2.3 圆与圆的位置关系（教学课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

2.3 圆与圆的位置关系 第二章 圆与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 了解圆与圆的位置关系. 掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 情境导入 观察与思考：你认为圆与圆之间存在几种的位置关系呢？ 新知探究 通过观察我们可以发现，圆与圆之间存在五种位置关系：外离 、 外切 、 相交 、 内切和内含. 思考与探究： 我们知道在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么该如何通过圆的方程去判断这两个圆之间的位置关系呢？ 第一步：计算两圆的半径r₁，r₂； 第二步：计算两圆的圆心距 d； 第三步：根据d与r₁，r₂之间的关系，判断两圆的位置关系. 新知探究 位置关系 图形 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 外离 外切 相交 内切 内含 d与r1,r2的关系 d r1 r2 概念归纳 根据上节课所学内容你是否还有第二种方法呢？ ● 怎样根据方程来判断圆与圆的位置关系呢? 在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么， 新知探究 设圆 C1 和圆 C2 的方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.如果圆 C1 和圆 C2 有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是圆C1 和圆 C2 的公共点. 圆 C1 和圆 C2 的方程联立方程组 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0. 我们有如下结论： 方程组无解 内 含 外 切 两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点 外离 内涵 外切 内切 相交 概念归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. 例1.判断下列两个圆的位置关系： (1) (x＋2)2＋(y－2)2＝1 与 (x－2)2＋(y－5)2＝16； 解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为， 半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 所以，所以两个圆外切． 教材P63 例题 例1.判断下列两个圆的位置关系： (2) x2＋y2－2x－3＝0 与 x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. (2)方法1 ：将两个圆的方程联立方程组 ①－②，得 x－y－3＝0. ③ 由 ③，得 y＝x－3. 代入①式，并整理，得 x2－4x＋3＝0，解得 x1＝1，x2＝3. 从而 y1＝－2，y2＝0，即方程组有两组不同的解，所以两个圆相交. x2＋y2－2x－3＝0， ① 4x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. ② 典例分析 方法2：解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 例1.判断下列两个圆的位置关系： (2) x2＋y2－2x－3＝0 与 x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. 典例分析 教材P63 例题 判断两圆位置关系 几何方法 两圆心坐标及半径（配方法） 圆心距d （两点间距离公式） 比较d和r1，r2的大小，下结论 代数方法 消去y（或x） 概念归纳 例2.求过点 A(0，6) 且与圆 C：x2＋y2＋10x＋10y＝0 相切于原点的圆的方程. 分析 如图2-3-1，所求圆经过原点和 A (0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上. 根据这三个条件可确定圆的方程. 典例分析 解：将圆 C的方程化为标准方程，得（x+5）² +（y+5）² = 50， 则圆心为C（-5，-5），半径为5. 所以经过此圆心和原点的直线的方程为x-y= 0. 设所求圆的方程为（x-a）² +（y-b）² = r². 由题意知，O（0，0），A（0，6）在所求圆上，且圆心 M（a，b）在直线x-y= 0 上，则有 因此，所求圆的方程是（x—3）² +（у—3）² = 18. 本题还有其他解法吗? 教材P64 例题 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 由题意得，解得 ∴圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. 例2.求过点 A(0，6) 且与圆 C：x2＋y2＋10x＋10y＝0 相切于原点的圆的方程. 典例分析 教材P64 例题 1. 判断两个圆的位置关系： (x－3)2＋(y＋2)2＝1与 (x－7)2＋(y－1)2＝36； （1）解：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 圆心距， ， 所以两圆相内切； 教材P65 练习 2. 设 m 为实数，若圆 x2＋y2＝m 与圆 x2＋y2＋6x－8y－11＝0 相交，求 m的取值范围. 解：由的圆心，半径为， 由可得， 圆心为，半径为6， 因为两圆相交，故， 解得，即， 所以的取值范围为. 教材P65 练习 3. 两圆 C1：x2＋y2＝1 与 C2：(x＋3)2＋y2＝4 的公切线有几条? 解：由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 所以，且，所以， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线． 所以两圆与的公切线有3条. 教材P65 练习 4. 求过点 A(1，－1) 日与圆 C：x2＋y2＝100 相切于点 B (8，6) 的圆的方程. 解：设所求圆的圆心为，由题意可得DA＝DB，， ∴，且, 解得，半径， 故所求圆的方程为． 教材P65 练习 5. 已知圆 C1：x2＋y2＝1，圆 C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，试求这两个圆的公共弦所在直线的方程. 解：由题意圆的圆心，半径 圆 圆心，半径 圆心距， 故两圆相交 圆，圆 两个式子相减得： 故这两个圆的公共弦所在直线的方程为. 教材P65 练习 方法技巧 两圆相切问题 题型一 题型探究 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 例1　已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0. (1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点； 将圆的方程整理成(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0， 故该圆恒过定点(4，－2). (2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值. 1.［湖北武汉华中师大一附中2025高二期中］已知圆 与圆 ，若圆与圆恰有三条公切线，则实数 的值为( ) B A. B. C. D.0 解析 把圆的方程化为标准方程得，则圆心，半径；把圆 的方 程化为标准方程得，则圆心，半径 . 由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆 相外切， 则，即，解得 .故选B. 21 2.（多选）［安徽蚌埠2025高二月考］若两圆和 相切，则实 数 的值可以为( ) ACD A. B. C. D. 解析 根据题意，圆的圆心坐标为，半径长为2，圆 的 圆心坐标为 ，半径长为5. 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有，解得 ； 当两圆内切时，有，解得 . 综上所述，实数的值可以为或.故选 . 22 两圆相交问题 题型二 题型探究 方法技巧 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ①－②，得x－y＋4＝0. 因为A，B两点的坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 23 (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 两圆相交问题 题型二 题型探究 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2). 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 3.已知两圆和相交，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 解析 由圆，知圆心为,半径 ， 由圆，知圆心为,半径 ， 所以根据两圆相交得，，则 .故选C. 25 4.［浙江金华2024高二月考］已知圆 . （1）过点作圆的切线，求直线 的方程； 【解】圆的方程可化为 ，则圆心 ，半径为2， 由，可知点在圆 的外部， 作出圆及过点 的切线如图所示， 由图可知，过点的切线的斜率存在，设的方程为，即 ， 则圆心到直线的距离为，解得或，所以直线 的方程为 或 . 26 （2）若圆与圆相交于,两点，求 . [答案] 由 两式相减得直线的方程为 ， 则圆心到直线的距离，所以 . 4.［浙江金华2024高二月考］已知圆 . 27 1、两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 2、两圆位置关系的判断方法 几何法 代数法 3、两圆位置关系性质的应用 4、充分利用圆的性质来优化算法，简化运算 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 令可得 圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0的圆心为(2a，－a)，半径为|a－2|， 若两圆外切，则|a|＝2＋|a－2|， 由此解得a＝1＋. 若两圆内切，则|a|＝|2－|a－2||， 综上所述，当两圆相切时，a＝1－或a＝1＋. 由此解得a＝1－或a＝1＋(舍去). 则A，B两点坐标是方程组的解. 又圆C1的圆心为C1(－3,0)，r＝， 所以C1到直线AB的距离d＝＝， 方法一　解方程组 则＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝， 其圆心为，代入x－y－4＝0， $$