7.1.2 弧度制（题型专练）数学苏教版必修第一册

7.1.2 弧度制 题型一 弧度的概念 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角结合弧度制分析判断. 【详解】因为， 且， 所以是第三象限角，即是第三象限角． 故选：C. 3.．（判断题）（24-25高一下·全国·课堂例题）“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( ) 【答案】正确 【分析】利用1弧度的角的定义判断即得. 【详解】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角是1弧度的角，其大小与所在圆的半径大小无关. 故答案为：正确 4．（24-25高一下·全国·课后作业）若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 弧度. 【答案】1 【分析】根据弧度的定义求解即可． 【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 故答案为：1． 题型二 用弧度制表示终边相同的角 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据表示终边的角逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； 对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误； 对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误； 对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确. 故选：D. 题型三 角度化为弧度 1．（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化. 【详解】,故选：B. 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 题型四 弧度化为角度 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）弧度等于（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系即可各答案. 【详解】依题意，弧度等于. 故选：B 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案. 【详解】由题意得，． 故选：C． 3．（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【详解】. 故选：C. 题型五 扇形弧长的计算问题 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要卖给定条件，利用弧长公式计算得解. 【详解】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为. 故选：D 题型六 扇形圆心角的计算问题 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 【答案】C 【分析】由扇形的周长、面积求得弧长和半径，再由圆心角公式即可求解； 【详解】由条件可得：， 联立消去可得：， 解得或. 当时，，，第二象限的角， 当当时，，，第一象限的角， 故选：C. 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 题型七 扇形面积的计算问题 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据弧长公式及扇形公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为，，所以，所以， 所以该扇形的面积． 故选：B． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（   ） A．75 B．150 C．200 D．400 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形弧长及面积公式列式求解. 【详解】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得， 所以该扇形的面积为. 故选：C 3．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求出答案. 【详解】设扇形的圆心角和弧长分别为， 由得， 所以该扇形的面积为. 故选：B. 题型八 扇形半径的计算问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式直接计算求解即可. 【详解】圆心角为，即圆心角为， 又扇形的弧长为，所以，解得该扇形的半径， 故选：C 2．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形工艺品的周长为150，圆心角为3，则该扇形工艺品的半径为（   ） A．20 B．24 C．30 D．35 【答案】C 【分析】根据扇形的周长及弧长公式计算即可. 【详解】设该扇形工艺品的弧长和半径分别为， 由题易得，所以，解得． 故选：C． 题型一 扇形中最值计算问题 1．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【答案】 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解； （2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得. 【详解】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 题型二 根据扇形中的最值求其它量 1．．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 所以，当时，扇形的面积最大. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 由正三角形性质可算得其高，也即扇形半径，由扇形面积公式可算得答案. 【详解】由题意，当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 该扇形所对的圆心角为，而边长为的正三角形的高为， 由扇形面积公式可得该扇形面积为. 故选：B. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 题型三 扇形弧长公式、面积公式的综合应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在扇形中，已知弦，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：设扇形的圆心角为，半径为，根据求出，进而由扇形面积公式得到答案； 方法二：设扇形的圆心角为，半径为，根据求出，先求出扇形所在圆的面积，进而得到扇形面积. 【详解】方法一：设扇形的圆心角为，半径为，则， 扇形的面积． 方法二：设扇形的圆心角为，半径为，则， 则扇形所在圆的面积为，又，所以扇形的面积． 故选：B 2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设扇形的圆心角为，半径为r，利用扇形及圆的面积公式化简求解． 【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，， 所以，解得. 故选：C 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 【答案】6 【分析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，即，解出即可求解. 【详解】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得， 即所在扇形的圆心角大小为6． 故答案为：6. 1．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将弧度制化为角度制，即可判断①，利用扇形面积公式求出，再由弧长公式判断②，根据象限角的定义判断③、④. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则， 即半径，所以弧长，所以扇形的周长为，故②正确； 对于③，因为是第一象限的角，所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角，故③错误； 对于④，因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角，故④错误. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．若是锐角，则是第一象限角 B．“” 是“”的充分不必要条件 C．若，则为第一或第二象限角 D．小圆中1弧度的圆心角比大圆中1弧度制的圆心角小 【答案】AB 【分析】根据象限角的定义可判断A；根据三角函数的周期性可判断B；考虑终边在轴的非负半轴上可判断C；根据弧度定义可判断D. 【详解】对A，若是锐角，则，是第一象限角，A正确； 对B，若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“” 是“”的充分不必要条件，B正确； 对C，若，则， 即为第一或第二象限角，或者终边在轴的非负半轴上，C错误； 对D，1弧度的圆心角是指弧长等于半径的弧所对的角，与圆的大小无关，D错误. 故选：AB 3．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 【答案】BC 【分析】根据题意有解出即可判断AB，根据扇形的面积公式计算即可判断CD. 【详解】设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为，l，r， 所以，解得故A错误，B正确； 扇形的面积，故C正确，D错误． 故选：BC． 4．（25-26高一上·全国·期末）月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积．该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题．如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ，Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则三个区域的总面积为 ． 【答案】2 【分析】由题可得，由题目信息可得区域Ⅰ，Ⅱ的面积之和为1，然后由题目条件算出区域III面积可得答案. 【详解】 因为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为， 则，从而， 则由题意，区域Ⅰ，Ⅱ的面积之和等于的面积：； 而扇形的面积为：， 则弓形的面积为：. 从而区域III的面积为：. 则三个区域的总面积为． 故答案为：2 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    【答案】 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图，延长扇环形的线段交于小圆圆心，则， 设，每个扇环形小拼盘所在扇形的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为： ． 故答案为：.    6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． （2）由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 8．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出梯形的高后结合题意计算即可得； （2）四边形面积为，设，结合，即可求出面积关于的表达式，即可得最大值. 【详解】（1）连接，过点作于点，交于点， 由，，扇形半径为4，分别为的中点， 故，，，， 则，故为等边三角形， 则，, 故梯形的高为；    （2）设，则， 且此时，四边形面积为： ， ∴时，取最大值. 10．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 【答案】(1) (2) (3)当时，扇形面积有最大值，为 【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案； （2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案； （3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由，则. （2）由，解得或18，因为，所以. （3）由，得， 则， 由，则，当且仅当时，等号成立， 当时，扇形面积有最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 弧度制 题型一 弧度的概念 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.．（判断题）（24-25高一下·全国·课堂例题）“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( ) 4．（24-25高一下·全国·课后作业）若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为 弧度. 题型二 用弧度制表示终边相同的角 1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 题型三 角度化为弧度 1．（2025高一上·全国·专题练习）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西梧州·期末）体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 题型四 弧度化为角度 1．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）弧度等于（　　 ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 题型五 扇形弧长的计算问题 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 题型六 扇形圆心角的计算问题 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 2．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 题型七 扇形面积的计算问题 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（   ） A．75 B．150 C．200 D．400 3．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型八 扇形半径的计算问题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．6 D．8 2．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形工艺品的周长为150，圆心角为3，则该扇形工艺品的半径为（   ） A．20 B．24 C．30 D．35 题型一 扇形中最值计算问题 1．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 2．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 3．（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 题型二 根据扇形中的最值求其它量 1．．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 5．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为 ． 题型三 扇形弧长公式、面积公式的综合应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在扇形中，已知弦，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 1．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．若是锐角，则是第一象限角 B．“” 是“”的充分不必要条件 C．若，则为第一或第二象限角 D．小圆中1弧度的圆心角比大圆中1弧度制的圆心角小 3．（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 4．（25-26高一上·全国·期末）月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积．该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题．如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ，Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则三个区域的总面积为 ． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 8．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 10．（23-24高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R. (1)若，，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$