5.1.2 导数的概念及其几何意义课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义 明确目标 发展素养 1.了解函数的平均变化率．通过函数图象直观了解导数的概念． 2.理解导数的几何意义，会根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线. 1.通过对导数概念及其几何意义的认识，培养数学抽象素养． 2.通过导数几何意义的应用，提高数学运算、逻辑推理素养. x0＋Δx 2．导数的概念 f′(x0) 瞬时变化率 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． ( ) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为0. ( ) (3)f′(x1)＞f′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处的瞬时变化快． ( ) (4)f′(x0)就是导函数y＝f′(x)在x0处的函数值． ( ) √ × × √ 2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝ (　　) A．Δx－3　　 B．(Δx)2－3Δx　 　C．－3　　 D．0 3.如图是函数y＝f(x)的图象，则 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为f(x)在该点处的切线斜率，也就是k＝f′(x0)． ( ) (2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同． ( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( ) (4)函数f(x)＝0没有导函数． ( ) (5)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处的切线不存在． ( ) √ × × × × 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 (　　) A．不存在　　　　　　　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 答案：B 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝ (　　) A．4　　　 B．－4 C．－2　　　 D．2 答案：D 题型二　导数的实际意义 【学透用活】 [典例2]　一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2处的瞬时变化率，并解释它的实际意义． [方法技巧] 解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．　　 【对点练清】 服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为 1.5 μg/(mL·min)． 也就是说，如果保持这一速度，每经过 1 min，血液中药物的质量浓度将上升 1.5 μg/mL. f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)． 也就是说，如果保持这一速度，每经过 1 min，血液中药物的质量浓度将下降 0.6 μg/mL. [方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的3个步骤 【对点练清】 已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线方程． 题型四　求切点坐标 【学透用活】 [典例4]　已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切点的坐标． [方法技巧] 利用导数求切点坐标的解题步骤 (1)先设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列关于x0的方程，解方程求x0； (5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．　　 【对点练清】 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________． 二、应用性——强调学以致用 2．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数．设此时正方形的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃时正方形面积的瞬时变化率，并解释其实际意义． 知识点一　导数的概念 (一)教材梳理填空 1．平均变化率 我们把＝叫做函数f(x)从___到 的平均变化率． [微思考]　你能说说平均变化率与瞬时变化率的区别与联系吗？ 提示：区别：平均变化率是刻画函数在某一区间[x1，x2]上的变化情况，瞬时变化率是刻画函数在某一自变量x0处的变化情况． 联系：当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． 定义式 ＝___________________ 记法 _________或y′|x＝x0 实质 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的____________ 解析： f′(0)＝ ＝ ＝ (Δx－3)＝－3.故选C. 答案：C　 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝. (2)由函数f(x)的图象知， 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 答案：(1)　(2) 知识点二　导数的几何意义 (一)教材梳理填空 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ _____________________＝f′(x0)． 题型一　求函数在某点处的导数 【学透用活】 [典例1]　(1)函数y＝在x＝1处的导数为________． (2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3. ①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值； ②求t1＝4时的导数． [解析]　(1)因为Δy＝－1，＝＝， ＝，所以y′x＝1＝. 答案：eq \f(1,2) (2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1) ＝3teq \o\al(2,1)·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3， 故当t1＝4，Δt＝0.01时， Δy＝0.481 201，eq \f(Δy,Δt)＝48.120 1. ②eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0))[3teq \o\al(2,1)＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3teq \o\al(2,1)＝48， 故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48， 即y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,))t1＝4＝48. [方法技巧] 1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)求极限 . 2．瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)．　　 【对点练清】 求函数y＝x－在x＝1处的导数． 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－1)＝Δx＋， 所以＝＝1＋. 当Δx趋于0时，→2， 所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2. [解]　当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3(2＋Δx)，函数值y关于x的瞬时变化率为＝＝＝3(m3/s)． 当Δx趋于0时，瞬时变化率总是3，所以f′(2)＝3 m3/s. 导数f′(2)表示当x＝2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x＝2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3. 题型三　求曲线切线方程 【学透用活】 [典例3]　求曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程． [解]　由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的导数． 而f′(－2)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f－2＋Δx－f－2,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(1,－2＋Δx) ＝－eq \f(1,2)，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0. 2．过曲线外一点P求切线方程的6个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ ； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．　　 解：(1)∵f′(x)＝y′＝ ＝ ＝ ＝3x2， ∴k＝f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1， ∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为P(x0，x)，由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x， 故切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程， 得1－x＝3x(1－x0)，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－. 故所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋＝，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. [解]　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， 则f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x. 由题意可知，直线l的斜率k＝4， 即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2， ∴切点的坐标为或(2,3)． 当切点为时，有＝4×＋a，解得a＝； 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5. ∴当a＝时，切点为； 当a＝－5时，切点为(2,3)． 解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)． 因为y′＝ eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1,Δx) ＝3x2－2x，则y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,))x＝x0＝3xeq \o\al(2,0)－2x0＝1， 解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,3). 当x0＝1时，y0＝xeq \o\al(3,0)－xeq \o\al(2,0)＋1＝1. 又(x0，y0)在直线y＝x＋a上， 将x0＝1，y0＝1代入，得a＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x0＝－eq \f(1,3)时，y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2＋1＝eq \f(23,27)， 则切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27))). 将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27)))代入直线y＝x＋a中，得a＝eq \f(32,27). 答案：eq \f(32,27)　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(23,27))) 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． 解：联立两曲线方程得解得即交点坐标为(1,1)． 令f(x)＝，g(x)＝x2.曲线y＝在点(1,1)处的切线斜率为f′(1)＝ ＝ ＝－1， 所以曲线y＝在点(1,1)处的一条切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即y＝－x＋2. 同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为 g′(1)＝ ＝ ＝ (2＋Δx)＝2， 所以曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 两条切线方程y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示， 所以S＝×1×＝，故三角形的面积为. 解：依题意可知， f(t)＝[10(1＋at)]2＝100(1＋at)2. 设t＝0时温度的改变量为Δt， 则eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(f0＋Δt－f0,Δt) ＝eq \f(100[1＋a0＋Δt]2－1001＋a×02,Δt) ＝200a＋100a2Δt. 可得f′(0)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) eq \f(Δy,Δt)＝eq \o(lim,\s\do14(Δt→0)) (200a＋100a2Δt)＝200a. 这表示在0 ℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.其实际意义是，在0 ℃时，温度的改变量Δt ℃很小时，铁板面积的改变量的近似值为200a cm2. $$