吉林省松原市前郭一中2024-2025学年八年级下学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年吉林省松原市前郭一中八年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式是二次根式的有（　　） A. B. C. D. 2.已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　） A. 12 B. 169 C. 144或194 D. 144或169 3.下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4.若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞-3 B. x≥-3 C. x＞-3且x≠5 D. x≥-3且x≠5 5.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠2=130°，则∠1的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 6.如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2-S1=18.则图中阴影部分的面积为（　　） A. 6 B. C. 5 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 7.当x=时，代数式x2+4x+6的值是______． 8.若|2017-m|+=m，则m-20172=______． 9.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠C的度数是______. 10.如图，已知AB=AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为          . 11.如图，∠AOB=30°，OA=6cm,点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为______， 三、解答题：本题共11小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.(本小题6分) |1-|-（-1）2023-++. 13.(本小题6分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，CD=2，BC=6，求BE的长. 14.(本小题6分) 已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a|--. 15.(本小题7分) 如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF． （1）求证：AF=CE； （2）若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积． 16.(本小题7分) 已知和是相等的最简二次根式. （1）求a,b的值； （2）求的值. 17.(本小题7分) 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上. （1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为6； （2）在图2中以AB为边画一个直角△ABE，点E在小正方形的顶点上，满足△ABE的面积为6. 18.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD=2，BD=4． （1）试判断△ABD的形状，并说明理由； （2）求DE的长． 19.(本小题8分) 【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”. 【应用探究】 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2.求证：△ABC是“奇异三角形”； （2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB=AC=20，求底边BC的长.（结果保留根号） 20.(本小题10分) 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是______. （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值. （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值. 21.(本小题10分) 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+(a-b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=4，BC=5，AB=6，设AH=x，求x的值． 22.(本小题12分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B运动.设点P的运动时间为t（t＞0）. （1）AC=______； （2）求斜边AB上的高线长； （3）①用含t的式子表示BP的长； ②若点P在∠BAC的平分线上，求出t的值； （4）当△PBC是等腰三角形时直接写出t的值. 1.【答案】  【解析】解：A、被开方数为负数，没有意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、∵x2+1＞0，∴是二次根式，故此选项符合题意； C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、当x＞-1时，被开方数为负数，没有意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方是52+132=194； ②当第三边是直角边时，第三边的平方是132-52=144； 故选：C． 分为两种情况：①当第三边是斜边时，②当第三边是直角边时，根据勾股定理求出即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意； B．5-=4，所以B选项不符合题意； C．÷===2，所以C选项不符合题意； D．×==，所以D选项符合题意． 故选：D． 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则幂是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由题可知， x+3≥0且5-x≠0． 解得x≥-3且x≠5． 故选：D． 根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 5.【答案】  【解析】解：∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAE=∠1， ∵∠2=∠BAE+∠ABE， ∴∠2=∠1+∠ABE， ∴∠1+90°=130°， ∴∠1=130°-90°=40°， 故选：B． 由平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线的性质得∠BAE=∠1，易证∠ABE=90°，然后由三角形的外角性质即可得∠2=∠1+∠ABE，由此即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6.【答案】  【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2=BC2， 即S1+S2=S3， ∵S3+S2-S1=18， ∴S2=9， 由图形可知，阴影部分的面积=S2， ∴阴影部分的面积=， 故选：B． 由勾股定理得S1+S2=S3，再由S3+S2-S1=18求出S2=9，即可解决问题． 本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S1+S2=S3是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：∵x==， ∴x2+4x+6 =（x+2）2+2 =（）2+2 =（-）2+2 =3+2 =5． 故答案为：5． 把已知条件进行分母有理化的运算，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案． 【解答】 解：∵|2017-m|+=m， ∴m-20180， m2018， 由题意，得：m-2017+=m． 化简，得：=2017， 平方，得：m-2018=20172， m-20172=2018． 故答案为：2018. 9.【答案】  【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C=∠A， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A：∠B=1：2， ∴∠B=2∠A， ∴∠A+2∠A=180°， ∴∠C=∠A=60°， 故答案为：60°． 由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B=180°，由∠A：∠B=1：2，得∠B=2∠A，则∠A+2∠A=180°，求得∠C=∠A=60°，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠A+2∠A=180°是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：利用勾股定理得， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：． 故答案为：． 先利用勾股定理求出AB的长从而得到AC的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 本题主要考查了实数与数轴，利用勾股定理正确求出是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：分两种情况： 当∠AMO=90°时，如图： ∵∠AOM=30°， ∴AM=OA=×6=3（cm）， ∴OM==3（cm）； 当∠OAM=90°时，如图： ∵∠AOM=30°， ∴OM=2AM， ∵AM2+OA2=OM2， 即 AM2+OA2=（2AM）2， ∴AM=OA=2（cm）， ∴OM=2AM=4（cm）． 综上所述：OM的值为3cm和4cm. 故答案为：3cm和4cm. 根据题意，分情况讨论∠AMO或∠OAM分别为直角时，OM的长即可求解． 本题考查直角三角形的判定和性质以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：原式=-1+1-2+3+ =3-． 利用绝对值及二次根式的性质，有理数的乘方法则，立方根的定义计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意可得：DE=CD=2， ∵BC=6， ∴BD=4， 在Rt△DEB中，由勾股定理，得． 先根据角平分线的性质定理得到DE=CD=2，再利用勾股定理求解即可． 本题考查角平分线的性质定理、勾股定理，正确进行计算是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由数轴可知c＜a＜-b＜0＜b＜-a＜-b, ∴a-c＞0，c-a＜0， ∴原式=-a-（a-c）-（c-a）-b =-a-a+c-c+a-b =-a-b. 根据数轴可知c＜a＜-b＜0＜b＜-a＜-b,然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确得出c＜a＜-b＜0＜b＜-a＜-b,本题属于基础题型． 15.【答案】  【解析】（1）先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF． （2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平行四边形的面积解答即可． 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS证出△BEC≌△DFA解答． 16.【答案】  【解析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a,b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 本题考查的是最简二次根式的概念、同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 17.【答案】  【解析】（1）如图1中，四边形ABCD即为所求； （2）如图2中，△ABE即为所求． AB=2，AE=3， ∴S△ABE=×2×3=6． （1）画一个底为3，高为2的平行四边形即可； （2）以AB为一条直角边，画另一条直角边AE为3的直角三角形ABE即可． 本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】  【解析】（1）先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形； （2）由三角形的面积即可求出DE的长． 本题考查了三角形面积、勾股定理的逆定理、勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形是解决问题的关键． 19.【答案】  【解析】（1）根据“奇异三角形”的定义证明即可； （2）分当腰上的中线BD=AC时，当底边上的中线AD=BC时两种情况分别画出图形求解． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，新定义，正确理解新定义的含义是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：（1）∵3＜， ∴的整数部分为3，小数部分为：-3； 故答案为：3； （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ∴a=，b=2， ∴ = =1； （3）∵，其中x是一个正整数，0＜y＜1， ∴x=8+1=9，y=-1， ∴ =2×9+（）2023 =18+（-1）2023 =18-1 =17． （1）根据所给的方法进行求解即可； （2）由题意可得a=，b=2，再代入求解即可； （3）由题意可得x=9，y=，再代入所求的式子运算即可． 本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 21.【答案】  【解析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设CA=x，则AH=x-0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在RtACH和RtBCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程求解即可得到结果； 此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 22.【答案】  【解析】（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6， ∴AC===8， 故答案为：8； （2）设边AB上的高为h 则S△ABC=AC•BC=AB•h, ∴×6×8=×10h, ∴h=， 答：斜边AB上的高为； （3）①当点P在AC上时， ∵AP=2t, ∴CP=AC-AP=8-2t, ∴PB===； 当点P在BC时，PB=AC+BC-2t=14-2t,  ②当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图： ∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB， ∴PD=PC， ∵PC=2t-8，BP=14-2t, ∴PD=2t-8， 在Rt△ACP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL）， ∴AD=AC=8， 又∵AB=10， ∴BD=2， 在Rt△BDP中，由勾股定理得： 22+（2t-8）2=（14-2t）2， 解得：t= 若点P在∠BAC的平分线上，t的值为； （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC上， ∵∠C=90°， ∴CP=CB=6， ∴8-2t=6， ∴t=1； 故当△PBC是等腰三角形时，t的值为1． （1）根据勾股定理直接求出AC的值； （2）由勾股定理可求得AC的值，再设斜边AB上的高为h,由面积法可求得答案； （3）分两种情况计算即可：①当点P在CB上时，②当点P在∠BAC的角平分线上时； （4）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC上，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 本题是三角形的综合题，主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$