专题3.1 不等式的性质（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题3.1 不等式的性质 教学目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关问题。 2.难点 不等式性质的运用。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【即学即练】 1．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 实数大小的比较 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是．那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，． 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、作差法比大小：①；②；③ 即学即练】 1．已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 2．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 知识点03 不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 3 可加性 4 可乘性 5 同向可加性 6 同向同正可乘性 7 可乘方性 注：(1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（多选）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 题型01 用不等式(组）表示不等关系 【典例1】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 【变式1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（　　） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 题型02 不等式性质的应用 【典例1】下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】若，，为非零实数，且，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（多选）如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】若，则（　　） A． B． C． D． 题型03 不等式的大小比较 【典例1】已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 【变式1】若，，，则，的大小关系是 . 【变式2】（多选）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】若a>b>0，m>0，n>0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 【变式5】已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”） 题型04 不等式的证明 【典例1】求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 【变式1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：； （3）已知，，求证：. 【变式2】已知,求证:. 【变式3】已知,求证:. 【变式4】已知实数，满足，求证：. 题型05 根据不等式的性质求范围 【典例1】已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4】若，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 1．若，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，，则的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 5．已知，，则下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（多选）已知实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 10．若，则的取值范围是 ． 11．某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例 （选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为 ． 12．已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 13．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 14．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 不等式的性质 教学目标 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较两个数的大小． 3.体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 掌握不等式的性质，运用不等式的性质解决有关问题。 2.难点 不等式性质的运用。 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【即学即练】 1．4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】阅读题意寻找不等关系建立不等式即得。 【解析】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 2．下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解题意寻找不等关系建立不等式即得。 【解析】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. 知识点02 实数大小的比较 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是．那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，． 1.关于实数大小的比较，有以下基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2、作差法比大小：①；②；③ 即学即练】 1．已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】运用作差法计算比较即得. 【解析】因 所以 故选：B. 2．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【解析】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 知识点03 不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： (1)若,则;若,则. (2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算. 【即学即练】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解. 【解析】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以A正确； 对于B选项，例如：，，但是，所以B错误； 对于C选项，当时，，所以C错误； 对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确. 故选：AD． 2.（多选）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【解析】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 故选：BD． 题型01 用不等式(组）表示不等关系 【典例1】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阅读题意寻找不等关系建立不等式即得。 【解析】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量； (3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式. 2.用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 【变式1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】阅读题意寻找不等关系建立不等式组即得。 【解析】由题意得. 故选：D 【变式2】某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（　　） A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意列出不等关系，利用不等关系求的范围可得. 【解析】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则， 令，即， 则有，解得， 所以， 即. 故选：A 题型02 不等式性质的应用 【典例1】下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，C利用不等式的性质判断即可；对于B，举反例判断；对于D，利用作差法判断 【解析】对于A，当，时，，，此时，故A错误； 对于B，当，时，，但是，故B错误； 对于C，当，时，，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D. 【变式1】若，，为非零实数，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【解析】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 【变式2】（多选）设，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 【变式3】（多选）如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【解析】因为，所以，A成立； 因为，所以， B，C不成立； 因为，所以，所以，D成立. 故选：AD. 【变式4】若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【解析】由得，且，即， 可得，故A正确，D错误； 当时，；当时，，故BC错误． 故选:A． 题型03 不等式的大小比较 【典例1】已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】运用作差法计算比较即得. 【解析】因 所以 故选：B. 【变式1】若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【解析】由,有，， 则，故, 故答案为：. 【变式2】（多选）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：因为，所以. 所以，所以.故A错误； 对于B、C： 因为，所以. 所以，所以.故B正确，C错误； 对于D：因为， 所以，所以.故       D正确. 故选：BD 【变式3】已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项A错误； 对于B：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项B错误； 对于C：， 因为，所以，，， 所以一定成立，即选项C正确； 对于D：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项D错误. 故选：C. 【变式4】若a>b>0，m>0，n>0，则，，，按由小到大的顺序排列为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与0 比较，即可得到结论． 【解析】， ∵a＞b＞0，m＞0，n＞0， ∴0， ∴， ∵， ∵a＞b＞0，m＞0，n＞0， ∴0， ∴0， ∴， ， ∵a＞b＞0，n＞0， ∴0， ∴， 综上可知，， 故选：A． 【变式5】已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”） 【答案】≥ 【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与0 比较，即可得到结论． 【解析】， 当且仅当，取等号． 故答案为：≥ 题型04 不等式的证明 【典例1】求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】利用不等式的性质比较，即可得到结论． 【解析】(1)证明：因为，所以， 又，故， 即； (2)证明：因为，，所以 ， 因为，同号，所以 ，， 故，即 ，所以； (3)证明：因为，所以 ， 又，所以 ， 故. (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 【变式1】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：； （3）已知，，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【解析】证明：（1）因为，所以.则. （2）因为，所以.又因为，所以，即，因此. （3）因为，根据（2）的结论，得. 又因为，则 ，即. 【变式2】已知,求证:. 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【解析】证明：方法一：因为,所以, 所以,所以, 所以, 即,所以, 又因为,所以. 方法二： 因为,所以, 所以,所以, 所以,因此. 【变式3】已知,求证:. 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【解析】证明:方法一:因为,所以,所以, 所以, 即,即,又因为,所以. 方法二:因为,所以,因为,所以, 所以,即,因为,所以. 所以. 方法三: 因为,所以,所以. 【变式4】已知实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可证明. 【解析】 ， 因为，所以， 所以. 题型05 根据不等式的性质求范围 【典例1】已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解析】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式1】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【解析】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 【变式2】已知，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【解析】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式3】已知实数x，y满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解析】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【变式4】若，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解. 【解析】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 1．若，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举出反例可得A、C、D错误；借助作差法计算可得B. 【解析】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 2．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【解析】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 3．下列命题为真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举出反例可得A、B错误；借助作差法计算可判定C、D. 【解析】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 4．已知，，则的最大值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【解析】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 5．已知，，则下列不等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可判断. 【解析】选项A：因为，，所以，故A错误； 选项B：因得，又， 所以，故B错误； 选项C：因，，取，时， 此时，不满足，故C正确； 选项D：因，故，因所以， 所以，故D错误. 故选：C 6．设，若，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D 7．（多选）已知，则下列不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD. 【解析】对A：因为，所以，所以，故A错误； 对B：， 因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对C：取，，，不成立，故C错误； 对D：，因为，所以， 故原不等式成立，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【解析】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 9．（多选）已知实数满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质即得. 【解析】因为，所以，A正确； 因为，所以，解得，B错误； 因为，，所以，C正确； ，，所以， D错误.故选：AC. 10．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，得到取值范围. 【解析】，故，则， 又，故. 故答案为： 11．某高校在2008年9月初共有m名在校学生，其中有n名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例 （选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为 ． 【答案】 增大 若，则 【分析】补录新生后，新生人数增加，而原有学生人数没有变，即可得知新生占比增大；由不得式性质，结合不等式成立条件，即可得数学表达性. 【解析】由题意补录了名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大. 由于补录后新生人数变为，在校生人数增加为， 故所对应的不等式模型是， 即若，则． 故答案为:增大；，则． 12．已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解析】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 13．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【解析】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 14．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用作差法进行比较即得；（2）利用作商法进行比较即得. 【解析】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$