7.1.2 弧度制课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第7章 7.1 角与弧度 7.1.1 弧度制 学习目标 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握弧度制中弧长公式和扇形面积公式. 核心素养：数学抽象　数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一　角度制与弧度制 1角度制 规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制. 2弧度 （1）1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad. （2）弧度制 ①定义：用弧度作为角的单位来度量角的单位制. ②记法：用符号rad表示，读作弧度. 如图，的长等于半径r ，所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 知识链接　建立弧度制的意义 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应 角的集合 实数集R 3弧度数的计算 （1）正角：正角的弧度数是正数. （2）负角：负角的弧度数是负数. （3）零角：零角的弧度数为0. （4）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 例如圆的半径为r，弧长分别为2r，πr的弧所对圆心角的弧度数的绝对值分别是2和π. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 角度为30°，60°的圆心角，当半径r＝1，2，3时. （1）分别计算相对应的弧长. （2）分别计算对应弧长与半径之比. （3）通过（1）（2），你发现圆心角的大小和半径的大小有关系吗？有什么规律？ 解  （1）角度为30°，半径r＝1，2，3时，对应的弧长分别为＝，＝，＝； 角度为60°，半径r＝1，2，3时，对应的弧长分别为＝，＝，＝π. （2）角度为30°，半径r＝1，2，3时，对应的弧长与半径之比均为；角度为60°，半径分别 是1，2，3时，对应的弧长与半径之比均为. （3）圆心角的大小和半径的大小无关，弧长的大小与半径的大小有关. 圆心角不变，弧长与半径的比值不变，比值的大小与所取的圆的半径的大小无关. 圆心角改变，比值改变，比值的大小只与圆心角的大小有关. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二　角度与弧度的换算 1换算公式 2一些特殊角与弧度数的对应关系 注意 角度与弧度互化的注意点 （1）弧度制、角度制都是角的度量制，因单位不同，故它们之间可以进行换算. （2）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同（都是0）；用角度制和弧度制度量 任一非零角，单位不同，量度也不同. （3）用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数. （4）弧度与角度不能混用，即不能出现形如30°+的样式. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例 下列转化结果正确的是（　） A. 60°30′化成弧度是π rad B.-π rad化成度是600° C.-150°化成弧度是-π rad D. rad化成度是45° 解析  对于A，60°30′＝60.5°＝60.5°×rad＝π rad； 对于B，-π rad＝-×180°＝-600°； 对于C，-150°＝-150×rad＝-π rad； 对于D， rad＝×180°＝15°. A 解题技巧  （1）角度与弧度的换算公式为角度数×＝弧度数. （2）角度中含有“′”“″”时，要先将其化为“°”. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 三　弧度制下扇形中的弧长公式与面积公式 如图，设圆的半径为r，圆心角为α（0<α<2π），圆心角α所对的弧长为l. 圆心角为α的扇形的面积为S. 1弧长公式: 由公式|α|＝，可得l＝|α|r. 2面积公式: S＝lr＝|α|r2. 【公式推演过程】 设扇形所在圆的半径是R，扇形的圆心角为n°，则 l＝＝n××R＝|α|×R； S＝＝×n××R×R＝×|α|×R2＝×|α|×R×R＝lR. 说明 半径为r的圆的面积S＝πr2，而一周角的弧度数是2π，从而圆心角为1 rad的扇形面积是πr2；故圆心角为α rad（α>0）的扇形面积为S＝α·πr2＝·πr2＝αr2. 若α∈R，则S扇形＝|α|r2.∵ |α|＝，∴ S扇形＝··r2＝lr.故弧度制下扇形的面积公式有两种形式：S＝|α|r2，S＝lr. 这比角度制下的扇形的面积公式S＝（n为圆心角的角度数）简便的多. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 3弧长公式及面积公式的两种表示 采用弧度制时，弧长公式和扇形面积公式简单明了，但是要注意