专题01 整式的乘除 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 整式的乘除 压轴题 题型一：幂的运算及其应用 题型二：整式的乘法 题型三：类平方差公式 题型四：完全平方公式的应用 题型五：杨辉三角 题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用 题型七：配方法的应用 题型八：整式的除法 题型九：其他材料、新定义题 题型一：幂的运算及其应用 1．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 3．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 4．规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 题型二：整式的乘法 5．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 6．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得整式的一次项系数．小明想通过计算所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得整式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得整式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得整式的一次项系数为______． (2)计算所得整式的一次项系数为______． (3)若计算所得整式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______． 7．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若整式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 题型三：类平方差公式 8．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．入手，发现规律，归纳结论． 入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空： ________； ________； ________；… 由此猜想：________ （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 9．已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②（n为正整数）； ③． (2)通过以上计算，请你进行下面的探索： ①_______； ②_______； ③________． 10．已知，计算， ， ． 猜想： (n为正整数)； (1)根据你的猜想计算： ① ② (n为正整数) ③ (2)通过以上规律请你进行下面的探索： ① ② ③ (3)判断的个位数字是 题型四：完全平方公式的应用 11．我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 12．[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 13．已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn （1）计算S2和S4 （2）已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),求S3并猜想Sn-2，Sn-1，Sn三者之间的数量关系（不需要证明）； （3）若M=(S1+S2+S3+----S99)（S2+S3+----S100），N=（S1+S2+S3+----S100）（S2+S3+----S99）判断M，N的大小，并说明理由． 题型五：杨辉三角 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，我们发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数：…． (1)展开式中共有 项，第三项是 ； (2)推断整式（n为正整数）的展开式的各项系数之和为 ； (3)利用上面的规律计算（不用材料中的规律计算不给分）：． 15．杨辉三角 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表（如图）． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为________； (2)的展开式中共有________项，从左往右第三项的系数是________； (3)计算：； (4)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除． 16．阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用整式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中整式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用 17．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 18．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 19．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的整式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3) (4)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 20．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 21．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 22．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图③可以解释为等式：　 　． （2）图④中阴影部分的面积为　 　．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 23．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 题型七：配方法的应用 24．教科书中这样写道：“我们把整式及叫做完全平方式”，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，整式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 25．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 26．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 题型八：整式的除法 27．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若整式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 题型九：其他材料、新定义题 28．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 29．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的乘除 压轴题 题型一：幂的运算及其应用 题型二：整式的乘法 题型三：类平方差公式 题型四：完全平方公式的应用 题型五：杨辉三角 题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用 题型七：配方法的应用 题型八：整式的除法 题型九：其他材料、新定义题 题型一：幂的运算及其应用 1．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 3．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 4．规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空： ___________， ___________； ___________； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的说明： 设，则， ，即， ． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： [运用] 计算； [探究] 若令，，，试说明； [综合应用] ①若，，，则，，之间的数量关系为___________； ②计算___________ 【答案】（1），，；（2）[运用]：；[探究]：见解析；[综合应用]：①；② 【分析】本题考查了新定义，幂的乘方、同底数幂相乘，理解新定义，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算的定义计算即可得解； （2）[运用]：根据例题，将各数写成幂的形式并计算即可得解； [探究]：根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解； [综合应用]：①根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解；②根据运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）[运用]： ； [探究]：∵令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； [综合应用]：①∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②令，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型二：整式的乘法 5．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，整式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 6．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得整式的一次项系数．小明想通过计算所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得整式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得整式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得整式的一次项系数为______． (2)计算所得整式的一次项系数为______． (3)若计算所得整式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得整式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得整式的一次项系数，即可求解； （3）由所得整式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为：． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查整式乘以整式，理解整式乘以整式所得的整式每一项的系数是解决问题的关键． 7．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】 【归纳】； 【应用】计算 解：令，， 则 结合上述材料，完成下列问题： (1)证明等式：； (2)应用（1）中所证明等式，计算； (3)若整式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究； （1）观察等式找到规律，根据规律即可求解； （2）根据（1）的结论，令，，代入，即可求解； （3）分别表示出，观察式子，即可求解． 【详解】（1）解： …… ∴ （2）计算 解：令，， 则 （3）解：∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时， ∵， ∴ ∴ 题型三：类平方差公式 8．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．入手，发现规律，归纳结论． 入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空： ________； ________； ________；… 由此猜想：________ （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 【答案】（1）；；；；（2）①；②1 【分析】（1）利用整式乘以整式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果； （2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）；；；； （2）①，由于2-1=1，则 ②∵ ∴， ∴， 但当时，不成立， 则，故 【点睛】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 9．已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②（n为正整数）； ③． (2)通过以上计算，请你进行下面的探索： ①_______； ②_______； ③________． 【答案】(1)①；②；③； (2)①；②；③． 【分析】（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少(项，从而可以凑配易得，同理即可解答；③中，按降亘进行排列，然后套用规律进行解答； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）①； ②； ③． 故答案为∶①；②；③． 【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键． 10．已知，计算， ， ． 猜想： (n为正整数)； (1)根据你的猜想计算： ① ② (n为正整数) ③ (2)通过以上规律请你进行下面的探索： ① ② ③ (3)判断的个位数字是 【答案】猜想：；（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）5. 【分析】根据已知的式子，找出规律，即可得到猜想的结论； （1）①根据猜想的结论，当时，即可得到答案； ②根据猜想的结论，当时，通过计算，即可得到答案； ③根据猜想的结论，即可得到答案； （2）根据（1）中的结论，即可得到答案； （3）结合（1）（2）中的结论，通过变形化简，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，有 ； 故答案为：； （1）①∵， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； ③∵ ∴； 故答案为：； （2）①； ②； 同理可知： ③； （3）由（2）可知， ； ∴当，，时，有 ， ∴； ∵，，，，，，…… ∴的个位数字是2、4、8、6，每4个数字一个循环； ∵， ∴的个位上的数字是6； ∴的个位上的数字是5； 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了整式与整式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题. 题型四：完全平方公式的应用 11．我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据，代入数值即可求解； （2）对进行平方可得，在对原式变形，可得，开平方即可求解； （3）根据题意可得，，进而得出，代入，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 12．[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式， 问题：若x满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，，则， 即：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2021 【分析】（1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值． （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）设，， 则， 所以， （2）设，， 则 所以， 【点睛】本题考查完全平方公式的变式应用，解决本题的关键是理解题目所给的变形方式并正确应用． 13．已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn （1）计算S2和S4 （2）已知a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),求S3并猜想Sn-2，Sn-1，Sn三者之间的数量关系（不需要证明）； （3）若M=(S1+S2+S3+----S99)（S2+S3+----S100），N=（S1+S2+S3+----S100）（S2+S3+----S99）判断M，N的大小，并说明理由． 【答案】（1）S2＝3，S4＝7，（2）S3=4， Sn-2+Sn-1=Sn，理由见详解；（3）M＞N，理由见详解 【分析】（1）根据完全平方公式以及变形公式，即可求解； （2）根据a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，即可求出S3=4，由an-2+bn-2 +an-1+ bn-1结合a+b=1，ab=-1，可得Sn-2+Sn-1=Sn； （3）设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100，利用作差法，即可判断M，N的大小． 【详解】解：（1）S2＝a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝12−2×（−1）＝3， S4＝a4＋b4＝（a2＋b2）2−2a2b2＝（a2＋b2）2−2（ab）2=32−2×（−1）2＝7， （2）S3=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=1×（3+1）=4， 猜想：Sn-2+Sn-1=Sn， 理由如下：∵a+b=1，ab=-1， ∴an-2+bn-2 +an-1+ bn-1= an-2(1+a)+ bn-2(1+b)= an-2(-ab+a)+ bn-2(-ab+b)= an-1(1-b)+ bn-1(1-a)= an+bn， ∴Sn-2+Sn-1=Sn； （3）∵S1=a+b，S100= a100+b100＞0， 设A= S1+S2+S3+----+S99，B= S2+S3+----+S100 ∴M-N=AB-(A+ S100)(B- S100) =AB-AB+(A-B) S100+ S100×S100 =(S1-S100) S100+ S100×S100 = S1 S100 = S100＞0， ∴M＞N． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是Sn−2＋Sn−1＝Sn． 题型五：杨辉三角 14．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，我们发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数：…． (1)展开式中共有 项，第三项是 ； (2)推断整式（n为正整数）的展开式的各项系数之和为 ； (3)利用上面的规律计算（不用材料中的规律计算不给分）：． 【答案】(1)5； (2) (3)1 【分析】本题考查了杨辉三角形，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是解题的关键． （1）展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4，3，2，1，0，根据杨辉三角形的规律确定各项的系数即可； （2）猜想指数为0，为1，为2，为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律即可； （3）逆向使用公式求解即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角的系数规律可得， ， 展开式共有5项，第三项是． 故答案为：5；； （2）解：第一行各项系数和为，即的各项系数和为， 第二行各项系数和为，即的各项系数和为， 第三行各项系数和为，即的各项系数和为， 第三行各项系数和为，即的各项系数和为， … 由此可得的各项系数和为. （3）解：由杨辉三角可知， 原式 ． 15．杨辉三角 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表（如图）． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为________； (2)的展开式中共有________项，从左往右第三项的系数是________； (3)计算：； (4)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除． 【答案】(1) (2)九，28 (3)256 (4)见解析 【分析】本题考查了整式乘法和减法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）先根据杨辉三角得出的展开式的系数，再根据展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，即可解答； （2）根据规律可知的展开式中共有九项，再逐步列举出展开式中的系数，即可得出答案； （3）通过观察可知，所求算式满足的展开式，则有，即可求解； （4）先根据展开式的规律得到，，作差得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， 的展开式为． 