广东省茂名市广东外语外贸大学附设茂名实验学校2024-2025学年八年级下学期质检数学试卷（一）

2024-2025学年广东外语外贸大学附设茂名实验学校八年级（下）质检数学试卷（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在直角三角形中，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.在下列式子里，不是不等式的是(    ) A. B. C. D. 3.已知，则下列不等式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在解答“若等腰三角形的一个内角为，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是(    ) A. 函数思想 B. 整体思想 C. 公理化思想 D. 分类讨论思想 5.如图，一座塔建在山坡上，塔身与水平面垂直，现测得塔身与山坡坡面所成的锐角为则此山坡的坡面与水平面夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交边于点若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 7.如图，，，为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市(    ) A. 距离小区较近 B. 距离小区较近 C. 距离小区较近 D. 与，，小区的距离相等 8.实数，在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是(    ) ；；；． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是______． 12.如图，，，三种物体的质量的大小关系是______． 13.如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 14.学校要购买元的图书，包括名著和辞典，名著每套元，辞典每本元，现已购买名著套，问最多还能买几本辞典？列出不等式为______． 15.如图，，若，则的度数为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式：                             ． 17.本小题分 如图，为平分线上一点，点在射线上，且． 求证：． 18.本小题分 已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：． 19.本小题分 如图，在中，． 用尺规作的平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法 若，求证：． 20.本小题分 阅读：通过作差的方式可以比较两个数的大小例如比较，两数的大小：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有反之亦成立． 解决问题：甲、乙两个班分别从新华书店购进了，两种图书，种图书的进价为元本，种图书的进价为元本现甲班购进本种图书和本种图书，乙班购进本种图书和本种图书． 分别用含，的式子表示甲、乙两个班的购书总费用． 若，请比较哪个班的购书总费用较少． 21.本小题分 在长方形中，截取如图所示的阴影部分，已知，，，，． 连接，求证：； 求出图中阴影部分的面积． 22.本小题分 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点若，求的周长； 试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 若，求的度数． 23.本小题分 如图，中，，，为的中点，连接，过点作于点，交于点． 求的度数； 求证：； 如图，等腰直角中，，，平分，交于点，于点，若，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直角中， ，， ． 故选：． 根据直角三角形中，，可得，代入，即可得到度数． 本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、是不等式，故此选项不合题意； B、不是不等式，故此选项符合题意； C、是不等式，故此选项不合题意； D、是不等式，故此选项不合题意； 故选：． 根据不等式定义进行分析即可． 此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 3.【答案】  【解析】解：，， ，原变形错误，不符合题意； B.， ，正确，符合题意； C.， ，原变形错误，不符合题意； D.， ，原变形错误，不符合题意． 故选：． 根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质：把不等式的两边都加或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 4.【答案】  【解析】解：的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为或， 所以涉及的数学思想是分类思想， 故选：． 的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为或所以涉及的数学思想是分类的思想． 本题考查等腰三角形的性质，掌握分类的数学思想是本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图， 由对顶角相等得， ， ． 故选：． 由对顶角相等得，因为，所以． 本题考查了垂线，熟练掌握垂线的定义是关键． 6.【答案】  【解析】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：． 过点作于点，由作图可知，射线为的平分线，则可得，再利用三角形的面积公式计算即可． 本题考查作图基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：超市恰好在，两边垂直平分线的交点处， 超市与，，小区的距离相等， 故选：． 根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等判断即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：根据实数，在数轴上对应点的位置，得：，， ，，，， 故选项A，不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； ， ， 故选项C不正确，不符合题意． 故选：． 根据实数，在数轴上对应点的位置，得，，则，，，，据此即可得出答案． 此题主要实数与数轴，绝对值的意义，理解实数与数轴，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论． 本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：是边的中线， ， 的面积，的面积， 的面积的面积，故正确； 是边上的高， ， ， ，， ， 是的角平分线， ，， ，故错误； 在和中，，， ，， ， ，故正确； 根据已知不能推出，即不能推出，故错误； 即正确的为， 故选：． 根据三角形的面积公式进行判断，根据三角形的内角和定理求出，再判断即可，根据三角形的内角和定理求出，再根据等腰三角形的判定判断即可，根据等腰三角形的判定判断即可． 本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 11.【答案】  【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， 是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个三角形的周长是． 故答案为：． 分是腰长和底边两种情况讨论求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 12.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 根据第一个图可知，可判断，的大小关系，从图可知，，可判断，的大小关系． 本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据图可依次判断，的大小关系，，的大小关系可求出解． 13.【答案】  【解析】解：中，，是边上的高， 是轴对称图形，且直线是对称轴， 和的面积相等， ， ，是边上的高， ， ， ， 阴影． 故答案为：． 由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设还能买辞典本， 根据题意得：， 故答案为：． 先设未知数，设还能买辞典本，根据名著的总价辞典的总价，列不等式即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，列不等式时要先根据“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词来确定问题中的不等关系，本题要弄清数量、单价、总价和书名，明确数量单价总价 15.【答案】  【解析】解：， ，，，等边对等角， ，，， ， ，， 等量代换， 解得， 即的度数为． 故答案为：． 由，得，，，，结合三角形的外角性质得，进而利用三角形的内角和定理即可得解． 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 16.【答案】解：两边都减，得 ； 两边都除以，得 ．  【解析】根据不等式的性质：两边都减，可得答案； 根据不等式的性质：不等式的两边都除以，可得答案． 本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 17.【答案】证明：， ， 平分， ， ， ．  【解析】根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的判定是解题的关键． 18.【答案】证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ≌， ．  【解析】根据，即可证明≌，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到≌． 19.【答案】解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 证明：在中，，， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ．  【解析】根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； 根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键． 20.【答案】甲班购书总费用为：元，乙班购书总费用为：元； 乙班购书总费用少．  【解析】根据题意列代数式即可； 计算得，再根据可得结果． 本题主要考查了列代数式以及代数式的大小比较，能根据题意正确列出代数式是解决本题的关键． 21.【答案】证明：连接，，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ． 解：，， ， ， ， 图中阴影部分的面积是．  【解析】连接，先根据勾股定理求得，而，，则，即可根据勾股定理的逆定理证明； 由，，求得，由，，，求得，即可由求得图中阴影部分的面积是． 此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得，再通过计算推导出是解题的关键． 22.【答案】解：边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，， ，， 的周长； 点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， 点在的垂直平分线上； ，分别垂直平分，， ，， ，， ， ， ， ．  【解析】根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； 连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； 由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；． 本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23.【答案】；   见解析；   ．  【解析】解：，为的中点， ，， ， ， ，， ， ， ； 证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，， 在和中， ， ≌， ． 为的中点， ， ； 解：如图，分别延长，，相交于点， 由得，， ， ， ， 的面积为． 根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解； 根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明≌，从而得到，即可求证； 分别延长，，相交于点，由得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$