. 列出乘法算式：根据题目中的数量关系，将实际问题转化为有理数乘法算式。若有多个量相乘，需按顺序逐步计算或利用乘法交换律、结合律简化运算。 2. 确定符号规则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负，再将各数的绝对值相乘。 三、分步计算与符号处理 1. 先定符号：根据上述符号规则，先确定最终结果的正负号。 2. 再算绝对值：将各数的绝对值相乘，得到积的绝对值。 3. 组合结果：将符号与绝对值组合，得到算式的结果。 1．某粮站收购了10袋小麦，称重后记录如下（单位：）：91，92，90，89，89，91.2，88.9，91.8，91.1，88．如果每袋小麦以为标准，这10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？（    ） A．不足2千克 B．超过2千克 C．不足3千克 D．超过3千克 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法、减法及乘法的实际应用，读懂题目信息是解题的关键．先求出10袋小麦的总质量，再减去10袋小麦的标准质量，即可得解． 【详解】解：10袋小麦总质量为：， 总计超过：， 所以超过2千克， 故选：B． 2．某食堂购进10袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下： 与标准的偏差（单位：千克） 0 袋数 1 2 3 1 2 1 这10袋大米一共 千克（结果精确到1千克）． 【答案】504 【分析】此题考查了有理数的运算的实际应用，根据题意列式求解即可． 【详解】（千克）． 故答案为：504． 3．某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：(单位：千米) 、、、、、、、 (1)A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在岗亭西边，距离岗亭14千米 (2)这一天共耗油13.6升 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键∶ (1)求出所有数据的和，进行判断即可； (2)求出总路程，再利用总路程乘以每千米的油耗，进行求解即可． 【详解】（1）解：(千米)； 故A处在岗亭西边，距离岗亭14千米； （2）（升）； 答：这一天共耗油13.6升． 2.4有理数的除法 重难点一 有理数的乘除混合运算 一、运算顺序规则 1. 同级运算从左到右：有理数的乘法和除法属于同级运算，在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次计算。 2. 括号优先：若算式中有括号，需先计算括号内的运算，再处理括号外的部分。括号内的运算同样遵循先乘除后加减以及同级运算从左到右的顺序。 二、符号确定方法 1.奇数个负因数得负，偶数个负因数得正：在乘除混合运算中，先确定所有因数（被除数和除数可看作因数，除数的倒数参与运算）的符号。当负因数的个数为奇数时，结果的符号为负；当负因数的个数为偶数时，结果的符号为正。 2.符号与绝对值分离处理：先根据负因数个数确定整体符号，再将所有数的绝对值进行乘除运算，最后将符号与绝对值结果结合。 三、转化为连乘运算技巧 1. 除法变乘法：利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算，使算式变为多个有理数相乘的形式，再按乘法法则计算。 2. 约分简化运算：转化为连乘后，通过分子分母交叉约分简化计算，减少数值大小。 四、分步计算与检查要点 1.分步计算防错：复杂算式可分解为多步，每步只处理两个数的运算，避免因步骤过多出错。 2.检查符号与顺序：完成计算后，复查负因数个数是否正确（符号是否准确）、运算顺序是否遵循“从左到右”或“括号优先”（避免先乘后除的错误）、转化为乘法时倒数是否正确（如除以应转化为乘）。 1．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法，乘除法运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据有理数的减法，乘除法运算法则求解即可； 【详解】解：，故选项A正确，不符合题意； ，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解答本题的关键．先计算有理数除法，再计算有理数乘法，即得答案． 【详解】 ． 故答案为：． 3．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 重难点二 倒数法 一、倒数法的核心原理 1. 倒数的定义 若两个有理数的乘积为1，则这两个数互为倒数。例如，3的倒数是，的倒数是，0没有倒数（因为0与任何数相乘都为0，无法得到1）。 2. 除法转化为乘法 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为： 这一法则是“倒数法”的理论基础，即将除法运算转化为乘法运算，利用倒数的性质简化计算。 二、倒数法的具体步骤 1. 确定符号 根据“同号得正，异号得负”的法则，先判断商的符号： 若被除数与除数同号（同为正数或同为负数），商为正； 若被除数与除数异号，商为负。 2. 转化为乘法 将除数替换为其倒数，把除法算式改写成乘法算式： 3. 计算绝对值 忽略符号，将两个数的绝对值相乘，即： 4.确定最终结果 结合步骤1中判断的符号与步骤3的计算结果，得到最终商。 1．已知，则的值为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算． 先把除法转化为乘法，再根据乘法的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．如果a和b互为倒数，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查倒数的性质以及分式的乘除运算．先根据a、b互为倒数得出，再将除法运算转化为乘法运算，最后代入计算得出结果． 【详解】解：互为倒数， 原式 故答案为． 3．数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 【答案】(1)正确；一个数的倒数的倒数等于它本身 (2) 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数除法的知识，熟练掌握一个非零数的倒数的求解是关键． （1）小明的解答正确，因为一个数的倒数的倒数等于它本身； （2计算原式的倒数，再求倒数即可． 【详解】（1）解：正确；理由：一个数的倒数的倒数等于它本身． （2） ． 2.5有理数的乘方 重难点一 有理数的乘方运算 一、乘方的定义理解 1. 概念解析：求(n)个相同因数(a)的积的运算叫做乘方，记作，其中(a)是底数，(n)是指数，读作“(a)的(n)次方”或“(a)的(n)次幂”。例如表示(3)个(2)相乘，即(2×2×2)。 2. 注意事项：指数(n)为正整数，乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法），其结果是幂。底数可以是任意有理数，包括正数、负数和(0)。 二、符号法则：确定幂的正负性 1. 正数的任何次幂都是正数 例：，，无论指数是奇数还是偶数，正数的幂均为正。 2. 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 · 奇次幂：（指数(3)为奇数，结果为负） · 偶次幂：（指数(2)为偶数，结果为正） 3. 0的正整数次幂是0 例：，注意无意义（初中阶段不讨论）。 三、运算步骤：分两步计算 1. 确定符号：根据底数的正负和指数的奇偶性，按符号法则判断幂的正负。 例：计算，底数为负，指数(3)是奇数，故结果为负。 2. 计算绝对值：忽略底数的符号，将底数的绝对值进行乘方运算，再加上第一步确定的符号。 例：；（正数的“+”可省略）。 四、特殊情况处理 1. 底数为分数或小数的乘方 · 分数乘方：，分子分母分别乘方；。 · 小数乘方：可先化为分数再计算，如，或直接计算(0.5×0.5×0.5 = 0.125)。 2. 区分与表示的相反数，底数是(a)，指数是(n)，如。 · 表示(n)个(-a)相乘，底数是(-a)，指数是(n)，如。 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．的值为 ． 【答案】243 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则，结合乘法运算律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：243． 3．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 2.6有理数的混合运算 重难点一 含乘方的混合运算 1. 明确运算顺序 含乘方的混合运算需严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序。若算式中存在括号，需先计算括号内的运算，且括号内同样遵循上述顺序（先小括号，再中括号，最后大括号）。 2. 准确计算乘方 乘方运算的本质是相同因数的乘法，计算时需注意底数和指数的含义。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正整数次幂是0。 3. 分步处理乘除运算 完成乘方运算后，按照从左到右的顺序进行乘除运算。乘除属于同级运算，优先级相同，不可跳过左侧运算直接计算右侧。 4. 最后进行加减运算 乘除运算完成后，按照从左到右的顺序进行加减运算。加减同样为同级运算，需依次计算。 5. 处理符号问题 运算过程中需时刻关注符号变化，尤其是负数参与运算时。负数的乘方需先判断指数奇偶性确定符号；乘除运算中，同号得正，异号得负。 6. 借助括号改变运算顺序 若题目中存在多层括号，需从内层括号开始逐层计算，每完成一层括号内的运算后，再处理外层括号。 7. 检验运算结果 完成计算后，可通过“反向运算”或“分步复查”检验结果是否正确。反向运算即按照运算顺序倒推每一步是否合理；分步复查则重新核对每一步的计算过程，避免因粗心导致符号错误或数值计算错误。 1．定义一种新运算：，则的结果是（    ） A．3 B．6 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算及有理数的混合运算，解题关键是根据新运算的定义，将给定的数值代入运算式进行计算． 根据新运算的定义，直接代入进行计算即可． 【详解】∵， 故选B． 2．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME－14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂成就，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如．（规定：当时，）八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是．将八进制数换算成十进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：将八进制数换算成十进制数为 ． 故答案为：． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （2）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 重难点二 程序流程图 一、程序流程图的基本概念 程序流程图是用规定的图形符号、指向线和文字说明来表示算法步骤的图形。在有理数运算中，它能将复杂的计算规则转化为清晰的步骤流程，帮助理解运算顺序和条件判断逻辑。 二、有理数运算中常用流程图符号 1. 终端框（起止框）：圆角矩形，表示算法的开始或结束，内部标注"开始"或"结束" 2. 输入/输出框：平行四边形，表示输入数据或输出结果，如"输入有理数a、b" 3. 处理框（执行框）：矩形，表示进行的运算或操作，如"计算a+b" 4. 判断框：菱形，用于条件判断，内部标注判断条件，如"a是否为正数？"，有两个出口（是/否） 5. 流程线：带箭头的线段，表示算法步骤的执行顺序 6. 连接点：小圆点，用于连接不同部分的流程线 三、有理数加法运算流程图设计 1. 开始→输入两个有理数a和b 2. 判断a、b的符号关系： · 若同号（同为正或同为负）→处理框"绝对值相加，保留原符号" · 若异号→判断|a|与|b|大小： · 若|a|>|b|→处理框"用|a|-|b|，结果取a的符号" · 若|a|<|b|→处理框"用|b|-|a|，结果取b的符号" · 若|a|=|b|→处理框"结果为0" 3. 输出计算结果→结束 四、有理数混合运算流程图步骤 1. 开始→输入含加减乘除的有理数算式 2. 判断是否有括号→是：先计算括号内算式（递归调用运算流程） 3. 按"先乘除后加减"顺序处理： · 遍历算式找到乘除运算→计算结果替换原式 · 重复至无乘除运算→按从左到右顺序计算加减 4. 输出最终结果→结束 1．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（    ） A．1 B．2 C．4 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把代入程序中计算得到结果，判断是否大于2输出即可． 【详解】解：输入，， 输入，， 所以输出结果为4． 故选：C． 2．如图是一个计算机的运算程序，若输入的的值为，则输出的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、有理数的混合运算，理解程序的运行过程并掌握代数式的求值方法、有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据运算程序列出关于x的代数式，将代入并计算代数式的值，若结果小于2，则直接输出；否则，将结果作为x的值重复前面的计算即可． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ∵， ∴输出的结果y是． 故答案为． 3．如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 2.7近似数 重难点一 近似数 一、准确理解近似数的概念 1. 区分精确数与近似数 精确数是与实际完全相符的数（如班级人数32人），近似数是与实际接近的数（如测量身高1.65米）。判断时需结合实际情境：测量值、估算值、无法精确计数的数值（如人口数量）通常为近似数。 2. 明确精确度的含义 精确度指近似数与准确数的接近程度，主要通过两种方式体现： 精确到哪一位：如“1.3”精确到十分位，“2.05”精确到百分位。 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。如“0.030”有2个有效数字（3、0），“5.10×10³”有3个有效数字（5、1、0）。 二、掌握近似数的表示方法 1.根据要求取近似数 “四舍五入”法（最常用）： 步骤：①确定精确到的位数；②观察下一位数字，若≥5则进位，若＜5则舍去。 2.特殊情况处理： 精确到某一位后，末尾的“0”不能省略（如2.0精确到十分位，2精确到个位）。 大数取近似时可先改写为科学记数法，再处理（如567800精确到万位：5.678×10⁵→5.7×10⁵）。 1．对按括号内要求取近似值，错误的是（   ） A．1023.3（精确到0.1） B．（保留2个有效数字） C．（精确到十位） D．1023.46（精确到千分位） 【答案】D 【分析】本题考查近似数的取法和科学记数法，根据四舍五入法则和有效数字规则逐一判断各选项是否符合括号内要求． 【详解】解：A、精确到0.1为，原说法正确，不符合题意； B、保留2个有效数字为，原说法正确，不符合题意； C、精确到十位为，原说法正确，不符合题意； D、精确到千分位不为1023.46，原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．用四舍五入法将20.258精确到十分位的结果是 ． 【答案】20.3 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法，精确到十分位需看百分位上的数字，百分位是5，故进位． 【详解】解：20.258精确到十分位，需看百分位上的数字，百分位是5，故向十分位进位，十分位上的2加1变为3，因此结果为20.3． 故答案为：20.3． 3．车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? 