第03讲 绝对值 （知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（浙教版2024）

第03讲 绝对值 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.绝对值 题型巩固 一、绝对值的几何意义 二、求一个数的绝对值 三、绝对值非负性 四、绝对值的其他应用 强化训练 单选题（7） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 题型巩固 题型一、绝对值的几何意义 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（  ） A．有理数的绝对值一定是正数 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．如果一个数的绝对值不是它本身，那么这个数是负数 D．如果一个数是非负数，那么这个数的绝对值不是它本身 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）适合的正整数a的值有 个 3．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）已知，，且，试求出所有可能的和的值． 题型二、求一个数的绝对值 4．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）绝对值等于3的数是（   ） A． B．0 C．3 D．3或 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末） ． 6．计算： (1) (2) (3) 题型三、绝对值非负性 7．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，有最小值，最小值是 ． 9．根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 题型四、绝对值的其他应用 10．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.05mm，第二个为﹣0.02mm，第三个为﹣0.04mm，第四个为0.03mm，则这四个零件中质量最好的是（　　） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 11．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 强化训练 一、单选题 1．的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 2．的绝对值为（    ） A．2 B． C． D． 3．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 5．下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各数表示在同一数轴上，到原点距离最近的点对应的数是（  ） A．4 B． C． D． 7．在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．计算： ． 9．若，则 ． 10．计算： ． 11．绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 12．当 时，的值最小，最小值为 ． 三、解答题 13．写出下列各数的绝对值： ． 14．求下列各数的绝对值： ﹣12，3，﹣（﹣6），|﹣5.6| 15．（1）画一条数轴，在数轴上表示下列各数：，1.5，0，7，，5． （2）求出（1）中各数的绝对值． 16．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2020，，． (1)正数集合：{______…}； (2)负数集合：{______…}； (3)整数集合：{______…}； (4)分数集合：{______…}． 17．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 18．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 19．创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示： 下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 20．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 绝对值 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.绝对值 题型巩固 一、绝对值的几何意义 二、求一个数的绝对值 三、绝对值非负性 四、绝对值的其他应用 强化训练 单选题（7） 填空题（5） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 题型巩固 题型一、绝对值的几何意义 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法正确的是（  ） A．有理数的绝对值一定是正数 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．如果一个数的绝对值不是它本身，那么这个数是负数 D．如果一个数是非负数，那么这个数的绝对值不是它本身 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记概念是解题的关键． 【详解】解：A、有理数的绝对值一定是正数或0，故选项不符合题意； B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故选项不符合题意； C、如果一个数的绝对值不是它本身，那么这个数是负数，说法正确，故选项符合题意； D、如果一个数是非负数，那么这个数的绝对值是它本身，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）适合的正整数a的值有 个 【答案】8 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值得到的取值范围，从而得到只有当时成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴只有当时成立， ∴正整数a的值有，共8个， 故答案为：8． 3．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）已知，，且，试求出所有可能的和的值． 【答案】，或， 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值的定义,分情况讨论即可得到结论． 【详解】解：，， ，， ， ，或，． 【点睛】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 题型二、求一个数的绝对值 4．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）绝对值等于3的数是（   ） A． B．0 C．3 D．3或 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的性质及其定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴绝对值等于3的数是3或， 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末） ． 【答案】4 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值， 根据绝对值的定义解答．即一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这的数的绝对值． 【详解】解：． 故答案为：4． 6．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)7 (3) 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】（1）运用绝对值的意义进行求解即可； （2）运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果； （3）运用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， （2） （3） 【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 题型三、绝对值非负性 7．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】根据，可得结论． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键． 9．根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【知识点】绝对值非负性 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 题型四、绝对值的其他应用 10．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.05mm，第二个为﹣0.02mm，第三个为﹣0.04mm，第四个为0.03mm，则这四个零件中质量最好的是（　　） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】此题是理解误差的大小，无论正负，绝对值最小的零件质量最好，反之，绝对值最大的零件质量最差． 【详解】解：∵|﹣0.02|＜|0.03|＜|﹣0.04|＜|0.05|， ∴质量最好的零件是第二个． 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点是正数负数和绝对值，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键． 11．对于任意有理数x，y，都有，利用这一结论，求的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的应用，正确掌握绝对值的意义是解题的关键，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴的最小值为6． 故答案为：6． 强化训练 一、单选题 1．的绝对值是（   ） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．的绝对值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的意义解答即可求解， 【详解】解：的绝对值是2， 故选：A． 3．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，求一个数的相反数，先计算原式的值，再求其相反数即可，熟练掌握绝对值的意义，相反数的定义，是解题的关键． 【详解】解：的相反数为2024； 故选A． 4．下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：、有理数的绝对值一定大于等于0，故原说法错误，不符合题意； B、正有理数的相反数一定比0小，故原说法错误，不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故原说法错误，不符合题意； D、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 5．下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，注意“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0”．先化简各数，然后再逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 6．下列各数表示在同一数轴上，到原点距离最近的点对应的数是（  ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就表示这个数到原点的距离，熟记绝对值的定义是解题的关键．到原点最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：四个点所表示的有理数的绝对值分别为1、50，其中绝对值最小的是1，则到原点距离最近的点的是； 故选：C． 7．在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类．先把各数化简，然后根据非负数的意义求解，注意非负数包括0和正数． 【详解】解：∵是正数，是正数，，既不是正数，也不是负数，是负数， ∴非负数共有3个． 故选：C． 二、填空题 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可. 【详解】解：， 故答案为： 9．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．运用绝对值的定义运算即可． 【详解】 故答案为：． 11．绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：绝对值小于的整数有个，分别为；绝对值大于且小于的整数是， 故答案为：，；． 12．当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 6 【分析】由绝对值的意义可知，即说明当时，的值最小，从而即可确定a的值和的最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴，的最小值为． 故答案为：，6． 【点睛】本题考查绝对值的意义，代数式求值．理解当时，的值最小是解题关键． 三、解答题 13．写出下列各数的绝对值： ． 【答案】6，8，3.9，，，100，0 【分析】根据绝对值的定义，即绝对值是数轴上点到原点的距离，即可求解． 【详解】解： ； ； ； ； ； ； ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值是数轴上点到原点的距离是解题的关键． 14．求下列各数的绝对值： ﹣12，3，﹣（﹣6），|﹣5.6| 【答案】12，3，6，5.6． 【详解】|﹣12|＝12，|3|＝3，|﹣（﹣6）|＝6，|﹣5.6|＝5.6． 15．（1）画一条数轴，在数轴上表示下列各数：，1.5，0，7，，5． （2）求出（1）中各数的绝对值． 【答案】（1）见解析；（2），，，，， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，求一个数的绝对值． （1）正确画出数轴，再进一步描出各个点； （2）根据“正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数”，即可求解． 【详解】解：（1）各数在数轴上表示如图所示： （2），，，，，． 16．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2020，，． (1)正数集合：{______…}； (2)负数集合：{______…}； (3)整数集合：{______…}； (4)分数集合：{______…}． 【答案】(1)，2020， (2)，，， (3)，0，2020， (4)，，， 【分析】根据整数、分数、正数、负数的定义以及分类方法进行解答即可． 【详解】（1）正数集合：， 故答案为：； （2）负数集合：， 故答案为：； （3）整数集合：， 故答案为：； （4）分数集合：， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数中的整数、分数的判断，以及正数、负数、绝对值、相反数等知识．理解对应知识的定义与分类方法是正确解答的前提． 17．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 18．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 19．创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示： 下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【答案】(1)长江路口 (2)39.2千米 【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值即可判断A站的位置； （2）计算所有站数绝对值的和，再乘以相邻两站之间的平均距离即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． 柒悦城向南第5站为长江路口， A站是长江路口． （2）解：由题意得， （千米） 故这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是39.2千米． 【点睛】本题考查正负数和绝对值的实际应用，读懂题意，理解题中正负号代表的意义是解题的关键． 20．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 学科网（北京）股份有限公司 $$