专题2.3 圆与圆的位置关系重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.3 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 .圆与圆位置关系的判定及参数求解 拓展训练二 相交圆的方程与公共弦性质 拓展训练三 圆的公切线特征探究 知识点一：圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【即时训练】 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 知识点二：两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【即时训练】 1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 知识点三：两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； 【即时训练】 1．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 2．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【例2】（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 1．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 2．（多选题）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆与圆的位置关系可能为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·江苏泰州·阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 2．（23-24高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）如图，等腰梯形中，∥，，间的距离为4，以线段的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过四点的圆为圆．    (1)求圆的标准方程； (2)若点是线段的中点，是圆上一动点，满足，求动点横坐标的取值范围． 【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 1．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 2．（多选题）（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆喀什·期中）已知圆，圆，问：为何值时． (1)圆和圆外切？ (2)圆与圆内含？ 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知曲线的方程为，曲线关于点的对称曲线为 ，若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．0 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 3．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点且与圆相切于点的圆的方程． 4．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 1．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知圆与圆交于不同的两点，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 4．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知⊙M：，直线l：，点P在直线l上，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B． (1)若，试求点P的坐标； (2)直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标． 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】．（24-25高二上·辽宁·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆，如何求圆与圆的公共弦长？ 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 4．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 1．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 2．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 3．（22-23高二上·山东潍坊·期中）为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 4．（22-23高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【拓展训练一 圆与圆位置关系的判定及参数求解】 【例1】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知圆过点三点，圆. (1)求的一般方程； (2)若与交于两点，求. 【例2】（23-24高二上·江西·期中）已知圆：，圆：（）. (1)若圆与圆相外切，求的值； (2)若圆与圆有两个公共点，求的取值范围. 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（多选题）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若圆与圆：没有交点，则圆的半径可以是（    ） A．1 B．2 C．8 D．9 3．（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 4．（24-25高二·上海·随堂练习）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 【拓展训练二 相交圆的方程与公共弦性质】 【例1】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 3．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 4．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【拓展训练三 圆的公切线特征探究】 【例1】（24-25高二上·云南大理·期中）已知圆和，则两圆的公切线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 1．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选题）（22-23高三下·全国·开学考试）与圆和都相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个 A．9 B．7 C．5 D．3 4．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 6．（多选题）（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 7．（多选题）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 9．（多选题）（24-25高二上·广东清远·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆有一条公切线是 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 10．（多选题）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 11．（2025高三·全国·专题练习）过圆：上一点向圆：作两条切线，已知两条切线不垂直且与外离，则半径的取值范围是 . 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： . ①与圆相切，②与x轴相切. 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 . 14．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 15．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 16．（22-23高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 17．（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 18．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 20．（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 .圆与圆位置关系的判定及参数求解 拓展训练二 相交圆的方程与公共弦性质 拓展训练三 圆的公切线特征探究 知识点一：圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 【即时训练】 1．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 知识点二：两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【即时训练】 1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 2．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 知识点三：两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； 【即时训练】 1．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系可判断有4条公切线，结合两圆为半径相等且关于原点对称，由点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】圆M的圆心为，半径．圆N的圆心为，半径，圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得， 切线方程为，． 故选：A 2．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 【例2】（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【答案】(1). (2)圆与圆相交. 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与半径和差关系可得两圆位置关系； 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 故圆的方程为，标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为4. 圆的圆心为，半径为3. 设两圆圆心的距离为，则. 因为，所以圆与圆相交. 1．（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）圆与圆的位置关系可能为（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得圆心距，及，由，结合两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为； 又由圆，可得圆心坐标为，半径为， 则圆心距为，圆与圆的半径之差为， 可得，所以圆与圆的位置关系可能为相交、外切、外离． 故选：BCD. 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)外切 (2)相交 【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解； （2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解. 【详解】（1）解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距，所以， 所以两个圆外切． （2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 【例2】（22-23高二上·江苏泰州·阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接求出半径即可得出方程； （2）求出直线的中垂线方程，与直线联立可求得圆心坐标，再求出半径即可得出； （3）联立两圆方程，求出交点坐标，设出圆心，即可建立关系求出. 【详解】（1）可得半径为， 所以所求圆的方程为； （2）直线的斜率为，中点为， 则直线的中垂线方程为，即， 联立方程组可得，即圆心为， 半径， 故所求圆的方程为； （3）联立方程组解得或， 即交点坐标为， 因为圆心在直线上，则可设圆心为，则它到两个交点的距离相等， 即，解得，即圆心为， 则半径， 故所求圆的方程为. 1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 2．（23-24高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】求出点P关于直线对称的点的轨迹与已知圆的交点后可求的值. 【详解】如图，点P关于直线对称的点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆． 这个圆与题中的圆外切于点，因此． 故选：C. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）如图，等腰梯形中，∥，，间的距离为4，以线段的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过四点的圆为圆．    (1)求圆的标准方程； (2)若点是线段的中点，是圆上一动点，满足，求动点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可. （2）根据是圆上一动点，满足，设P点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案. 【详解】（1）如图，因为，间的距离为4， 所以，经过四点的圆即经过三点的圆， 法一： 中垂线方程即，中点为，， 所以的中垂线方程为，即， 联立，得圆心坐标， 所以圆的标准方程为； 法二：设圆的一般方程为， 代入，解得， 所以圆的标准方程为； 法三：以为直径的圆方程为， 直线， 设圆的方程为， 代入，解得， 所以圆的标准方程为； （2），设圆上一点， ， 因为，所以， 即， 由对应方程为圆 所以点在圆上及其外部， 解得， 所以两圆交点恰为， 结合图形，当圆上一点纵坐标为时，横坐标为， 所以点横坐标的取值范围是．    【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 1．（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 3．（22-23高二上·新疆喀什·期中）已知圆，圆，问：为何值时． (1)圆和圆外切？ (2)圆与圆内含？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两圆圆心坐标与半径，利用两圆外切可得出关于的等式，解之即可； （2）根据两圆内含可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 若圆与圆外切，则，解得. （2）解：若圆与圆内含，则，解得. 4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求得圆心关于点的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 【答案】 【分析】根据两圆内切的性质，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】设所求圆的圆心为， 圆的的半径为，圆心为坐标原点， 因为圆和圆相内切， 所以， 又因为两圆内切于点， 所以三点共线，因此有， 由可解或， 因为点在第四象限，    所以点也在第四象限，所以， 因此所求圆的方程为. 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知曲线的方程为，曲线关于点的对称曲线为 ，若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】CD 【分析】根据对称性求出 的方程，在根据题意求出 与坐标轴的交点坐标，运用对角线相互垂直的四边形面积公式计算. 【详解】根据已知得曲线的方程为，设曲线 上任意一点坐标为， 它关于点的对称点坐标为 ，则…①， 依据中点坐标公式得到则代入①得到 的方程为， 如图，由题意圆 与两坐标轴的交点为 ，则有 ， 令 得： ， 令 得： ， ， 曲线 与坐标轴围成的四边形面积为，所以， 解得或； 故选：CD. 2．（23-24高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点且与圆相切于点的圆的方程． 【答案】 【分析】设所求圆的圆心为，由题意可得DA＝DB，，解方程组求得a、b的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程． 【详解】设所求圆的圆心为，由题意可得DA＝DB，， ∴，且, 解得，半径， 故所求圆的方程为． 4．（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程. 【详解】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得. 故选：B. 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 【例2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 【答案】(1)相交 (2) 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】（1）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 因为，所以两圆相交； （2）两圆相减，， 化简为：， 所以两圆的公共弦所以的直线方程为. 1．（23-24高二上·山东枣庄·期中）已知圆与圆交于不同的两点，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】两个圆的方程相减即可求公共弦所在直线方程，据此即可逐项求解. 【详解】  ①   ② ①－②即得公共弦AB所在直线方程：， 将A的坐标代入得：  ③，故B正确， 将B的坐标代入得：  ④ ③－④得：，故A错误； 两圆圆心分别为，因为两圆半径相等，所以中点和AB中点为同一点，故，C正确，，D错误. 故选：BC. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果. 【详解】两圆方程作差可得直线的方程为：，即； 由圆方程可得其圆心，半径， 到直线的距离，. 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【详解】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知⊙M：，直线l：，点P在直线l上，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B． (1)若，试求点P的坐标； (2)直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出的长度，再设出P点坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）首先判断出A，B在以MP为直径的圆上，再求出以MP为直径的圆的方程，然后将⊙M方程与方程相减得出直线AB方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）连接MP、MA、MB，因为直线PA和直线PB是⊙M的切线，切点分别为A，B，所以，且. 若，则. 在直角中，，，则. 设P点坐标为，因为， 所以，解得或， 所以或. （2）因为，所以A，B在以MP为直径的圆上， 设P点坐标为，则MP的中点Q坐标为， ， 所以方程是：， 即. 因为直线AB是⊙M与的公共弦，故直线AB方程为：， 即，即， 令，解得.所以直线AB是过定点. 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】．（24-25高二上·辽宁·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆，如何求圆与圆的公共弦长？ 【答案】 【分析】先计算公共弦方程，然后计算圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理计算公共弦长. 【详解】 由题意将圆与圆的方程相减，可得圆和圆公共弦所在的直线的方程为， 对于圆，该圆的圆心到直线的距离为， 由条件知，所以公共弦长为． 1．（24-25高二上·四川雅安·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B 2．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出两圆公共弦的端点，利用两点间的距离公式可求公共弦长. 【详解】如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为. 故选：B 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减即可得； （2）可借助弦长公式计算，亦可通过计算出交点坐标，利用两点距离公式解决. 【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，两圆相交， 两圆公共弦所在直线的方程为即，． （2）法一：到直线的距离， 所以公共弦长为． 法二：由得或， 故公共弦长为． 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系的判定方法，得出两圆相外切，进而得到公切线的条数. 【详解】由圆M:，可得圆心，半径为1， 又由圆N:，化为标准方程为， 可得圆心，半径为6，可得，且， 所以，所以圆内切于圆，所以圆与圆的公切线的条数为1条. 故选：A 【例2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设，，则等价于，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于的等式，即可求解的值 【详解】（1）由， 知圆的圆心，半径为； 由圆：，有圆心，半径为1， 依题意有圆与圆相外切，故； （2）设，，有，， 由，有， 整理得………① 由，得：，易知，是方程的根，故有，代入①，得，满足要求，故 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】由圆，圆心，半径， 圆，整理得：，圆心， 半径，则，两圆外切， 同时与两圆相切的直线有3条, 故选：B 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案； （2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论. 【详解】（1）化圆为， 则圆心坐标为，半径为2． 由题意圆与圆恰好有三条公切线， 则两圆外切，则，解得； （2）证明：联立，得， 解得或．不妨设，， ∴， ∴直线，的倾斜角互补，从而，    故轴平分． 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 【例2】（2024高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程，两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程． （2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程． 【详解】（1） 解：圆的方程为，圆心坐标，半径为：2， 圆的圆心． 圆心距为：，圆与圆外切， 所求圆的半径为：， 圆的方程， 两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程为． （2） 解：圆与圆交于、两点，且． 所以圆到的距离为：， 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 综上：圆的方程：或． 1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据圆的公共切线的求法求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，所以两圆相离， 画出图象如下图所示， 由图可知，直线是两个圆的公切线.所以AD选项正确. 直线即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，C选项正确. 由，解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，B选项错误. 故选：ACD    3．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 4．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案； （2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 1．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 2．（多选题）（22-23高二上·山东烟台·期中）圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D正确， 故选：ACD 3．（22-23高二上·山东潍坊·期中）为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 【答案】/ 【分析】设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，然后利用求解即可. 【详解】 如图，设两圆外切于点，连接，作交于点， 点为线段与圆的交点， 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 4．（22-23高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【答案】(1)或 (2)存在，2个 【分析】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案. （2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案. 【详解】（1）圆：，即，， 圆：，即，，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. （2）假设存在满足条件，即， 化简得到：，圆心为，半径. ，故两圆相交，有两个交点. 故点P的个数为2. 【拓展训练一 圆与圆位置关系的判定及参数求解】 【例1】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知圆过点三点，圆. (1)求的一般方程； (2)若与交于两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求出方程. （2）判定两圆相交并求出直线方程，再利用弦长公式求得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 依题意，，解得， 所以的一般方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，即圆与相交， 直线方程为，点到直线的距离， 所以. 【例2】（23-24高二上·江西·期中）已知圆：，圆：（）. (1)若圆与圆相外切，求的值； (2)若圆与圆有两个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据两圆外切，可知圆心距等于，列方程即可求； （2）根据两圆有两个交点，可知圆心距属于区间，列式即可求； 【详解】（1）由题意圆心，半径为， 又圆可化为，故圆心，半径为1， 因为圆与圆相外切，则点与之间的距离等于， 即， 所以. （2）若圆与圆有两个公共点， 则点与之间的距离属于区间， 即， 解得， 所以的取值范围为. 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来判断. 【详解】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 可得两圆的圆心距. 因为，而圆心距，所以. 故两圆的位置关系是外切. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若圆与圆：没有交点，则圆的半径可以是（    ） A．1 B．2 C．8 D．9 【答案】AD 【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径.两圆没有交点包含外离和内含两种情况，根据两圆位置关系的判定条件（圆心距与两圆半径，的关系）来确定圆半径的取值范围. 【详解】圆的方程为，配方可得. 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆的半径为，圆心. 根据两点间距离公式，可得圆心与圆心的距离. 两圆没有交点，分两种情况： 外离时，即，解得. 内含时，即. 当，即时，，解得（半径不能为负，舍去）. 当，即时，，解得. 则的范围为或. 故选：AD. 3．（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解. 【详解】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 【答案】(1)； (2)不能使目标球B向C（8，－4）处运动． 【分析】（1）依题意，结合图形，先求得直线方程，则母球在碰撞前时的球心在直线上，且，由此求得点坐标，即得球心运动的直线方程； （2）先假设可以使目标球B向C（8，－4）处运动，则需使母球在运动到点处前不与目标球发生接触，故就要计算点到直线的距离，看是否一直比2大，经计算得出为锐角，故可推断母球在到达点前会与球发生接触. 【详解】（1）                           如图1，点所在的直线方程为， 可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为，此时，则 解得，，即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标， 所以母球A的球心运动的直线方程为，即； （2）                           假设能使目标球B向处运动，则由（1）知球A需运动到处，且到达A'处前不与目标球B接触． 如图2，设与x轴的交点为．因为的斜率为－1，所以． 因为AA'的斜率为，所以．所以为锐角． 过点B作于点E，因为，所以， 所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，所以不能使目标球B向处运动． 【拓展训练二 相交圆的方程与公共弦性质】 【例1】（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 【例2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得， 即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 1．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而求解； 【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以. 故答案为：2 4．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 【拓展训练三 圆的公切线特征探究】 【例1】（24-25高二上·云南大理·期中）已知圆和，则两圆的公切线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用两圆的位置关系判定公切线个数即可. 【详解】易知，可知，半径为1； 而，即，半径为2； 所以，即两圆相外切，有三条公切线. 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【答案】，，，. 【分析】设公切线方程，利用几何法求切线方程. 【详解】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径， 可知两圆的公切线所在直线的斜率存在， 设公切线所在直线的方程为，即 由，得，得或， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，. 1．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出两个轨迹圆，再判断它们的位置关系，从而可得直线的条数. 【详解】与点的距离为1的点的轨迹为圆，其方程为：； 与点的距离为2的点的轨迹为圆，其方程为：； 而，故两圆相外切， 而满足题设条件的直线为两圆的公切线，因两圆外切，故公切线的条数为3. 故选：C 2．（多选题）（22-23高三下·全国·开学考试）与圆和都相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】确定两圆的位置关系，设出公切线的方程，利用点到直线的距离公式列方程组求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆心的距离， 故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在， 设两圆的公切线方程为，即， 则，解得或或 故公切线方程为或或 故选：ABD. 3．（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 【答案】 【分析】由对称性，设圆心在直线，，，则，利用两圆的交点，可得是方程的两根，根据韦达定理，结合半径之积即可求解. 【详解】由题意，圆心都在轴与直线组成角的角平分线上． 若直线的斜率，设，则． 圆心在直线上，可设． 交点在第一象限，， 所以． 所以 即 所以是方程的两根，于是． 由半径的积，得，故． 所以，直线的方程为． 1．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】把距离转化为两个圆，再结合圆与圆相外切，最后得出切线个数即可. 【详解】 如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线， 因为， 所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条， 故选：C. 2．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解； 解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解； 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解. 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 3．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个 A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】求出两圆圆心、半径，根据两外切，一外切一内切，两外切讨论，即可求得. 【详解】设圆圆心，半径， 圆心，半径. 由已知圆，半径. 当圆与两圆都外切时，有，即有， 可得在的垂直平分线上，即， 由，可得，有2个圆满足； 当圆与圆相外切，与圆相内切时，有 ，即，解得，即有2个圆满足； 同理，当圆与圆相外切，与圆相内切时，有2个圆满足； 当圆与两圆都内切时，有，即有， 解得，即有1个圆满足. 综上所述，共有7个圆满足情况. 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 5．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 6．（多选题）（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知点，分别在圆，上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆，相交 B．的最大值为 C．点到直线距离大于 D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】选项A直接由两圆位置关系可判断；选项B可以把 的最大值转化为两圆心距离加上两半径即可得出；选项C，D过点直接作圆的切线，数形结合可得到最值. 【详解】对于选项 A：圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心间距离：， ， 因为 ，所以两圆外离，不相交；故A 错误； 对于选项 B：点 在 上，点 在 上，两圆外离， ，故B 正确； 对于选项 C：过点A作圆的切线（取靠近圆的一条）， 过点作切线的垂线垂足为，过点作垂线，垂足为， 此时的长即为点到直线距离的最小值. 易知，在中，，； 因为为圆的切线，所以易得； ， ， ，故C正确； 对于选项D:过点A分别作两圆的切线，切点分别为，，如下图所示： 由图易得，此时.故D正确. 故选：BCD 7．（多选题）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【详解】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 9．（多选题）（24-25高二上·广东清远·期中）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆有一条公切线是 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ACD 【分析】由圆和圆的位置关系，以及圆的公切线的性质逐个判断即可. 【详解】由可知圆心为，半径为1， 由可知圆心为， 半径为，两圆圆心距为， 对于A，当时，，圆与圆相离，故A正确； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为3， 即与圆不相切，所以不是圆与圆的一条公切线，故B错误； 对于C，当时，，圆与圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为. ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线对称. 易知过两圆圆心的直线的方程为，由，得， 由对称性可知公切线过点， 设公切线的方程为，则点到的距离为1， 所以，解得，所以公切线的方程为， 即. ③还有一条公切线与直线垂直，设公切线的方程为， 易知，则点到的距离为1， 所以，解得或（舍去）， 所以公切线的方程为，即. 综上，所求直线方程为或或，故C正确； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为， 与圆的方程相减可得，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 11．（2025高三·全国·专题练习）过圆：上一点向圆：作两条切线，已知两条切线不垂直且与外离，则半径的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两圆外离可得，记直线与圆交于，两点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，因为两条切线不垂直，则或，列出关于的不等式求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 因为两圆外离，则，即，得， 如图，记直线与圆交于，两点， 过点分别作圆的两条切线，切点分别为，， 过点分别作圆的两条切线，切点分别为，， 由题知，，， 因为两条切线不垂直，则或， 当时，，得， 当时，，得（舍去）. 综合上述情况可知，半径的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程： . ①与圆相切，②与x轴相切. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆的标准方程和圆与圆的位置关系求解即可； 【详解】设圆的方程为， 由题意可得，整理可得， 可令，即， 故答案为：（答案不唯一）. 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 【答案】4 【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【详解】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 15．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可. 【详解】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 16．（22-23高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 17．（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 18．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 19．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 20．（24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【详解】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$