【答案】(1) (2)是小王加工的产品不合格 【分析】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是； （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 有理数的运算 2.1有理数的加法 重难点一 有理数的加减运算 1. 同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3. 一个数与0相加 法则：仍得这个数。 1．若，，且，则的值为（ ） A．或11 B．1或 C．或 D．11或1 2．如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么 ． 3．计算： (1)； (2)． 重难点二 有理数的加法实际应用 一、明确实际情境中的“正负意义” 1. 确定基准量：将题目中的某个量规定为“0”，以此为标准定义正数和负数。例如： · 收入/盈利记为“+”，支出/亏损记为“-”； · 上升/向东记为“+”，下降/向西记为“-”； · 高于标准记为“+”，低于标准记为“-”。 关键步骤：在解题前用文字清晰标注正负所代表的实际含义，避免混淆。 二、将实际问题转化为数学算式 1. 提取数据并标注符号：根据第一步的规定，将题目中的具体数值加上正负号。例如：“盈利50元”记为“+50”，“亏损30元”记为“-30”。 2. 确定运算类型：题目中若出现“合计”“总和”“一共”等表示累加的词语，直接列出有理数加法算式。例如：两天的盈亏分别为+50和-30，总盈亏算式为“(+50)+(-30)”。 三、运用有理数加法法则计算结果 1. 同号相加：取相同符号，绝对值相加。 2. 异号相加：取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 3. 与0相加：任何数加0仍得原数。例：(-12)+0=-12。 1．下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 2．五袋优质大米以每袋为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重记录（单位：）如下：，，，，，那么这五袋大米共超重 ，总质量为 ． 3．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“”，向西记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客），请回答： (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ (2)若小王的出租车每千米需油费0.4升，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需耗油多少升？ (3)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 2.2有理数的减法 重难点一 有理数加减混合运算 一、统一运算符号 将算式中的减法转化为加法，依据是有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。具体操作是把所有“-”号后面的数（包括其前面的符号）都变为它的相反数，并将运算符号统一为“+”。 二、运用运算律简化计算 在进行有理数加法运算时，合理运用加法交换律和结合律能有效简化计算过程。加法交换律指两个数相加，交换加数的位置，和不变，即；加法结合律指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即。常见的结合方式有： 1. 同号结合：把所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加。 2. 凑整结合：将能凑成整数的数结合相加，如互为相反数的两个数结合（其和为0）、能凑成整十、整百的数结合。 3. 同分母或易通分分数结合：对于分数运算，将同分母的分数或容易通分的分数结合相加，可减少通分的麻烦。 1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．对有理数a、b规定一种新运算“*”：，则 ． 3．计算： (1)； (2)． 重难点二 有理数加减简便运算 一、相反数结合法 将互为相反数的两个数先相加，和为0，简化运算。 二、同号结合法 把所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加，再将两个结果相加。 三、同分母分数结合法 若算式中有分数，先将分母相同的分数结合相加，便于通分计算。 四、凑整法 将能凑成整数（整十、整百等）的数结合相加，简化计算过程。 五、拆项法（适用于带分数） 把带分数拆成整数和分数两部分，再分别结合计算。 六、利用运算律交换结合 灵活运用加法交换律（a+b=b+a）和加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)），调整数的位置和组合顺序，使计算简便。 1．请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 2．计算 . 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点三 拆项法 一、拆项法的概念与核心思想 拆项法是有理数运算中一种重要的简便计算技巧，其核心思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的代数和（差）形式，使得拆分后的分数在后续运算中能够相互抵消，从而简化计算过程。它主要适用于分母为两个或多个连续整数乘积形式的分数加减运算。 二、拆项法的基本公式与推导 1. 基本公式（分母为两个连续整数乘积）： 对于形如 的分数，可以拆项为： 推导过程： 设，通分可得。 则分子需满足：，即 。 对于任意 (n)（）等式成立，因此有： ，解得。 所以。 2. 扩展公式（分母为两个相差(d)的整数乘积）： 对于形如（(d) 为正整数）的分数，可以拆项为： 推导过程： 类似地，设，通分后分子为 ，即 。 可得，解得。 因此。 当 时，即为基本公式。 三、拆项法的应用步骤 1. 观察算式结构：判断算式中是否存在分母为两个整数乘积形式的分数，且分子为常数（通常为1或能转化为1的形式）。 2. 选择合适公式：根据分母中两个整数的差值，选择基本公式（差值为1）或扩展公式（差值为(d)）。 3. 进行拆项变形：将每个符合条件的分数按照选定公式拆分成两个分数的差（或和）。 4. 相互抵消计算：拆项后，观察是否存在“相反数”项，这些项在加减运算中可以相互抵消，最终简化为少数几项的运算。 5. 计算结果：对剩余的项进行常规有理数运算，得出最终结果。 1．计算时运算律用得恰当的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的值为 ． 3．阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 2.3有理数的乘法 重难点一 有理数的乘法运算律 一、乘法交换律 应用方法：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。即：(a×b = b×a)。 操作步骤： 1. 观察算式中因数的位置，当需要调整因数顺序以简化计算时使用。 2. 交换因数位置后，先确定积的符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。 二、乘法结合律 应用方法：三个或三个以上有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即：((a×b)×c = a×(b×c))。 操作步骤： 1. 观察算式中哪些因数结合相乘后绝对值为整十、整百等易算结果，或能凑出互为倒数的数。 2. 用括号将选定的因数结合在一起，先计算括号内的乘积（注意符号规则），再与其他因数相乘。 三、乘法分配律 应用方法：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：(a×(b + c)=a×b + a×c)；逆用：(a×b + a×c = a×(b + c))。 操作步骤（正向使用）： 1. 确定括号外的因数(a)和括号内的两个加数(b)、(c)。 2. 将(a)分别与(b)、(c)相乘，计算出两个积（注意符号）。 3. 将两个积相加，得出最终结果。 操作步骤（逆向使用）： 4. 观察算式中是否有相同的因数(a)，且其他部分(b)、(c)相加（或相减，此时(c)为负数）后计算简便。 5. 提取相同因数(a)，将剩下的部分用括号括起来相加（或相减）。 6. 先算括号内的和（或差），再与(a)相乘。 四、综合运算技巧 1. 符号优先：在所有乘法运算中，先根据“负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负”确定最终结果的符号，再将各因数的绝对值相乘。 2. 凑整优先：利用交换律和结合律，优先将能凑成整数、分数单位（如(0.25×4=1)，）的因数组合相乘，简化计算。 3. 分配律简化复杂运算：当算式中出现一个数乘以多个数的和（或差）时，优先使用分配律展开计算，避免直接计算括号内的复杂加减。 1．用分配律计算，过程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的值为 ． 3．用简便方法计算：． 重难点二 有理数的乘法实际应用 一、明确问题中的数量关系 1. 识别关键量：仔细阅读题目，找出题目中涉及的已知量和未知量，明确它们之间的运算关系是否为乘法。 2. 区分正负数意义：根据实际情境规定正方向或标准量，确定每个量的正负属性。例如：收入记为正，支出记为负；向东为正，向西为负；上升为正，下降为负等。 二、构建数学模型 1. 列出乘法算式：根据题目中的数量关系，将实际问题转化为有理数乘法算式。若有多个量相乘，需按顺序逐步计算或利用乘法交换律、结合律简化运算。 2. 确定符号规则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负，再将各数的绝对值相乘。 三、分步计算与符号处理 1. 先定符号：根据上述符号规则，先确定最终结果的正负号。 2. 再算绝对值：将各数的绝对值相乘，得到积的绝对值。 3. 组合结果：将符号与绝对值组合，得到算式的结果。 1．某粮站收购了10袋小麦，称重后记录如下（单位：）：91，92，90，89，89，91.2，88.9，91.8，91.1，88．如果每袋小麦以为标准，这10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？（    ） A．不足2千克 B．超过2千克 C．不足3千克 D．超过3千克 2．某食堂购进10袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下： 与标准的偏差（单位：千克） 0 袋数 1 2 3 1 2 1 这10袋大米一共 千克（结果精确到1千克）． 3．