10.1.1空间的点、直线与平面（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.1平面及其基本性质 1 空间的点、直线与平面 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 逐梦苍穹，探索空间 情境引入 着陆器降落在月球表面，离不开对空间中平面、直线和点的位置关系的精确计算。比如，着陆器的某个舱门所在的平面，与舱体的棱（直线）、舱体上的传感器（点）有着怎样的空间关系呢？ 玉兔号登陆月球 思考：能否从生活中，找一找还有哪些能给我们平面形象的例子呢？ 平整的墙面 平静的水面 太阳能发电板 与平面几何中的点与直线一样，平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念．思考平面具有怎样的特征？ 平面 直线 绝对的平 绝对的直 无限延展 无限延展 无薄厚之分 ，不计大小 无粗细之分 √ 思考:如何表示平面，画出平面呢？ 平面是立体几何中的一个基本图形．长方体的每个面都是某个平面的一部分,故长方体就可以看作是由六个平面所围成的空间图形． 新知初探 习惯上，我们用一个平行四边形来表示平面．当平面是水平放置时，通常把这个平行四边形的锐角画成左右，且横边长约为邻边长的2倍. 平面通常用一个小写希腊字母表示如α、β、γ、等，有时也可以用一个或多个大写英文字母表示，如平面，平面. 水平平面 直立平面 相交平面 如果一个平面被另一个平面遮挡住，应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感。 问：我们把空间的直线和平面都看成是由点所组成的集合，该怎么用这些符号来表示点与直线，平面的位置关系呢？ 点与直线 点与平面 符号表示 位置关系 图象表示 点在直线上，也称直线经过点 点不在直线上，也称直线不经过点 点在平面上，也称平面经过点 点不在平面上,也称平面不经过点 思考：在平面几何中，我们已经知道两点可以确定一条直线，是否可以推测：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么整条直线都在这个平面上？ 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上． 如无特别说明，本章中所说的两个点、两条直线、两个平面等均指它们不相重合的情形． α A B 符号语言：，. 这个公理能帮我们解决什么问题？ 公理１可以用来判断一条直线是否在某个平面上．由公理１知，不在平面上的直线与这个平面最多只有一个公共点． 思考：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面? 问：上述两个生活现象的共同点是什么？可以反映出平面的什么性质？ 三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机；两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍然可以转动，只有锁上后才可以固定下来．这些例子都说明了一个事实，那就是不在同一直线上的三点才能确定一个平面．由此，我们得到下面的公理． 若三点不在同一直线上，则存在唯一的平面，使得三点均在此平面上． A C B 思考：不共线三点确定一个平面，那直线跟平面有什么位置关系？如果直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内？如果直线与平面有两个公共点呢? 公理2 不在同一条直线上的三点确定一个平面. 具体表述 意指（经过这三个点）有且只有一个平面或“存在唯一的平面” ①直线与平面相交：如果直线与平面只有一个公共点，就称直线与平面交于点，或称是直线与平面的交点． ②直线与平面平行：直线与平面没有公共点. 符号语言：∩＝或∥ 符号语言：∩= 还有其他位置关系吗,又如何画图？ ③直线在平面上， 直线画在表示平面的平行四边形的内部 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面. 确定一个平面的另外几种方法. 符号语言:若则存在唯一的平面，使得． 推论2 两条相交直线确定一个平面. 推论3 两条平行直线确定一个平面. 同学们，请完成剩余两个推论的符号语言的书写。 你能试着证明推论1吗？ 设是直线外的一点，在直线上任取和两点.由公理2可知，和三点能确定一个平面．因为点∈，由公理1可知，所在的直线，从而平面是由直线和点确定的平面. 公理2又能帮我们解决什么问题？ 公理2及其三个推论可以用来构造一个平面或者判断点与直线是不是在同一个平面上． 如果可以判定某个空间图形在同一个平面上，那么它实际上就是一个平面图形，从而可以用平面几何的知识和方法来处理相应的问题． 例1：已知三角形的三个顶点都在平面上，求证：该三角形的重心也在平面上． 证明：如图10-1-7，记线段的中点为 因为∈，∈，由公理１可知，直线，而,从而． 又因为，仍由公理1知，, 由于重心是线段的一个三等分点，因此 典例分析 例2：已知三条直线、和两两相交，且不交于同一点.求证：直线和在同一平面上. 证明：因为直线两两相交，设，. 由推论2可知，相交的直线可确定一个平面 ∵.∴..（、不重合） 又由公理1可知，，，∴所在的直线. ∴直线，都在平面上. 课堂检测 1.证明：若四边形有三条边在一个平面上，则它的第四条边也在这个平面上． 本题主要运用平面的基本性质（公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上．）来证明。 设四边形满足 求证： 证明：因为所以由公理1可知， 2.已知直线，且直线都相交，求证：直线在同一平面上． ∵，∴不妨设共面于平面， 设， 又 同理，即， ∴直线在同一平面上． 分析：我们的求解计划是先利用平行线确定一个平面，再根据直线相交的条件证明第三条直线也在这个平面内。 第一步：确定由和所确定的平面 第二步：证明直线上的点在平面内 第三步:证明直线在平面内 3、判断下列命题是否正确. 1.书桌面是平面. 2.平面与平面相交，他们只有有限个公共点. 3.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （×） （×） （√） 4.下列命题正确的是( ) A.三点确定一个平面. B.一条直线和一个点确定一个平面. C.圆心和圆上的两点可确定一个平面. D.梯形可确定一个平面. D 选项A:只有不共线的三点才能确定一个平面. 选项B:当点在直线上时，经过这条直线和这个点有无数个平面,错误。 选项C:当圆上的两点与圆心共线（即这两点是圆的直径的两个端点）时，经过圆心和这两点有无数个平面，错误。 平面 平面的基本性质 平面的概念及其表示 平面的概念 平面的画法和表示 公理 推论 课堂小结 1.今天我们学习了推论2：两条相交直线确定一个平面. 同学们能否仿照推论1的证明过程证明推论2？ 课后作业 2.现在很多建筑设计、工业制造（比如汽车零部件的生产）都需要精准运用空间点、直线与平面的关系。大家想想，在这些领域中，我们今天学的知识能发挥什么作用？结合具体的例子说一说。 感谢聆听! $$