广东省肇庆市高要区华侨实验学校2024—2025学年下学期九年级3月月考数学试卷

2024-2025学年广东省肇庆市高要区华侨实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是 A. B. C. D. 2.下列图形中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.太阳的半径约为，把这个数用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.如图，是的直径，是上一点若，则(    ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是(    ) A. B. C. D. 7.某品牌服装春节后经过二次打折活动清库存，每件售价由元降为元已知两次降价的百分率都为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知中，，是的中位线，，，则(    ) A. B. C. D. 9.将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    ) A. B. C. D. 10.下列对二次函数的图象的描述，正确的是(    ) A. 开口向下 B. 对称轴是轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.数据、、、、的众数是______． 12.要使二次根式有意义，则的取值范围是______． 13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14.计算：______． 15.如图，已知，，将线段向右平移个单位长度后，点，恰好同时落在反比例函数的图象上，且对应点分别为点，，则等于______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：． 17.本小题分 如图，在中，． 作边的垂直平分线，与、分别相交于点、用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法； 在的条件下，连接，若，求的度数． 18.本小题分 如图，中，，是边上的高，求证：∽． 19.本小题分 “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． 请将条形统计图补充完整； 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为______；若该市有名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有______人； 甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20.本小题分 如图，四边形中，，，是的平分线，以点为圆心，长为半径作，交于点． 试判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求图中阴影部分的面积． 21.本小题分 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒． 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 该商家如何定价销售能使每天利润最大，求出最大利润． 22.本小题分 如图，抛物线交直线于坐标轴上，两点，交轴于另一点，连接． 求抛物线的解析式； 点在对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标和的最小周长值． 23.本小题分 综合与实践 问题情境：如图，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． 探索尝试：图中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长______；填“相等”或“不相等”若，，则 ______． 解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示； 拓展延伸：图是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的绝对值为。 故选：． 根据负数的绝对值等于它的相反数解答。 本题考查了绝对值的性质，熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键。 2.【答案】  【解析】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 3.【答案】  【解析】解：将用科学记数法表示为． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：， ． 故选：． 根据圆周角定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：． 根据合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方运算法则运算判断即可． 本题考查了完全平方公式，熟练掌握同底数幂的除法、积的乘方运算法则是关键． 6.【答案】  【解析】解：摸出的球是红球的概率：， 故选：． 直接根据概率公式求解即可． 本题考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率． 7.【答案】  【解析】解：由题意得： 满足的方程为． 故选：． 若两次降价的百分率均是，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】 解：在中，， 是的中位线， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 即， 故选：． 根据上加下减的平移规律求解即可． 本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键． A、由，可得出抛物线开口向上，选项A不正确； B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线，选项B不正确； C、代入求出值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确； D、由及抛物线对称轴为直线，利用二次函数的性质，可得出当时，随值的增大而增大，选项D不正确． 综上即可得出结论． 【解答】 解：、， 抛物线开口向上，选项A不正确； B、， 抛物线的对称轴为直线，选项B不正确； C、当时，， 抛物线经过原点，选项C正确； D、，抛物线的对称轴为直线， 当时，随值的增大而增大，选项D不正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：数据、、、、中，出现的次数最多，所以这组数据的众数为， 故答案为． 根据众数的定义即可判断； 本题考查众数的定义，解题的关键是记住一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 根据被开方数大于等于列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 13.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14.【答案】  【解析】解：原式故答案为． 首先把分式分母转化成同分母，然后进行约分． 本题考查了分式的加减运算，题目比较容易． 15.【答案】  【解析】解：，， 右平移个单位长度后，得到，， 平移后的点刚好落在上， ， 解得：， 故答案为：． 先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图象上可得到结果， 本题考查了平移，准确理解平移的计算方法“上加下减，左加右减”是解题的关键．． 16.【答案】解：原式 ．  【解析】利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则计算即可． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】见解析；   ．  【解析】图形如图所示： 垂直平分线段， ， ， ． 根据要求作出图形即可； 证明，推出，再利用三角形的外角的性质求解． 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.【答案】见解析．  【解析】证明：， ， 是边上的高， ， ， ， ∽． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19.【答案】解：本次抽取的学生有：人， 其中选择的学生有：人， 补全的条形统计图如右图所示； ，； 树状图如下所示： 由上可得，一共有种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有种， 两人恰好选取同一所大学的概率为．  【解析】见答案； 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：， 该市有名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有：人， 故答案为：，； 见答案． 根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出选择的人数，从而可以将条形统计图补充完整； 根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数和该市有名中学生参加本次活动，选择大学的学生人数； 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率． 本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 20.【答案】与相切，理由见解析；  ．  【解析】与相切， 理由：过点作，垂足为， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， ，则点在圆上， 与相切； ，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 过点作，证明≌，得到，即可证明与圆相切； 根据平行线的性质和角平分线的定义求得，进而得到，求出，再利用求出阴影部分面积． 本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含度直角三角形的性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线． 21.【答案】猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元；  猪肉粽每盒售价为元，利润最大为元．  【解析】设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ． ． 经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元； 由题意得，当时，每天可售出盒， 当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒， ， ． 时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为：元． 答：猪肉粽每盒售价为元，利润最大为元． 设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； 由题意得，当时，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，进而可以计算得解． 本题主要考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． 22.【答案】；   ，．  【解析】解：当时，，解得， ， 当时，， ， 把，分别代入得， 解得， 抛物线解析式为； 当时，，解得，， ， 抛物线的对称轴为直线， 交直线于点，如图， ， ， 此时的值最小， ， 此时的周长最小， 当时，， 点坐标为，的最小周长值为． 先利用一次函数解析式求出，，然后利用待定系数法求抛物线解析式； 先解方程得，则抛物线的对称轴为直线，交直线于点，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，由于，所以此时的周长最小，计算一次函数自变量为对应的函数值得到点坐标为，然后计算得到的最小周长值． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和最短路线问题． 23.【答案】相等，； 由圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 得：， ， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ， ， 在中，， 彩带长度的最小值为，   【解析】解；圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等； ，，， ， 故答案为：相等，． 由圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 得：， ， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ， ， 在中，， 彩带长度的最小值为， 根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出，之间的关系，进而即可求解； 根据，即可求解； 根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 第2页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$