精品解析：山东省济南市历城区万象新天学校2024-2025学年八年级下学期3月月考试题

万象新天学校八年级数学月考检测 2025.3 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义．直接利用“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”，分析得出答案． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故本选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑系数8和16的最大公因数是8，再考虑相同字母a、b的最低次幂分别是a2，b2，则其积是多项式的公因式． 【详解】． 故选：． 【点睛】本题考查了多项式因式分解中的提公因式法，公因式是各项系数的最大公因数、相同字母的最低次幂的积，当首项是负时，一般连负号也一并提出来． 5. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段AB，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位， ∴点B的对应点的坐标． 故选C． 【点睛】本题运用了点的平移的坐标变化规律，解题关键得出点B的对应点的坐标． 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：． 8. 若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（　　） A. 正数 B. 负数 C. 等于零 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可． 【详解】解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边， ∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0， ∴（a－b）2－c2的值是负数． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平方差公式，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 9. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解：，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 10. 对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 把多项式分解因式，得，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先利用乘法法则计算，再根据因式分解的意义得a、b的值． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案为：，． 12. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ___________． 【答案】6 【解析】 【详解】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：6． 14. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为__________．     【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．由平行线的性质、角平分线的性质推知，则，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， . 故答案为：14． 15. 如图,∠C=90°,将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A/B/C/,已知BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为______cm². 【答案】14 【解析】 【分析】根据平移的性质可知=5 cm，；由题意得=5-3=2 cm，再由梯形面积公式可得答案. 【详解】根据平移的性质可知=5 cm，，由题意得=5-3=2 cm，又由题意可知三角形ABC是∠C=90°的直角三角形，AC=4cm，即AC为阴影部分的高，则阴影部分的面积为：（cm²）. 【点睛】本题考查了图形平移的性质和梯形面积的求法，解题的关键是熟练掌握图形平移的性质. 16. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案 【详解】 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PF=PM， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=50°． 故答案为：50°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，然后去括号，合并同类项，最后提取公因数2分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 原式 ． 18. 解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）， 在数轴上表示不等式的解集为： （2）不等式组的解集是， 在数轴上表示不等式的解集为： 整数解： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能分别求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键． （1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，然后求出不等式组的整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是． 19. 如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的判定，关键是利用证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明，则，即可解答． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；（请用黑色水笔描黑） （2）平移，若A的对应点的坐标为，则平移距离为______，画出平移后对应的；（请用黑色水笔描黑） （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）平移距离为， 如图所示，即为所求： （3）图中点为旋转中心，其坐标为 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点绕点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，根据两点之间距离公式即可得出平移距离； （3）连接，与的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，平移，若A的对应点的坐标为，则平移过程是：三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位，从而得到平移距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 连接，与的交点即为所求，如图所示： 点为旋转中心，其坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． 21. 学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元； （2）解：购买A种奖品7个，B种奖品18个最省钱， 理由：设购买A种奖品个，则购买B种奖品个，根据题意得： ， 解得， 为正整数， 7，8，9，10， 18，17，16，15， A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元， 当时，最省钱． 即购买A种奖品7个，B种奖品18个最省钱． 【解析】 【分析】（1）设A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元，根据题意的等量关系“购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元”列二元一次方程组即可解决问题； （2）设购买A种奖品个，则购买B种奖品个，根据题意的不等关系“A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，购买奖品的花费不得高于600元，”列一元一次不等式组解决问题． 【详解】（1）设A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元，根据题意得： ， 解得， 答：A种奖品的单价为元，B种奖品的单价为元． （2）略 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系分别列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC－AB＝2BE. 【答案】 证明：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB=∠AEM=90° 在△ABE中， ∵∠1+∠3+∠AEB=180°， ∴∠3=90°-∠1 同理，∠4=90°-∠2 ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴AB=AM ∵BE⊥AE， ∴BM=2BE， ∴AC-AB=AC-AM=CM， ∵∠4是△BCM的外角 ∴∠4=∠5+∠C ∵∠ABC=3∠C， ∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5 ∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C ∴∠5=∠C ∴CM=BM ∴AC-AB=BM=2BE. 【解析】 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM，从而得AC-AB=AC-AM=CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM=BM利用等量代换即可求证． 【详解】略 【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题. 23. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．（单位：） （1）观察图形，并解答问题： ①代数式可以因式分解为______； ②若长方形纸板面积为，每块小长方形的面积为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （2）若再给一块边长都为n的小正方形，和两块长为m、宽为n的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式进行因式分解． 【答案】（1）① ② （2） 如图， 【解析】 【分析】本题考查了图形面积与整式的因式分解，完全平方公式的变形应用，数形结合是解题的关键； （1）①由面积关系，即面积为的长方形等于长为、宽为的面积，由此即可求解； ②由题意得：，由此可求得，由完全平方公式可求得的值，而所有裁剪线长的和为，代入即可求解； （2）拼成的长方形一边为，另一边为，画出图形，计算出面积即可得到因式分解的结果． 【小问1详解】 解①由面积相等，得； 故答案为：； ②， ， ， ， ， ， ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为： ； 【小问2详解】 ． 24. 如图1，等边中，，于点D，点P为线段上任一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点Q恰好在的延长线上时，求的长； （2）如图3，连接，求证：； （3）连接． ①当为等腰三角形时，请直接写出全部满足条件的的度数； ②线段的最小值为 ． 【答案】（1） （2） 证明：∵都为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． （3）①或或② 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，由勾股定理求出即可； （2）根据“”证明全等即可； （3）①分三种情况分别讨论：若；若；若即可得解； ②根据垂线段最短即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由（2）可知， ∴， 当为等腰三角形时， Ⅰ：若，则； Ⅱ：若，则； Ⅲ：若，则． 综上所述，满足条件的的值为或或． ②由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴由（1）知，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题以几何变换为背景考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，关键在于准确寻找全等三角形解决问题，并且用分类讨论的数学思维考虑问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万象新天学校八年级数学月考检测 2025.3 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段AB，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 8. 若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（　　） A. 正数 B. 负数 C. 等于零 D. 不能确定 9. 如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意实数p、q，定义一种运算：，如：，请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组 有2个整数解，则m的取值范围为是（      ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 把多项式分解因式，得，则________，________． 12. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ___________． 14. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E，D，则的长为__________．     15. 如图,∠C=90°,将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm,得△A/B/C/,已知BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为______cm². 16. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． （3）； （4）． 18. 解不等式（组）： （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 19. 如图，，，于点E，于点F．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；（请用黑色水笔描黑） （2）平移，若A的对应点的坐标为，则平移距离为______，画出平移后对应的；（请用黑色水笔描黑） （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 21. 学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC－AB＝2BE. 23. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．（单位：） （1）观察图形，并解答问题： ①代数式可以因式分解为______； ②若长方形纸板面积为，每块小长方形的面积为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和； （2）若再给一块边长都为n的小正方形，和两块长为m、宽为n的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式进行因式分解． 24. 如图1，等边中，，于点D，点P为线段上任一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点Q恰好在的延长线上时，求的长； （2）如图3，连接，求证：； （3）连接． ①当为等腰三角形时，请直接写出全部满足条件的的度数； ②线段的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $