精品解析：吉林省松原市宁江区第五中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

名校调研系列卷・八年下第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 5. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 8. 已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ． 9. 最简二次根式与可以合并，则______． 10. 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m． 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 _________ ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算：． 14. 在中，，求的长． 15. 有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一条线段，使线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．， 17. 定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． （1）求的值； （2）化简． 18. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 19. 有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 21. 【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： （1）如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； （2）如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 22. 如图①，在长方形中，，点在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为秒，连接，当点运动到点时，． （1）_____； （2）当_____秒时，平分长方形的面积； （3）连接，当的面积为6时，求的值； （4）如图②，作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷・八年下第一次月考试卷数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义． 利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意； D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 2. 下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，本选项符合题意； C、，不能构成三角形，本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一分析各选项的运算是否正确，利用二次根式的性质和运算法则进行判断． 【详解】A. 与非同类二次根式，无法直接相加，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D.，则，计算正确． 故选D． 4. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 5. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意； 综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式， 故选：C． 6. 如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 8. 已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为__________ ． 【答案】24 【解析】 【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积． 【详解】∵62+82=102， ∴此三角形为直角三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形． 9. 最简二次根式与可以合并，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是理解可以合并的条件—同类二次根式． 根据被开方数相同，列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式，即， 解得：， 故答案为：5． 10. 如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理即可完成． 【详解】在Rt△ABC 中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得： (m) 即A、B两点间的距离为m． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理． 11. 如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由角平分线的性质得，设，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过作于点， 平分， ， 设， ， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确化简二次根式是解题的关键． 先化成最简二次根式，再计算加减即可． 【详解】 ， ， ． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．利用乘法分配律去掉括号，计算二次根式的乘法和除法，再计算加减即可． 【详解】解： 14. 在中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，如图， 所以． 15. 有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 【答案】是， 理由如下： 连接AC． 在△ABC中，∵∠B=90°， ∴△ABC为直角三角形； ∴AC2=AB2+BC2=8， 又∵AD2+AC2=1+8=9，而DC2=9， ∴AC2+AD2=DC2， ∴△ACD也为直角三角形． 【解析】 【分析】先在△ABC中，由∠B=90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2=8，那么AD2+AC2=9=DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形． 【详解】略 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一条线段，使线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．， 【答案】（1） 如图①中，线段即为所求． （2） 如图②中，即为所求． （3） 如图③中，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由勾股定理可知，直角边为1和4的直角三角形，其斜边长为，据此作图． （2）构造两直角边均为，斜边为2的直角三角形即可（答案不唯一）． （3）构造三边分别为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． （1）求的值； （2）化简． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； 【详解】解：（1）在中，， 答：长为； （2）， ， 在中，， ， 答：的长度为． 19. 有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算； 【小问1详解】 由题知，，， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ，， 长方形木板的面积． 【小问2详解】 若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， 则该长方形木料的长为． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18， 10 （2）①直角三角形， 理由： ∵， ∴为直角三角形； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：18，10； 【小问2详解】 ① 略 ② ∴． 21. 【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： （1）如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； （2）如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】（1）6 （2） ①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②37 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【小问1详解】 解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 22. 如图①，在长方形中，，点在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为秒，连接，当点运动到点时，． （1）_____； （2）当_____秒时，平分长方形的面积； （3）连接，当的面积为6时，求的值； （4）如图②，作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 【答案】（1）4 （2）8 （3）或 （4）或7或 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理解三角形，动点的性质，根据点的运动位置熟练应用勾股定理解第三边是解决本题的关键． （1）由点运动到点时，构成直角，再根据，由勾股定理求解即可． （2）先求解出长方形的面积，再根据直角梯形的面积求解即可． （3）分类讨论点运动到边与点运动到边，根据三角形面积公式求解即可． （4）根据点分别落在长方形的边上和边上时，结合勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：当点运动到点时，为直角三角形， 又，， ∴． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：长方形中，，， ∴， ∵点运动的时间为秒， ∴当点运动到时， 则有， ∴， 解得， ∴当秒时，平分长方形的面积． 故答案为：8． 【小问3详解】 解：当点运动到边，如图， 此时， 则有，， ∴， 解得，满足； 当点运动到边，如图， 此时， 则有，， ∴， 解得，满足； 综上，当的面积为6时，的值为或． 【小问4详解】 解：过点作交于点， 当点落在边上靠近点的位置时，如图， ∵， 由图可知，，，， 在中，， ∵, ∴， 则， 在中，， 即， 解得； 过点作交于点， 当点落在边上靠近点的位置时，如图， 在中，同理可得， ∴则有，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； 当点落在边上时，如图， ∴则有， ∴， ，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∵ ∴， 解得； 综上，当点落在长方形的边上时，的值为或7或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $