10.1 平面及其基本性质（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

10.1 平面及其基本性质 题型1：平面的有关概念及其表示 1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为 ． 2．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 3．点在直线上，可用集合符号表示为 ． 4．若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 题型2：空间位置关系的画法 5．过直线外一点有 条直线与该直线垂直． 6．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是 ． 7．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系: （1）点与平面: ； （2）点与平面: ； （3）直线与平面: ； （4）直线与平面: ； （5）平面与平面: ； 8．用符号表示“点A在直线l上，点B不在直线l上，l在平面α外，l在平面β内”，正确的表示有 ． ①②③④⑤⑥⑦⑧ 题型3：文字语言、符号语言、图形语言 9．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 10．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 11．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 题型4：平面的基本性质 12．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 13．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①： ； ②且： ； ③： ； ④： ． 14．请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 15．4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 16．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 17．已知，为异面直线，平面，平面，，则（    ） A．与，都相交 B．与，中至少一条相交 C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交 题型5：确定平面的数量问题 18．三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 19．空间中三条平行直线最多确定 个平面. 20．空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 21．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 题型6：平面分空间的区域数量 22．一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 23．四个平面最多可将空间分割成 个部分 题型7：空间中点（线）共面问题 24．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 25．在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 26．给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是 ． 题型8：空间中点共线问题 27．平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线． 28．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 题型9：空间中线共点问题 29．如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．    求证：三条直线交于一点； 30．如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 一、填空题 1．（1）空间不共线的四点可以确定的平面个数是 ． （2）四条直线两两平行，每两条确定一个平面，则可以确定的平面个数是 ． 2．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 3．下列命题中正确的个数为 ． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，，，则，，三点共线； ②若三条直线，，互相平行且分别交直线于，，三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． 4．空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这12个点可确定 个不同的平面 二、单选题 5．下列图形中，一定可以确定一个平面的是（    ） A．四边形 B．空间三点 C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线 6．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（    ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 7．A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（    ） A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β ＝直线AB C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合 D．l⊄α，A∈l⇒A∉α 8．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题 9．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 10．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 11．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 平面及其基本性质 题型1：平面的有关概念及其表示 1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为 ． 【答案】， 【分析】利用点线、线面关系的符号表示写出结论即得. 【解析】由点A在直线l上，得；由l在平面外，得. 故答案为：； 2．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【解析】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 3．点在直线上，可用集合符号表示为 ． 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系表示即可. 【解析】解：点在直线上，可用集合符号表示为. 故答案为： 4．若点在直线上，在平面内，则用符号表示､､之间的关系可记作 . 【答案】，， 【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案. 【解析】点在直线上，在平面内，则，， 故､､之间的关系可记作，，. 故答案为：，， 题型2：空间位置关系的画法 5．过直线外一点有 条直线与该直线垂直． 【答案】无数 【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果. 【解析】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直. 故答案为：无数 6．下图中的两个相交平面，其中画法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【解析】解：对于①，因被挡住的部分应画虚线，需要画出两相交平面的交线，故①错误； 对于②，因被挡住的部分应画虚线，故②错误； 对于③，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故③错误； 对于④，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线，且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故④正确. 故答案为：④. 7．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系: （1）点与平面: ； （2）点与平面: ； （3）直线与平面: ； （4）直线与平面: ； （5）平面与平面: ； 【答案】 【解析】用几何符号表示点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系即可. 【解析】（1）点不在平面内，所以；（2）点不在平面内，所以；（3）直线与平面相交于点，所以；（4）直线在平面内，所以；（5）平面与平面相交，且交线为，所以. 【点睛】本题主要考查点线面的位置关系的几何符号表示;属于基础题. 8．用符号表示“点A在直线l上，点B不在直线l上，l在平面α外，l在平面β内”，正确的表示有 ． ①②③④⑤⑥⑦⑧ 【答案】①③⑥⑧ 【分析】利用点线面的关系，用符号表示即可． 【解析】点在直线上，直线在平面外，点B不在直线l上， l在平面β内. ，,，． 正确的为：①③⑥⑧ 故答案为①③⑥⑧ 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，点与直线的位置关系，正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键． 题型3：文字语言、符号语言、图形语言 9．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形． 平面与平面交于，平面与平面交于. （2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解. 【解析】符号语言表示：平面平面，平面平面. 用图形表示如图①所示． (2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内， 图形语言表示如图②所示．         10．用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【解析】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    11．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【解析】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 题型4：平面的基本性质 12．下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 【答案】C 【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断. 【解析】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 13．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①： ； ②且： ； ③： ； ④： ． 【答案】 C D A B 【分析】由符号语言转化图形语言可得正确答案. 【解析】①，表示点在平面外且直线在平面内，故C符合； ②且，表示平面相交于直线， 点在平面外且点在平面外，故D符合； ③，表示直线在平面外，直线与平面相交于点A，故A符合； ④， 表示平面相交于直线，平面相交于直线，平面相交于直线， 直线相交于点，故B符合. 故答案为：①C；②D；③A；④B. 14．请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【分析】根据公理的内容即可求解. 【解析】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 15．4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 【答案】相交 【分析】应用空间想象，讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论. 【解析】当两条对角线不相交时，四边形的四个顶点不共面，故不是平面图形，如下图，    对角线不相交，即为空间四边形； 当两条对角线相交时，四边形的四个顶点共面，是平面图形，如下图，    对角线相交，即为平面四边形； 故答案为：相交 16．已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【解析】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 17．已知，为异面直线，平面，平面，，则（    ） A．与，都相交 B．与，中至少一条相交 C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交 【答案】B 【分析】由题意画出满足条件的图象，结合图象得到正确选项. 【解析】若与都不相交，则，，则，这与是异面直线矛盾； 故C不正确； 如图，与中的一条相交，另一条不相交，    也可以与两条都相交，但不交于同一点，如图    综上：与中的至少一条相交. 故选：B 题型5：确定平面的数量问题 18．三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有 个. 【答案】1 【分析】根据确定平面的方法即可. 【解析】不在同一条直线上的三点确定一个平面. 故答案为：1. 19．空间中三条平行直线最多确定 个平面. 【答案】3 【分析】结合公理2的推论3分析判断. 【解析】三条平行直线在一个平面内时，确定一个平面， 当三条平行直线不在同一个平面时，两两能确定一个平面，共能确定三个平面. 所以空间中三条平行直线最多确定三个平面. 故答案为：3. 20．空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【解析】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 21．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【解析】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 题型6：平面分空间的区域数量 22．一个平面把空间分为 部分；两个平面把空间分为 部分；三个平面把空间分为 部分． 【答案】 或 或或或 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可； 【解析】一个平面把空间分为部分； 两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分， 故两个平面将空间分成或部分； 当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示； 当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示； 当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示； 当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示； 当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交， 即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示； 综上可得三个平面把空间分为或或或部分.            故答案为：；或；或或或 23．四个平面最多可将空间分割成 个部分 【答案】15 【分析】把一个三棱锥的四个表面无限地延伸，计算对应的空间部分，得到答案． 【解析】把一个三棱锥的四个表面无限地延伸，设形成的平面为， 在平面上方，形成类似于以为原点的空间坐标系，共有8个部分； 在平面下方，三个平面两两相交，共有7个部分； 简图如图所示： 故共有15个部分. 故答案为：15 题型7：空间中点（线）共面问题 24．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【解析】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 25．在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可. 【解析】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线， 所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 26．给出以下说法： ①共面的四点中，任意三点不共线； ②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合； ⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面． 其中正确的个数是 ． 【答案】1 【分析】根据点线面的空间关系与性质定理逐个判断即可. 【解析】易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面上； ③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内；④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上． 所以正确命题的个数为1． 故答案为：1. 题型8：空间中点共线问题 27．平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，则三个交点共线． 【答案】证明见解析 【分析】 根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明. 【解析】 证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    28．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【解析】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 29．如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．    求证：三条直线交于一点； 【答案】证明见解析 【分析】根据分别是棱的中点可得，利用等角定理可得三点共线，同理可得三点共线；即三条直线交于一点O． 【解析】延长交的延长线于点O，如下图所示：    易得． 在与中， ，所以 所以，由等角定理可知三点共线； 同理可得三点共线； ∴三条直线交于一点O． 30．如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【解析】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 一、填空题 1．（1）空间不共线的四点可以确定的平面个数是 ． （2）四条直线两两平行，每两条确定一个平面，则可以确定的平面个数是 ． 【答案】 1或4 1或4或6 【分析】（1）根据四个点的位置关系即可判断；（2）根据直线的位置关系即可判断 【解析】（1）当其中三个点共线，则这空间不共线的四点可以确定一个平面；当无三点共线时，四点可以连接成空间四边形，可以确定四个平面． （2）如图四条直线可以确定一个平面； 如图四条直线可以确定四个平面，直线， ， 以及 各确定一个平面，共计四个； 如图四条直线可以确定六个平面，每两条直线确定一个平面，共计六个． 【点睛】本题主要考查平面基本性质公理2以及其推论的应用． 2．直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD/DB 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【解析】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 3．下列命题中正确的个数为 ． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，，，则，，三点共线； ②若三条直线，，互相平行且分别交直线于，，三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． 【答案】2 【分析】根据公理2及公理1可证①成立，根据公理3及其推论可证②成立，通过反例可得③不成立，从而可得③错误. 【解析】对于①，因为，平面，因此平面， 同理平面，平面，故三点共线.故①正确. 对于②，如图 因为，故可确定一个平面，因为， ，故，所以. 在平面内过作直线，因为，故重合或者， 但，从而重合，也就是这四条直线共面，故②正确. 对于③，以四棱锥为例， 五点不共面，但这个五个点确定了7个平面，它们分别为： 平面、平面、平面、平面、平面、平面、平面， 故③错误. 故答案为：2. 【点睛】本题考查公理1、公理2、公理3及其推论的应用，其中公理1解决了线在面内的问题，公理2解决了点共线，线共点的问题，而公理3及其推论则解决了点、线共面的问题. 4．空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这12个点可确定 个不同的平面 【答案】211 【分析】把12个点分四类分别计算各自确定的平面的个数，求和即可. 【解析】分四类考虑， ① 5个共面点可确定1个平面； ②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定7个平面； ③5个共面点中任何1个点和其余7个点中任意2点确定5个平面； ④7个点中任意3点确定个平面. 所以共确定平面的个数为1+7+5+=211个. 故答案为211 【点睛】本题考查空间平面个数的确定，利用不共线的三点确定一个平面，利用排列组合的知识进行求解,或者使用列举法进行列举． 二、单选题 5．下列图形中，一定可以确定一个平面的是（    ） A．四边形 B．空间三点 C．两两相交且交点均不相同的四条直线 D．交于同一点的三条直线 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质，对四个选项逐一判断即可得解. 【解析】对于选项A，四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，所以选项A不正确； 对于选项B，空间三点如果在一条直线上，所以不能确定一个平面，所以选项B不正确； 对于选项C，设这四条直线分别为、、、，取其中两条相交直线和，则它们可确定一个平面，取，设其与、的交点分别为A、B，则由题意知这两点不同，且，，所以有A、，从而；同理可证明，所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，所以选项C正确； 对于选项D，交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的条棱，不能确定一个平面，所以选项D不正确. 故选：C． 6．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（    ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【解析】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 7．A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（    ） A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β ＝直线AB C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合 D．l⊄α，A∈l⇒A∉α 【答案】D 【分析】由平面的性质的三个公理A、B、C正确；而D中，时，可能与相交，若交点为A，可得D是错误的，即可求解. 【解析】因为表示不同的点，表示直线，表示不同的平面， 对于A中，由，由平面的基本性质，可得，所以是正确的； 对于B中，由，由平面的基本性质，可得，所以是正确的； 对于C中，由且不共线，由平面的基本性质，可得平面与平面重合，所以是正确的； 对于D中，由，可得或与相交，当时，，所以D不正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了以平面的基本性质为载体的命题的真假判定及应用，其中解答中熟记平面的基本性质，逐项判定是解答得关键，着重考查推理与论证能力. 8．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由公理2的推论即可得到答案. 【解析】由公理2的推论: 过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论： 过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得, 当时, 在同一个平面上, 但中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题; 公理2的三个推论： 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; 经过两条平行直线,有且只有一个平面; 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 三、解答题 9．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【分析】设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证. 【解析】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 10．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【答案】证明见解析 【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内． 【解析】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. 11．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【解析】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$