精品解析：山东省泰安第十四中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级下学期第一次月考试题 一、选择题 1. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 2. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5， ∴小正方形边长为1，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0， ∴a2+(a+1)2=5，其中a>0， 解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)， ===2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 3. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】由题意得：sin37°=， ∴h=5×=3， ∴调整后的楼梯长==6， ∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m． 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键． 4. 如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（ ） A. 200米 B. 300米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：，，, ，， 米，, 米，（米）， 米． 故选：C． 【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用． 5. 在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵∠C=90°，AB=，BC=1， ∴sinA=， ∴∠A=45°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可． 【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°， ∴∠C=180°-105°-45°=30°， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 7. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， 设，则， 在中，, 在中，, ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形． 8. 式子的值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 =0 故选：A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 9. 如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡比的定义和特殊锐角三角函数值可求出，进而，，在中，求出，进而求出即可． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点， 斜坡的坡比为，即， ， 又米， ，， ， 在中，，， 米， 米， 故答案为：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握仰角、俯角、坡比的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键． 二、填空题 10. 计算的值为_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】 ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 11. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答． 【详解】解：设BC=a，则AC=2a ∵正方形 ∴EC=，∠ECD= 同理：CG=,∠GCD= ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键． 12. 如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先在中由求出，再在中由求出． 【详解】∵， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键． 13. 锐角中，，则的形状是___________. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． 14. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F， ∵斜面坡度为1：， ∴tan∠ABF=， ∴∠ABF=30°， ∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°， ∴∠HPB=30°，∠APB=45°， ∴∠HBP=60°， ∴∠PBA=90°，∠BAP=45°， ∴PB=AB， ∵PH=30m，sin60°=， 解得：PB=， 故AB=m， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键． 15. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，） 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30， ∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°， ∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形， ∴， ∴BP=， 故答案为：50． 【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键． 16. 在中，，是斜边上的中线，，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17. 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为___________km． 【答案】50 【解析】 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 18. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴； ∴， 在中，，， ∴； ∴（米）； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 19. 如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，） 【答案】否 【解析】 【分析】求出长，比较大小即可． 【详解】解：根据天花板与地面平行，可知， （米）． 因为， 所以小敏不会有碰头危险． 故答案为：否． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解． 三、解答题 20. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 21. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号） 【答案】大楼的高度为． 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得． 【详解】解：如图，过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴大楼的高度为． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键． 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险,详见解析 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 过作，垂足为点 ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 23. 如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） （1）求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； （2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 【答案】（1）B处距离小岛C的距离约为海里； （2）安全，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可； （2）如图，过点作于，求出长度，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 由题意得， ，， 海里， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∵， 即：， 解得， 在中，（海里） ， 答：B处距离小岛C的距离约为海里； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 在中，，， ∴ (海里)， ∵， ∴能安全通过， 答：能安全通过． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期第一次月考试题 一、选择题 1. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 4. 如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（ ） A. 200米 B. 300米 C. 米 D. 米 5. 在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（    ） A B. C. 1 D. 7. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 式子的值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 9. 如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米． A. B. C. D. 二、填空题 10. 计算的值为_____________. 11. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 12. 如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和式子表示）． 13. 锐角中，，则的形状是___________. 14. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米． 15. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，） 16. 在中，，是斜边上的中线，，，则值是______． 17. 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为___________km． 18. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为___________米．（结果保留根号） 19. 如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，） 三、解答题 20. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 21. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号） 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 23. 如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，） （1）求B处距离小岛C的距离（精确到海里）； （2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $