专题14.5 尺规作图（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.5 尺规作图 教学目标 1. 掌握作图的基本步骤，能够熟练的按要求作图； 2. 能够熟练的判断作图的作图依据； 3. 能够根据作图痕迹判断所作图形，并利用其性质熟练解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1） 作图的基本步骤及其依据判断； （2） 按照要求作图。 2. 难点 （1）作图的基本步骤的熟悉与应用； （2）作图依据的判断及其证明； （3）按照要求做图并解决问题。 知识点01 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 【即学即练1】 1．“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段m，n及∠O． 求作：△ABC，使得其中的两边长分别为m，n，一内角等于∠O．按以下作法作图： ①以点O为圆心，线段m的长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，线段m的长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答： （1）步骤③得到两条线段相等，即 　 　 ＝　 　 ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 　 　 ； （3）还能再作出其他的三角形吗？试试吧! 知识点02 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 【即学即练1】 2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【即学即练2】 3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A．①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 【即学即练3】 4．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 知识点03 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 【即学即练1】 5．如图，在△ABC中，点D在边BC上．在边AC求作点E，使得DE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型01 作图步骤的判断与熟悉 【典例1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【变式1】尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ⑤如图3，画射线O′A′．则正确的作图顺序为（　　） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 【变式2】数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图： ①作射线CQ； ②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M； ③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P． 下列排序正确的是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 【变式3】小郑在用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB时，具体的操作步骤是： （1）作射线O′A′； （2）以点O为圆心，以◆为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； （3）以点O′为圆心，以★的长为半径作弧，交O′A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； （5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．下列说法不正确的是（　　） A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等 C．▲与线段CD的长相等 D．▲与★的长相等 题型02 作图依据的判断 【典例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【变式2】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【变式3】如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 题型03 按要求作图 【典例1】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段a，c，∠α． 求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【变式1】如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 【变式2】如图，已知△ABC，点D是AC上一点． （1）尺规作图：过点D作∠CDE＝∠CAB，交BC于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠ADE＝100°，且AE平分∠CAB，求∠DEA的度数． 【变式3】已知：∠α，∠AOB（如图）． （1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 　 　 ． 1．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作一条线段等于已知线段 C．作已知直线的垂线 D．作角的平分线 4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 5．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法： 步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点 C、D；步骤2：作射线O′A′，以点O′为圆心，乙长为半径画弧，交O′A′于点C′；步骤3：以点C′为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；步骤4：经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 则甲、乙、丙所表示的内容为：（　　） A．O，OC，CD B．O，OD，OC C．C，OD，CD D．D，OC，OC 6．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作，∠DEF即为所求作的角． A．表示点E B．表示PQ C．表示OQ D．表示射线EF 7．如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 　 　 ． 8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 　 ． 9．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法： （1）以　 为圆心，　 　 为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D． （2）画一条射线O′A′，以　 　 为圆心，　 　 长为半径画弧，交O′A′于点C′， （3）以点　 　 为圆心　 　 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′． （4）过点　 　 画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 10．如图，点C在∠AOB的OA边上，小明用尺规作出了∠ACD＝∠AOB．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，OE长为半径画，交OA于点M；②作射线CD，则∠ACD＝∠AOB；③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是　 　 ．（填序号即可） 11．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 12．如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作∠A＝∠1； （2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a； （3）连接MN． 13．如图，△ABC中，F为AB边上一点，点D为BC延长线上一点． （1）在图中按要求完成尺规作图：在BF右侧作∠BFG＝∠A，交BC于点G；（不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，∠ACD的角平分线为CE，若∠AFG+∠ACE＝180°．则： ①AB与CE的位置关系是　 　 ； ②∠BFG与∠B的数量关系是什么，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.5 尺规作图 教学目标 1. 掌握作图的基本步骤，能够熟练的按要求作图； 2. 能够熟练的判断作图的作图依据； 3. 能够根据作图痕迹判断所作图形，并利用其性质熟练解决问题。 教学重难点 1. 重点 （1）作图的基本步骤及其依据判断； （2）按照要求作图。 2. 难点 （1）作图的基本步骤的熟悉与应用； （2）作图依据的判断及其证明； （3）按照要求做图并解决问题。 知识点01 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 【即学即练1】 1．“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：如图，线段m，n及∠O． 求作：△ABC，使得其中的两边长分别为m，n，一内角等于∠O． 按以下作法作图： ①以点O为圆心，线段m的长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，线段m的长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，线段n的长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答： （1）步骤③得到两条线段相等，即 　BD　 ＝　MN　 ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 　三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等　 ； （3）还能再作出其他的三角形吗？试试吧! 【答案】（1）BD，MN； （2）（3）见解析． 【解答】解：（1）BD，MN． （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论． 故答案为BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论． 知识点02 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 【即学即练1】 2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′＝∠O的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， ∴∠A'O'B'＝∠AOB， 故选：B． 【即学即练2】 3．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． 则正确的作图顺序是（　　） A．①﹣②﹣③﹣④ B．②﹣④﹣①﹣③ C．④﹣②﹣③﹣① D．④﹣③﹣②﹣① 【答案】C 【解答】解：作法：④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F． ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M． ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D． ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB． 故选：C． 【即学即练3】 4．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图∠A′O′B′即为所求； 知识点03 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 【即学即练1】 5．如图，在△ABC中，点D在边BC上．在边AC求作点E，使得DE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【解答】解：图形如图所示． 题型01 作图步骤的判断与熟悉 【典例1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④． 故选：B． 【变式1】尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ⑤如图3，画射线O′A′．则正确的作图顺序为（　　） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 【答案】A 【解答】解：根据作一个角等于已知角的作图方法，正确的作图顺序为：⑤③④②①， 即⑤如图3，画射线O′A′． ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． 故选：A． 【变式2】数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图： ①作射线CQ； ②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M； ③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P． 下列排序正确的是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③① 【答案】D 【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M； ④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P． ③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ①作射线CD； 故选：D． 【变式3】小郑在用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB时，具体的操作步骤是： （1）作射线O′A′； （2）以点O为圆心，以◆为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； （3）以点O′为圆心，以★的长为半径作弧，交O′A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； （5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．下列说法不正确的是（　　） A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等 C．▲与线段CD的长相等 D．▲与★的长相等 【答案】D 【解答】解：（1）（1）作射线O′A′； （2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D； （3）以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′； （4）以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′； （5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角． 故选项ABC正确， 故选：D． 题型02 作图依据的判断 【典例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：由作图可得： ， ∴△OGH≌△PMN（SSS）， ∴∠AOB＝∠CPD， 故选：A． 【变式1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】C 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O' 故选：C． 【变式2】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， 即这两个三角形全等的依据是SSS， 故选：C． 【变式3】如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【解答】解：∵∠APM＝∠AOB， ∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行）， 故选：B． 题型03 按要求作图 【典例1】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段a，c，∠α． 求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【答案】作图见解答过程． 【解答】解：如图： △ABC即为所求． 【变式1】如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【解答】解：（1）如图所示； （2）∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（ASA）， ∴AD＝BC＝6． 