故答案为：． （2）解：根据题意，的展开式有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1， 的展开式有七项，系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 的展开式有八项，系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式有九项，系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 的展开式中从左往右第三项的系数是28． 故答案为：九；28． （3）解： ； （4）解：， ， ∴ ， ∵能被18整除， ∴能被18整除． 16．阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用整式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中整式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【答案】(1)①4；②；③ (2) 【分析】本题考查了数字规律，整式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； ②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可； ③根据题中计算规律可将原式化为，继而求解即可； （2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴的系数为4， 故答案为：4． ②的系数和为1，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， …… ∴的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为， 故答案为：． ③根据题中规律可得： =． （2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数， ∴第6行第一个数是 ， ∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ， 又∵第5行第二个数是 ， ∴第6行第三个数为 ， ∴以表示的数是， 故答案为：． 题型六：整式的乘法、乘法公式的图形应用 17．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____． A．  B．  C． (2)已知，，则______． (3)应用所得的公式计算：． (4)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)4 (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果； （4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果． 【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：， 图1的阴影部分为面积为：， 图2中长方形的长为：，长方形的宽为：， 图2长方形的面积为：， ， 故选：B． （2）解：， ， 又， ， 故答案为：4． （3）解： ． （4）解： ． 18．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了整式乘以整式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 19．［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的整式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3) (4)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： 关于的整式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 20．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是整式乘整式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 21．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 22．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）图③可以解释为等式：　 　． （2）图④中阴影部分的面积为　 　．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 【答案】（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；（2）（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）①S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；②3a＝b. 【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2； （2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， 得到（a-b）2=（a+b）2-4ab； （3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S； ②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0； 【详解】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； （2）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2， 根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S， ∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2； ②设AB＝m， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S， ∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b）， ∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值， ∴3a＝b. 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键． 23．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ； (2)若，求代数式的值； (3)观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）①根据图形即可求解；②由①结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①由图可得，， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型七：配方法的应用 24．教科书中这样写道：“我们把整式及叫做完全平方式”，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，整式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)当时，有最小值，最小值是 (2)当时，有最小值，最小值是5 (3)当时，有最小值，最小值是3 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，实数非负性的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴当时，有最小值，最小值是． （2）解：， ∴当时，有最小值，最小值是5． （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值是3． 25．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负性，列代数式等知识点，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）仿照阅读材料，利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，含、的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，于是菜地的面积为，再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为； 故答案为：； （2）解： ， 当且时，有最小值，的最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 菜地的面积为： ， 当时，有最大值，最大值为， 围成的菜地的最大面积为平方米． 26．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 题型八：整式的除法 27．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若整式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据整式除以整式的法则计算． （2）根据整式除以整式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）整式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查整式除以整式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 题型九：其他材料、新定义题 28．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 29．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701 【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可求解； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 【详解】解：（1）A、， B、， C、， D、， 是智慧数的是C． 故答案为：C； （2）一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二； （3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即． 因为和这两个数的奇偶性相同， 所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数， 而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数， 可见等式左、右两边不相等， 所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． （4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$