某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：(单位：千米) 、、、、、、、 (1)A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 2.4有理数的除法 重难点一 有理数的乘除混合运算 一、运算顺序规则 1. 同级运算从左到右：有理数的乘法和除法属于同级运算，在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次计算。 2. 括号优先：若算式中有括号，需先计算括号内的运算，再处理括号外的部分。括号内的运算同样遵循先乘除后加减以及同级运算从左到右的顺序。 二、符号确定方法 1.奇数个负因数得负，偶数个负因数得正：在乘除混合运算中，先确定所有因数（被除数和除数可看作因数，除数的倒数参与运算）的符号。当负因数的个数为奇数时，结果的符号为负；当负因数的个数为偶数时，结果的符号为正。 2.符号与绝对值分离处理：先根据负因数个数确定整体符号，再将所有数的绝对值进行乘除运算，最后将符号与绝对值结果结合。 三、转化为连乘运算技巧 1. 除法变乘法：利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算，使算式变为多个有理数相乘的形式，再按乘法法则计算。 2. 约分简化运算：转化为连乘后，通过分子分母交叉约分简化计算，减少数值大小。 四、分步计算与检查要点 1.分步计算防错：复杂算式可分解为多步，每步只处理两个数的运算，避免因步骤过多出错。 2.检查符号与顺序：完成计算后，复查负因数个数是否正确（符号是否准确）、运算顺序是否遵循“从左到右”或“括号优先”（避免先乘后除的错误）、转化为乘法时倒数是否正确（如除以应转化为乘）。 1．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 重难点二 倒数法 一、倒数法的核心原理 1. 倒数的定义 若两个有理数的乘积为1，则这两个数互为倒数。例如，3的倒数是，的倒数是，0没有倒数（因为0与任何数相乘都为0，无法得到1）。 2. 除法转化为乘法 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为： 这一法则是“倒数法”的理论基础，即将除法运算转化为乘法运算，利用倒数的性质简化计算。 二、倒数法的具体步骤 1. 确定符号 根据“同号得正，异号得负”的法则，先判断商的符号： 若被除数与除数同号（同为正数或同为负数），商为正； 若被除数与除数异号，商为负。 2. 转化为乘法 将除数替换为其倒数，把除法算式改写成乘法算式： 3. 计算绝对值 忽略符号，将两个数的绝对值相乘，即： 4.确定最终结果 结合步骤1中判断的符号与步骤3的计算结果，得到最终商。 1．已知，则的值为（    ） A．2025 B． C． D． 2．如果a和b互为倒数，那么的值是 ． 3．数学老师布置了一道思考题计算：，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以 (1)请你判断小明的解答是否正确？答 ；并说明理由： ． (2)请你运用小明的解法解答问题．计算： 2.5有理数的乘方 重难点一 有理数的乘方运算 一、乘方的定义理解 1. 概念解析：求(n)个相同因数(a)的积的运算叫做乘方，记作，其中(a)是底数，(n)是指数，读作“(a)的(n)次方”或“(a)的(n)次幂”。例如表示(3)个(2)相乘，即(2×2×2)。 2. 注意事项：指数(n)为正整数，乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法），其结果是幂。底数可以是任意有理数，包括正数、负数和(0)。 二、符号法则：确定幂的正负性 1. 正数的任何次幂都是正数 例：，，无论指数是奇数还是偶数，正数的幂均为正。 2. 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数 · 奇次幂：（指数(3)为奇数，结果为负） · 偶次幂：（指数(2)为偶数，结果为正） 3. 0的正整数次幂是0 例：，注意无意义（初中阶段不讨论）。 三、运算步骤：分两步计算 1. 确定符号：根据底数的正负和指数的奇偶性，按符号法则判断幂的正负。 例：计算，底数为负，指数(3)是奇数，故结果为负。 2. 计算绝对值：忽略底数的符号，将底数的绝对值进行乘方运算，再加上第一步确定的符号。 例：；（正数的“+”可省略）。 四、特殊情况处理 1. 底数为分数或小数的乘方 · 分数乘方：，分子分母分别乘方；。 · 小数乘方：可先化为分数再计算，如，或直接计算(0.5×0.5×0.5 = 0.125)。 2. 区分与表示的相反数，底数是(a)，指数是(n)，如。 · 表示(n)个(-a)相乘，底数是(-a)，指数是(n)，如。 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．的值为 ． 3．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 2.6有理数的混合运算 重难点一 含乘方的混合运算 1. 明确运算顺序 含乘方的混合运算需严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序。若算式中存在括号，需先计算括号内的运算，且括号内同样遵循上述顺序（先小括号，再中括号，最后大括号）。 2. 准确计算乘方 乘方运算的本质是相同因数的乘法，计算时需注意底数和指数的含义。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正整数次幂是0。 3. 分步处理乘除运算 完成乘方运算后，按照从左到右的顺序进行乘除运算。乘除属于同级运算，优先级相同，不可跳过左侧运算直接计算右侧。 4. 最后进行加减运算 乘除运算完成后，按照从左到右的顺序进行加减运算。加减同样为同级运算，需依次计算。 5. 处理符号问题 运算过程中需时刻关注符号变化，尤其是负数参与运算时。负数的乘方需先判断指数奇偶性确定符号；乘除运算中，同号得正，异号得负。 6. 借助括号改变运算顺序 若题目中存在多层括号，需从内层括号开始逐层计算，每完成一层括号内的运算后，再处理外层括号。 7. 检验运算结果 完成计算后，可通过“反向运算”或“分步复查”检验结果是否正确。反向运算即按照运算顺序倒推每一步是否合理；分步复查则重新核对每一步的计算过程，避免因粗心导致符号错误或数值计算错误。 1．定义一种新运算：，则的结果是（    ） A．3 B．6 C．-1 D．-2 2．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME－14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂成就，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如．（规定：当时，）八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是．将八进制数换算成十进制数为 ． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点二 程序流程图 一、程序流程图的基本概念 程序流程图是用规定的图形符号、指向线和文字说明来表示算法步骤的图形。在有理数运算中，它能将复杂的计算规则转化为清晰的步骤流程，帮助理解运算顺序和条件判断逻辑。 二、有理数运算中常用流程图符号 1. 终端框（起止框）：圆角矩形，表示算法的开始或结束，内部标注"开始"或"结束" 2. 输入/输出框：平行四边形，表示输入数据或输出结果，如"输入有理数a、b" 3. 处理框（执行框）：矩形，表示进行的运算或操作，如"计算a+b" 4. 判断框：菱形，用于条件判断，内部标注判断条件，如"a是否为正数？"，有两个出口（是/否） 5. 流程线：带箭头的线段，表示算法步骤的执行顺序 6. 连接点：小圆点，用于连接不同部分的流程线 三、有理数加法运算流程图设计 1. 开始→输入两个有理数a和b 2. 判断a、b的符号关系： · 若同号（同为正或同为负）→处理框"绝对值相加，保留原符号" · 若异号→判断|a|与|b|大小： · 若|a|>|b|→处理框"用|a|-|b|，结果取a的符号" · 若|a|<|b|→处理框"用|b|-|a|，结果取b的符号" · 若|a|=|b|→处理框"结果为0" 3. 输出计算结果→结束 四、有理数混合运算流程图步骤 1. 开始→输入含加减乘除的有理数算式 2. 判断是否有括号→是：先计算括号内算式（递归调用运算流程） 3. 按"先乘除后加减"顺序处理： · 遍历算式找到乘除运算→计算结果替换原式 · 重复至无乘除运算→按从左到右顺序计算加减 4. 输出最终结果→结束 1．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（    ） A．1 B．2 C．4 D．14 2．如图是一个计算机的运算程序，若输入的的值为，则输出的的值为 ． 3．如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 2.7近似数 重难点一 近似数 一、准确理解近似数的概念 1. 区分精确数与近似数 精确数是与实际完全相符的数（如班级人数32人），近似数是与实际接近的数（如测量身高1.65米）。判断时需结合实际情境：测量值、估算值、无法精确计数的数值（如人口数量）通常为近似数。 2. 明确精确度的含义 精确度指近似数与准确数的接近程度，主要通过两种方式体现： 精确到哪一位：如“1.3”精确到十分位，“2.05”精确到百分位。 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。如“0.030”有2个有效数字（3、0），“5.10×10³”有3个有效数字（5、1、0）。 二、掌握近似数的表示方法 1.根据要求取近似数 “四舍五入”法（最常用）： 步骤：①确定精确到的位数；②观察下一位数字，若≥5则进位，若＜5则舍去。 2.特殊情况处理： 精确到某一位后，末尾的“0”不能省略（如2.0精确到十分位，2精确到个位）。 大数取近似时可先改写为科学记数法，再处理（如567800精确到万位：5.678×10⁵→5.7×10⁵）。 1．对按括号内要求取近似值，错误的是（   ） A．1023.3（精确到0.1） B．（保留2个有效数字） C．（精确到十位） D．1023.46（精确到千分位） 2．用四舍五入法将20.258精确到十分位的结果是 ． 3．车工小王加工了两根轴．当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废!”小王不服气地说：“图纸要求长度精确到，我加工的轴一根为，另一根为，怎么不合格呢?” (1)图纸要求的长度精确到，若采用的是四舍五入法，则合格轴的长度范围是多少? (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难? 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $