第1章 有理数 （优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

第1章 有理数 思维导图 【类型覆盖】 类型一、(多)二进制问题 【解惑】将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键． 先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【融会贯通】 1．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： ； ． 三进制数化为二进制为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握进制转化的方法． 首先将三进制数化为十进制数200，然后将十进制数化为二进制即可． 【详解】解：将三进制数化为十进制为： ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴将三进制数化为二进制为． 故选：D． 2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，将二进制数表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制．将二进制数转换为十进制数，结果为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将二进制化为十进制即可求解． 【详解】解：． 故答案为：14． 3．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)表格见解析； 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将六进制数转化成十进制数，将十进制数转化成二进制数即可； （2）根据二进制数加减运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 类型二、格子乘法 【解惑】“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397.如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据“格子乘法”可得10（2a-2-a）+(-a+9-1)=3a，解方程可得． 【详解】解：根据题意可得 10（2a-2-a）+(-a+9-1)=3a 解得a=2 故选A 【点睛】根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键． 【融会贯通】 1．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，其中，，都为整数， ∴，， 其中，，，不符合题意， 如图， ∴，，， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确； 故选：D 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对“格子乘法”的理解，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于正确理解“格子乘法”法则．根据“格子乘法”法则分两种情况若为一位数，若为两位数，结合方程思想讨论求解，即可解题． 【详解】解：根据“格子乘法”法则可知， 若为一位数，则，解得（不合题意，舍去）， 若为两位数，则 则有， 解得， 故答案为：． 3． “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加， 得3266． (1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出：_____ (2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值． 【答案】(1)3 (2) (3)6 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得，，，即可解答； （3）根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，；当千位是1时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴或1或2或3， ∵， ∴或1或0， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图4， 当千位是0时，， 解得：（不合题意，舍去）； 当千位是1时，， 解得：． 类型三、圆片数轴滚动问题 【解惑】圆片向右滚动一周后的位置如下图，这个圆片的直径大约是（    ）．    A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 【答案】B 【分析】由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选B． 【点睛】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，将半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片向右沿数轴滚动2周，则点A所在位置表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出圆的周长，得到点A滚动两周后表示的数． 【详解】解：圆的半径为1， 该圆的周长为2π， 当该圆从原点出发，向右沿数轴滚动2周时， 滚过2×2π=4π． ∴点A所在的位置表示的数是4π． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的周长公式及用数轴上的点表示数．计算圆滚动两周的长，是解决本题的关键． 2．【新知理解】如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率相伴线段． 【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率相伴线段，请写出点D所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．根据圆周率相伴线段的定义可求D点所表示的数． 【详解】解：由题意可得点C表示的数为， 设D点表示的数为x， ∴，，， ①如图，此时， 若，则，解得； ②如图，， 若，则，解得； ③如图，， 若，则，解得； ④如图，， 若，则，解得； 故答案为：． 3．【探索】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则_______； （2）若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“”或“”或“”）； 【深入研究】如图2，现有一个直径为2个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度． （4）图2中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请求出点D所表示的数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2，，， 【分析】本题考查了线段的和差、一元一次方程的应用，理解题意，找准线段之间的关系，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据得出，再由，即可得出答案； （2）由题意得出，，设，，则，，结合，得出，即可得解； （3）由题意可得，点表示的数是，不妨设点离点近，且，根据长度的等量关系列出方程求得，进一步得到线段的长度； （4）分四种情况：若；若；若；若；分别列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1），， ， ， 故答案为：； （2）点、都是线段的圆周率点且不重合， ，， 设，，则，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意可得，点表示的数是， 点均为线段的圆周率点， 不妨设点离点近，且， ， 解得：， ； （4）设点表示的数为， 如图，若， ， 则， 解得：； 如图，若， ， 则， 解得：； 如图，若， ， 则， 解得：； 如图，若， ， 则， 解得：； 综上所述，点D所表示的数为：2，，，． 类型四、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及化简绝对值，先由数轴得，再化简，进行计算，即可作答． 【详解】解：先由数轴得， ∴ ， 故选：B 【融会贯通】 1．已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：， ，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为， 故选：C． 2．已知有四个不同的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．由可化简得，在化简的过程中判断、、、的符号，从而对题中的绝对值进行化简． 【详解】解：由有四个不同的解，可知、均不为0，且， 故， 则， 化简得可知，， ，，而且， ． 故答案为：4． 3．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3)或 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的意义，确定当，时，的值是正确解答的关键． （1）确定a、b的符号，再根据绝对值的性质进行计算即可； （2）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）对，，进行讨论，，，同正，，，同负，，，两正一负，，，两负一正，再根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：0； （2）解：已知a、b是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③a、b异号，． 故的值为或0； 故答案为：或0； （3）解：已知，，是有理数，且， ①当，，时，； ②当，，时，； ③当，，两正一负时，令，，，则； ④当，，两负一正时，令，，，； 综上分析可知：的值为或． 类型五、绝对值最值问题 【解惑】在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用．根据题意，就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，可得出当x的取值范围是时，取的最小值 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离， ∴当x的取值范围是时，取的最小值． 故选：C． 【融会贯通】 1．若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 2．如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 3． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 类型六、正方形等分问题 【解惑】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”在几何图形中也存在这样的“万世不竭”的图形．如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分①是正方形纸片的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，……，依此类推，部分①到部分⑨的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，能够根据题意找出规律，列出算式是解题的关键． 找出规律后，列出算式，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选B 【融会贯通】 1．谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基提出的一种具有“自相似”性质的分形图形：将第1个正方形分成9等份（如图①），挖去中间的小正方形，得到第2个正方形（如图②）；再将余下的8个小正方形分成9等份，挖去中间的小正方形，得到第3个正方形（如图③）；…这样继续进行下去，就得到空格子越来越多的谢尔宾斯基地毯．若图①中大正方形的边长为1，则第4个正方形中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，每次挖去正方形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解． 【详解】图2的阴影部分面积， 图3的阴影部分面积， 图4的阴影部分面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形规律问题，有理数乘方的计算，掌握图形变化的规律是解题的关键． 2．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积减去阴影部分的面积． 【详解】解：观察图形，可得阴影部分的面积=． 故答案为：． 3．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)求值． (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形面积为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形面积，依次操作次，依次得到小正方形面积为：． ①小正方形的面积_______； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．理解例题的解法是解题的关键． （1）设①，则②，由②①得：，计算求解即可； （2）①由题意知，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可；②由题意知，，令①，则②，由①②得：，计算求解即可． 【详解】（1）解：设①， ∴②， 由②①得：， 解得，， ∴； （2）①解：由题意知， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故答案为：； ②解：由题意知，， 令①， ∴②， 由①②得：， 解得，， ∴的值为． 类型七、倒数法与整体换元 【解惑】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)小明的解法正确，见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数．”是解题的关键． （1）先算括号里的运算，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）先算原式的倒数，再求这个数即可． 【详解】（1）解：小明的解法正确， ． （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 【融会贯通】 1．请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】根据运算律，倒数的定义解答即可． 本题考查了有理数的除法，运算律的应用，倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式的倒数是 ． 故原式． 2．学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，整式的加减运算，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． （1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【详解】（1）解：设为，为， 则原式； （2）解：设为，为， 则原式． 3．学科素养．整体思想 阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为为，则原式． 请用上面的方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和整体思想的应用，并考查学生观察分析的能力，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解答本题的关键． （1）根据题意设为为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设设为为，原式变形后计算即可求出值. 【详解】解：（1）设为为， 则原式； （2）设为为， 则原式． 类型八、数列与裂项求和 【解惑】阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 【融会贯通】 1．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 2．一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 【答案】(1)26； (2)；2 (3)885 【分析】本题考查的是数字的规律探究，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个，据此解答即可； （2）根据同分母分数运算法则进行计算即可； （3）根据解析（2）中的计算结果得出，然后求出的结果即可． 【详解】（1）解：根据题目中给出的这串分数可知：分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个， ， ∴是这串分数的第26个； ∵， ， ∴分母是：； 分子是：； ∴这列数中第50个数是． （2）解：，； （3）解：∵， ， ， ， …… ， ∴ ． 3．阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键． （1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可； （2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）解： ； （3）解： ． 类型九、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1，（2）C，（3），（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除， 所以都等于1； 所以选项A正确，不符合题意； B、因为多少个1相除都是1， 所以对于任何正整数n，都等于1； 所以选项B正确，不符合题意； C、，， 则； 所以选项C错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数． 所以选项D正确，不符合题意； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4） ． 【融会贯通】 1．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）（2）C（3）（4）12 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）分别按公式计算即可． 本题考查的是正数与负数、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：A．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； B．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； C. ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故选C． （3） ． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，．类比有理数的乘方，我们把记作读作“4的圈4次方”，记作，读作“的圈3次方”，一般地，写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ________，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是________． ① ②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ③圈次方等于它本身的数是1或． ④任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （4）比一比：________；（填“>”“<”或“=”） （5）算一算：． 【答案】（1），；（2）①、③；（3）；（4）>；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算和正负数，理解新定义是解题的关键． （1）根据除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，按此规律得到结果； （4）把一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】解：（1）；； 故答案为：；； （2）①、，，故该选项错误； ②、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项正确； ③、圈次方等于它本身的数是1，故该选项错误； ④、如，即任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故该选项正确， 故选：①、③； （3）的圈次方等于的倒数的次方，即等于， 故答案为：； （4），， 故， 故答案为：； （5）， ， ， 类型十、数轴动点求t 【解惑】已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______； (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)秒，秒． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．解决本题的关键是根据点运动的方向和距离用含的代数式表示出点在数轴上的位置． 根据点、、在数轴上的位置关系分别写出点、、表示的数即可； 根据点运动的方向和速度用含的代数式表示出点，根据数轴上两点之间的距离写出表示、的代数式； 把点、表示的数用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离为个单位长度，列出关于的方程，解方程即可求出运动的时间． 【详解】（1）解：点在原点左侧，到原点距离为个单位长度， 点表示的数为， 点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度， 点表示的数为， 点表示的数与点表示的数互为相反数， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动的时间为秒， 点表示的数为， ，， 故答案为：，； （3）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为， 又点表示的数为， 当、两点间的距离为个单位长度时， 可得：， 整理得：， ， 解得：秒或秒． 【融会贯通】 1．已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)8，12 (2)t为4或7.2 (3)当秒时，最小值为10 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，是解答本题的关键． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； （3）分别求出点P和点Q表示的数，则，所以随着t的变化而变化，利用绝对值的性质化简，可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． （3）解：的长度发生变化，理由如下： ∵点P为线段的中点，点Q为线段的中点， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． ∴． 则随着t的变化而变化． ∴当时． 当时，， ∴． 当时，． 故当秒时，有最小值，最小值为10． 2．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 3．如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合； (3)若点是数轴上的动点，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，， (2)4 (3)不变，值为12 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行解答即可得； （2）根据折叠的性质进行解答即可得； （3）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，即，， 由是最小的正整数可得， 故答案为：，，； （2）解：， ， 故答案为：4； （3）解：不变，值为12， 秒钟后，点表示，点表示，点表示， ，， ， 故的值不变，其值为． 【点睛】本题考查了数轴与实数，绝对值，整式的加减，解题的关键是掌握绝对值的非负性和整式加减的运算法则． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 思维导图 【类型覆盖】 类型一、(多)二进制问题 【解惑】将六进制数转化为十进制数的结果为（   ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 【融会贯通】 1．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： ； ． 三进制数化为二进制为（　　） A． B． C． D． 2．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“逢几进一”就是几进制，将二进制数表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制．将二进制数转换为十进制数，结果为 ． 3．【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 类型二、格子乘法 【解惑】“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397.如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（   ） 图1                图2 A．1 B．2 C．3 D．4 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 3． “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 例如：如图1，计算 ，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用46的每位数字乘71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加， 得3266． (1)如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，写出：_____ (2)如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，试推算m，n满足的数量关系； (3)如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，求出k的值． 类型三、圆片数轴滚动问题 【解惑】圆片向右滚动一周后的位置如下图，这个圆片的直径大约是（    ）．    A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 【融会贯通】 1．如图，将半径为1个单位长度的圆片上的点A放在原点，并把圆片向右沿数轴滚动2周，则点A所在位置表示的数是（    ）    A． B． C． D． 2．【新知理解】如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率相伴线段． 【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率相伴线段，请写出点D所表示的数为 ． 3．【探索】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则_______； （2）若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“”或“”或“”）； 【深入研究】如图2，现有一个直径为2个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度． （4）图2中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请求出点D所表示的数． 类型四、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】若有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【融会贯通】 1．已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 2．已知有四个不同的解，则 ． 3．阅读下列材料并解决有关问题，我们知道：用字母表示一个有理数，则用表示的相反数．一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数．用字母表示为：，当时，，当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当，时，______． (2)已知，是有理数，当时，______． (3)已知，，是有理数，且时，求的值． 类型五、绝对值最值问题 【解惑】在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【融会贯通】 1．若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 2．如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 3． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 类型六、正方形等分问题 【解惑】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”在几何图形中也存在这样的“万世不竭”的图形．如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分①是正方形纸片的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，……，依此类推，部分①到部分⑨的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．谢尔宾斯基地毯是由波兰数学家谢尔宾斯基提出的一种具有“自相似”性质的分形图形：将第1个正方形分成9等份（如图①），挖去中间的小正方形，得到第2个正方形（如图②）；再将余下的8个小正方形分成9等份，挖去中间的小正方形，得到第3个正方形（如图③）；…这样继续进行下去，就得到空格子越来越多的谢尔宾斯基地毯．若图①中大正方形的边长为1，则第4个正方形中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 3．【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)求值． (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形面积为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形面积，依次操作次，依次得到小正方形面积为：． ①小正方形的面积_______； ②求的值． 类型七、倒数法与整体换元 【解惑】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【融会贯通】 1．请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是 ． 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 2．学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 3．学科素养．整体思想 阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为为，则原式． 请用上面的方法计算： (1) (2)． 类型八、数列与裂项求和 【解惑】阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【融会贯通】 1．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 2．一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 3．阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 类型九、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【融会贯通】 1．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，．类比有理数的乘方，我们把记作读作“4的圈4次方”，记作，读作“的圈3次方”，一般地，写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ________，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是________． ① ②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ③圈次方等于它本身的数是1或． ④任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （4）比一比：________；（填“>”“<”或“=”） （5）算一算：． 类型十、数轴动点求t 【解惑】已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______； (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？ 【融会贯通】 1．已知，点A、B在数轴上对应的数为a、b，其满足，点O表示原点，M、N分别从O、B出发沿数轴同时向负方向匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________，___________； (2)设运动时间为t秒，当t为何值时，恰好有； (3)设点P为线段的中点，点Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，说明理由并求出的值；若变化，当t为何值时，有最小值？并求出最小值． 2．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 3．如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数是最小的正整数，且满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合； (3)若点是数轴上的动点，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$