【变式2】如图，已知△ABC，点D是AC上一点． （1）尺规作图：过点D作∠CDE＝∠CAB，交BC于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠ADE＝100°，且AE平分∠CAB，求∠DEA的度数． 【答案】（1）见解答． （2）∠DEA＝40°． 【解答】解：（1）如图，∠CDE即为所求． （2）∵∠CDE＝∠CAB， ∴DE∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE，∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝80°． ∵AE平分∠CAB， ∴40°， ∴∠DEA＝40°． 【变式3】已知：∠α，∠AOB（如图）． （1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 　40°或80°　 ． 【答案】（1）作图见解析部分； （2）40°或80°． 【解答】解：（1）如图，∠BOC，∠BOC′即为所求； （2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°或∠AOC′＝∠AOB+∠BOC′＝80°． 故答案为：40°或80°． 1．如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（　　） A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【答案】D 【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 故选：D． 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中， ， ∴△ODC≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠AOB＝∠A′O′B′． 故选：A． 3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作一条线段等于已知线段 C．作已知直线的垂线 D．作角的平分线 【答案】B 【解答】解：已知三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段， 故选：B． 4．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解答】解：∵∠DPF＝∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 5．尺规作图：作一个角等于已知角． 如图①，已知：∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法： 步骤1：如图②，以甲为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点 C、D；步骤2：作射线O′A′，以点O′为圆心，乙长为半径画弧，交O′A′于点C′；步骤3：以点C′为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；步骤4：经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 则甲、乙、丙所表示的内容为：（　　） A．O，OC，CD B．O，OD，OC C．C，OD，CD D．D，OC，OC 【答案】A 【解答】解：步骤1：如图②，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点 C、D； 步骤2：作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 步骤3：以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′； 步骤4：经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 所以甲、乙、丙所表示的内容为O、OC、CD， 故选：A． 6．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（　　） 如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作，∠DEF即为所求作的角． A．表示点E B．表示PQ C．表示OQ D．表示射线EF 【答案】D 【解答】解：作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角． 所以A，B，C选项都错误，D选项正确． 故选：D． 7．如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 　58°　 ． 【答案】58°． 【解答】解：由作法得∠AOB＝2∠α＝2×29°＝58°． 故答案为：58°． 8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 　SSS　 ． 【答案】SSS． 【解答】解：连接EF． 由作图可知， 在△MOD和△FCE中， ， ∴△MOD≌△FCE（SSS）， ∴∠AOC＝∠NCB． 故答案为：SSS． 9．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法： （1）以　O　 为圆心，　任意长　 为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D． （2）画一条射线O′A′，以　O′　 为圆心，　OC　 长为半径画弧，交O′A′于点C′， （3）以点　C′　 为圆心　CD　 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′． （4）过点　D′　 画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D． （2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′， （3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′． （4）过点D′画射线O′B′′，则∠AO′B′＝∠AOB． 故答案为：O，任意长，O′，OC，C′，CD，D′． 10．如图，点C在∠AOB的OA边上，小明用尺规作出了∠ACD＝∠AOB．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，OE长为半径画，交OA于点M；②作射线CD，则∠ACD＝∠AOB；③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是　④①③②　 ．（填序号即可） 【答案】④①③②． 【解答】解：由题意知，正确的顺序是④①③②． 故答案为：④①③②． 11．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题： （1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数． 【答案】（1）见解析； （2）∠EOF的度数为81°． 【解答】（1）解：如图，COF即为所求； （2）解：∵∠COF＝∠AOC，∠AOC＝66°，∠BOD＝∠AOC， ∴∠COF＝66°，∠BOD＝66°， ∴∠FOB＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∴∠EOF＝48°+33°＝81°， 答：∠EOF的度数为81°． 12．如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作∠A＝∠1； （2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a； （3）连接MN． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 13．如图，△ABC中，F为AB边上一点，点D为BC延长线上一点． （1）在图中按要求完成尺规作图：在BF右侧作∠BFG＝∠A，交BC于点G；（不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，∠ACD的角平分线为CE，若∠AFG+∠ACE＝180°．则： ①AB与CE的位置关系是　AB∥CE　 ； ②∠BFG与∠B的数量关系是什么，请说明理由． 【答案】（1）见解答． （2）①AB∥CE． ②∠BFG＝∠B，理由见解答． 【解答】解：（1）如图，∠BFG即为所求． （2）①∵∠BFG＝∠A， ∴FG∥AC， ∴∠AFG+∠A＝180°． ∵∠AFG+∠ACE＝180°， ∴∠A＝∠ACE， ∴AB∥CE． 故答案为：AB∥CE． ②∠BFG＝∠B． 理由：∵∠ACD的角平分线为CE， ∴∠ACD＝2∠ACE＝2∠A． ∵∠ACD＝∠A+∠B， ∴2∠A＝∠A+∠B， ∴∠A＝∠B， ∴∠BFG＝∠B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $