专题2.2 直线与圆的位置关系重难点题型专训（3个知识点+18大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题2.2 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+18大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 点与圆的位置关系求参数 题型三 判断直线与圆的位置关系 题型四 由直线与圆的位置关系求参数 题型五 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型六 求直线与圆交点的坐标 题型七 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用 题型八 直线与圆中的定点定值问题 题型九 过圆上一点的圆的切线方程 题型十 过圆外一点的圆的切线方程 题型十一 切线长 题型十二 切点弦及其方程 题型十三 已知切线求参数 题型十四 圆的弦长与中点弦 题型十五 已知圆的弦长求方程或参数 题型十六 圆内接三角形的面积 题型十七 直线与圆的实际应用 题型十八 坐标法的应用--直线与圆的位置关系 拓展训练一 直线与圆:位置判定及交点分析 拓展训练二 直线与圆位置关系的参数求解 拓展训练三 直线与圆:切线、弦长及性质应用 拓展训练四 直线与圆的综合实践 知识点一：直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 【即时训练】 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 2．（24-25高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 知识点二：直线与圆相交时的弦长求法 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【即时训练】 1．（22-23高二上·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高三上·江苏·期末）已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为 . 知识点三：直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 方法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 方法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 方法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 方法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即时训练】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【经典例题一 判断点与圆的位置关系】 【例1】（22-23高二上·河南开封·阶段练习）经过中三个点的圆的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川绵阳·二模）已知二次函数（为非零常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆． （1）求的取值范围； （2）试证明圆过定点（与取值无关），并求出定点的坐标． 1．（2022高三·全国·专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）设圆C的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知两点和.        (1)求以为直径的圆的方程； (2)试判断点是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【经典例题二 点与圆的位置关系求参数】 【例1】（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）若点在圆：外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点不在圆的内部，则实数a的取值可以为（    ） A． B．1 C．3 D．4 3．（22-23高二下·湖南·期中）若不同的四点共圆，则实数 ． 4．（23-24高二上·安徽池州·期末）已知被直线，分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2． (1)求的方程； (2)若存在过点的直线与相交于，两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 【经典例题三 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【例2】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系圆经过三点．      (1)求圆的方程 (2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险请说明理由． 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．（多选题）（24-25高二上·安徽合肥·期中）判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（   ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 3．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【经典例题四 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 2．（多选题）（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 3．（24-25高二下·湖南·期中）若直线经过圆的圆心，则 ． 4．（24-25高二上·北京通州·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆M的方程； (2)若直线与圆M相交，求实数k的取值范围. 【经典例题五 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值． 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）求，的最值. 【经典例题六 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得. (1)求动点的轨迹方程； (2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 1．（2023·北京顺义·一模）若圆与y轴交于A，B两点，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 4．（23-24高二上·四川广安·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【经典例题七 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2024高三·全国·专题练习）若直线与圆相交于，两点，并且，求实数的值. 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·二模）过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 【经典例题八 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 2．（多选题）（23-24高二下·云南保山·期末）圆，直线过点且与圆交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为2 C．的最大值为4 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则 3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 【经典例题九 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点的切线方程. 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点 (1)求直线的方程; (2)求圆的标准方程. 【经典例题十 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【例2】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（多选题）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【经典例题十一 切线长】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长. 1．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 2．（2024高三·全国·专题练习）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）过直线上一点作圆和圆的切线，切点分别为，若为中点，为中点，则 . 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为. (1)求圆的方程； (2)过点引圆的切线，求切线的长. 【经典例题十二 切点弦及其方程】 【例1】（23-24高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 1．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 2．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长． 【经典例题十三 已知切线求参数】 【例1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 1．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 2．（多选题）（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）若直线与圆相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 4．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 【经典例题十四 圆的弦长与中点弦】 【例1】（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【经典例题十五 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25高二上·福建宁德·期末）已知圆C经过三点 (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 1．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 2．（多选题）（23-24高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【经典例题十六 圆内接三角形的面积】 【例1】（23-24高三上·四川·期中）若倾斜角为锐角的直线与圆交于、两点，当三角形的面积最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 1．（23-24高二上·福建龙岩·期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 3．（22-23高二上·江西景德镇·期中）点是直线上的动点，过点作圆的切线，分别相切于、两点，则的最小值为 ；四边形面积的最小值为 ； 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【经典例题十七 直线与圆的实际应用】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 2．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 4．（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【经典例题十八 坐标法的应用--直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行．    (1)求出轮航线所在直线方程； (2)轮船是否会有触礁风险？说明理由． 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广西贵港·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为 . 4．（24-25高二上·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【拓展训练一 直线与圆:位置判定及交点分析】 【例1】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和圆，判断直线l与圆C的位置关系．如果相交，求出它们的交点的坐标． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆的圆心为，半径为5，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切 2．（多选题）（2025·陕西渭南·二模）设直线系，则下列四个命题为真的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 4．（24-25高二上·河北·期中）一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【拓展训练二 直线与圆位置关系的参数求解】 【例1】（2023高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知两点，线段是圆的直径. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求. 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 3．（2025高三·全国·专题练习）已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知直线与圆有且只有一个公共点. (1)求实数的值以及圆的标准方程； (2)已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 【拓展训练三 直线与圆:切线、弦长及性质应用】 【例1】（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A．或 B． C．或 D． 【例2】（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点． (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度 (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度 1．（24-25高二上·重庆·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（多选题）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【拓展训练四 直线与圆的综合实践】 【例1】（24-25高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 2．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知△ABC的三个角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，，，设BC的中点为O，则下列说法正确的是（    ） A．△AOC不可能是等腰三角形 B．的最小值为 C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC周长的最小值为4 3．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 4．（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 2．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 6．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（    ）. A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交 C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切 7．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（  ） A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 8．（多选题）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 9．（多选题）（2024高三·全国·专题练习）已知过点的直线与交于两点，直线过点，且，是上一点，则（    ） A．若，则的斜率为0 B．的最小值为 C．若的斜率为1，则面积的最大值为8 D．到与的距离之积的最大值为1 10．（多选题）（24-25高二上·福建福州·期中）已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（   ） A．的面积的最大值为 B．当时， C．Q，M关于轴对称 D．在上存在点，使得 11．（23-24高二·全国·课后作业）设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 14．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 15．（23-24高二上·北京·期中）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，陆上的港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？ （填“是”或“否”） 16．（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 17．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知，，在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线，且与圆交于点、，为坐标原点，，求直线的方程． 18．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 19．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+18大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断点与圆的位置关系 题型二 点与圆的位置关系求参数 题型三 判断直线与圆的位置关系 题型四 由直线与圆的位置关系求参数 题型五 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型六 求直线与圆交点的坐标 题型七 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用 题型八 直线与圆中的定点定值问题 题型九 过圆上一点的圆的切线方程 题型十 过圆外一点的圆的切线方程 题型十一 切线长 题型十二 切点弦及其方程 题型十三 已知切线求参数 题型十四 圆的弦长与中点弦 题型十五 已知圆的弦长求方程或参数 题型十六 圆内接三角形的面积 题型十七 直线与圆的实际应用 题型十八 坐标法的应用--直线与圆的位置关系 拓展训练一 直线与圆:位置判定及交点分析 拓展训练二 直线与圆位置关系的参数求解 拓展训练三 直线与圆:切线、弦长及性质应用 拓展训练四 直线与圆的综合实践 知识点一：直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 【即时训练】 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 2．（24-25高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 知识点二：直线与圆相交时的弦长求法 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 【即时训练】 1．（22-23高二上·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】联立直线和曲线方程，求解即可 【详解】联立，即（）， 解得，即交点为. 故直线与曲线的交点个数为1. 故选：B 2．（23-24高三上·江苏·期末）已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解． 【详解】联立，设， 则， 因为， 所以有，解得. 故答案为： 知识点三：直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 方法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 方法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 方法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 方法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 【即时训练】 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 2．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 【经典例题一 判断点与圆的位置关系】 【例1】（22-23高二上·河南开封·阶段练习）经过中三个点的圆的方程不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入各方程判断是否满足圆的方程，即可得答案. 【详解】A：在圆上，排除； B：都不在圆上，符合要求； C：在圆上，排除； D：在圆上，排除. 故选：B 【例2】（2023·四川绵阳·二模）已知二次函数（为非零常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆． （1）求的取值范围； （2）试证明圆过定点（与取值无关），并求出定点的坐标． 【答案】（1）且；（2）和． 【分析】（1）由二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，令，得到关于的一元二次方程有两个不等的实数根，得到根的判别式大于，即可得到的范围； （2）设所求圆的方程为，令得到关于的方程，与已知方程为同一方程，确定出与，令得到关于的方程，将代入表示出，将代入即可确定圆的方程，进而求出圆经过定点． 【详解】（1）令，得函数与轴的交点是． 令， 由题意且，即且， 解得且． （2）设所求的圆的一般方程为， 令得，这与是同一个方程， 故， 令得方程有一个根为， 代入得． 所以圆C的方程为． 将圆C的方程整理变形为， 此方程对所有满足且都成立， 所以解的或 经检验知，和均在圆C上， 因此圆C过定点和． 1．（2022高三·全国·专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A选项，当时，， 即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误； 对于C选项，当时，， 即表示圆外部及边界，满足； 当时，， 即表示圆的内部及边界，满足，故C正确； 对于B选项，当时，， 即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误； 对于D选项，当时，， 即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误. 故选：C 2．（多选题）（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）经过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将点代入各方程，判断是否满足圆的方程，即可得出答案． 【详解】选项A：点，，在圆上，点不在该圆上，故A正确； 选项B：点，，在圆上，点不在该圆上，故B正确； 选项C：点，，，都不在圆上，故C错误； 选项D：点，，在圆上，点不在该圆上，故D正确； 故选：ABD． 3．（23-24高一·全国·课后作业）设圆C的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 ． 【答案】原点在圆C外 【详解】将圆的一般方程化成标准方程为 ， ∵ ∴ 原点在圆C外． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知两点和.        (1)求以为直径的圆的方程； (2)试判断点是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【答案】(1) (2)点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内 【分析】（1）分别求出圆心和半径，代入圆的标准方程； （2）计算点到圆心的距离和半径比较大小. 【详解】（1）设圆心，半径r，则由C为的中点得，. 又由两点间的距离公式得 ， ∴所求圆的方程为. （2）分别计算点到圆心的距离： ； ； . 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内. 【经典例题二 点与圆的位置关系求参数】 【例1】（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外即可求解. 【详解】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 【例2】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可； （2）因为在圆C外，所以，代入求解即可. 【详解】（1）解：设圆的标准方程为：， 代入，， 得，解得：， 所以圆的标准方程为：； （2）解：因为在圆C外， 所以， 又因为，， 所以， 解得或， 所以的取值范围为：. 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）若点在圆：外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可. 【详解】由于点在圆：外， 有，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点不在圆的内部，则实数a的取值可以为（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】依题意点在圆的外部或圆上，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为点不在圆的内部，即点在圆的外部或圆上，所以，解得或， 故选：CD 3．（22-23高二下·湖南·期中）若不同的四点共圆，则实数 ． 【答案】-1或5 【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可. 【详解】易知圆心在线段的垂直平分线上，该直线方程为，设圆心坐标为，半径为，所以，解得，所以所求圆的方程为， 点在圆上，所以，解得或． 故答案为：-1或5 4．（23-24高二上·安徽池州·期末）已知被直线，分成面积相等的四个部分，且截轴所得线段的长为2． (1)求的方程； (2)若存在过点的直线与相交于，两点，且点恰好是线段的中点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由已知可得圆心为直线的交点，再根据截得轴线段长求出半径即可；（2）根据平面几何知识知，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”，转化为，即，从而求解. 【详解】（1）设的方程为， 因为被直线分成面积相等的四部分，且直线与直线垂直， 所以圆心一定是两直线的交点， 易得交点为，所以. 又截轴所得线段的长为2，所以. 所以的方程为. （2）如图，的圆心，半径， 过点N作的直径，连结. 当与不重合时，， 又点是线段的中点； 当与重合时，上述结论仍成立. 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”.   由图可知，即，即. 显然，所以只需，即，解得. 所以实数的取值范围是. 【经典例题三 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系圆经过三点．      (1)求圆的方程 (2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险请说明理由． 【答案】(1) (2)该船有触礁的危险，理由见解析. 【分析】（1）根据三点坐标代入求出圆的方程； （2）先求出航行路线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后判断是否触礁. 【详解】（1）由题意得， 设过三点的圆的方程为， 将代入，得，解得 所以圆的方程为； （2）由题意得，且该船的航线所在的直线的斜率为， 故该船的航线为直线， 由（1）知圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以该船有触礁的危险． 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·安徽合肥·期中）判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（   ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】ACD 【分析】利用点线距离公式求圆心到直线距离，并判断其与半径的大小关系，即可得答案. 【详解】由，其圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离为， 显然直线与圆相交，但不过圆心. 故选：ACD 3．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果. 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【详解】（1）根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. （2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 【经典例题四 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）求得的坐标，再由题意得到轴，确定的坐标，即可求解； （2）由（1）设直线方程，再结合直线与圆的位置关系，列出等式，即可求解； 【详解】（1）在圆：中，令，解得，所以点的坐标为. 因为点是圆上到轴距离最大的点，所以轴. 因为圆的圆心为，且半径为1，所以点的坐标为. 过、两点的直线方程为，整理得， 即直线的方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为1， 所以， 解得或， 所以所求直线的方程为和. 1．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解. 【详解】由圆心在直线上，设圆心坐标为， 由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得， 解得或，所以这个圆的半径或2. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用表达式的几何意义，结合图形求范围即可. 【详解】由题意，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为半圆，即圆位于轴上方（包括轴上两点）的部分； 选项A： 如图所示，的几何意义为半圆上的点与点的连线的斜率； 设过点的直线的方程为，即， 由，解得或（舍去）； 因此，的取值范围是，故A正确； 选项B： 设，则，故的几何意义为过半圆上的点的斜率为的直线系的纵截距； 当直线过点时，有最小值，最小值为； 由，解得或（舍去），此时有最大值，最大值为， 因此，的取值范围是，故B正确； 选项C： 如图所示，几何意义为半圆上的点到的距离的平方； 由图可知，半圆上点到的距离最大，最大距离为5；点到的距离最小，最小距离为1； 因此，的取值范围是，故C错误； 选项D： 如图所示，的几何意义为半圆上的点到直线的距离的倍； 由图可知，距离的最小值为，最大值为， 因此，的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 3．（24-25高二下·湖南·期中）若直线经过圆的圆心，则 ． 【答案】 【分析】圆心坐标代入直线方程直接求解. 【详解】由题意可知，圆心坐标为,代入直线方程中， 则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·北京通州·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆M的方程； (2)若直线与圆M相交，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可确定圆心坐标与半径，即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线距离小于半径，可得到关于的不等式，解不等式得到的范围. 【详解】（1）由已知，，则圆心. 半径，所以圆的方程为. （2）由直线，即，又直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，可得， 整理有：，解得. 【经典例题五 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】由于，所以是单位圆上的点， 由于，其中，所以是直线上的点， 画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为. 故选：C    【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值． 【答案】最小值是1，最大值是 【分析】根据表示圆，设表示关于原点、x轴、y轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】的图形是圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 设，由式子的对称性得知的图形是关于原点、x轴、y轴均对称的正方形． 如图所示： 当b变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上， 问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b的最值问题． 当时，正方形与圆没有公共点； 当时，正方形与圆相交于点， 若令直线与圆相切， 则，解得， 所以当时，正方形与圆相切； 当时，正方形与圆没有公共点， 故的最小值是1，最大值是． 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】曲线，其中，，即，， 曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆. 因为圆心到直线的距离， 故半圆上一点到直线的最小距离， 半圆上点到直线的距离最大， 则的取值范围为， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出图象，结合图象以及圆的几何性质求得的取值范围，由此确定正确选项. 【详解】圆的圆心为，半径为. 直线过， 与的距离为， 所以的取值范围是， 所以ABC选项符合，D选项不符合. 故选：ABC 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求，的最值. 【答案】， 【分析】先将原等式进行变形，然后将问题转化成几何意义上的问题，画出图像结合条件进行求解即可. 【详解】，令，，，， 则有：，：，则为圆上的点，为直线上的点. 那么表示的是圆上点与直线上点的斜率. 因为，所以， 如图，当点取时，，即， 则，， 当点取时，，即， 则，， 故， 所以，. 【经典例题六 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 【例2】（23-24高二上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得. (1)求动点的轨迹方程； (2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）设，，，根据向量相等得到方程组，利用整体思想消去参数，即可求出动点的轨迹方程； （2）设，由得到，再结合（1）求出直线与圆的交点坐标，即可得解. 【详解】（1）解：设，，， 由， ， 又， 得：， 把①②代入上式得，即为点的轨迹方程. （2）解：设，由，得， 又点满足， 联立得方程组，解得或. 故存在点满足条件，点的坐标为或. 1．（2023·北京顺义·一模）若圆与y轴交于A，B两点，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】直接联立方程求A、B坐标即可. 【详解】联立得，故A、B坐标为，即. 故选：D 2．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的中点为，则，即可取出直线的方程，联立直线与圆的方程，解得即可. 【详解】解：设的中点为，即，所以，又， 所以， 所以直线为，又圆：， 所以，解得或， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·四川广安·期中）已知圆， 点为直线上一动点， 过点引圆的两条切线， 切点分别为 (1)当时， 求的值； (2)若两条切线与轴分别交于两点， 求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可； （2）利用圆心到直线的距离等于半径得到，根据韦达定理得到，，进而得到，再根据三角形面积公式结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由圆，可知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 由，解得或， 因此切线所在直线方程为或， 分别联立，， 解得，，即， 所以. （2）由（1）知，半径为1， 设过点引圆的切线，显然两条切线的斜率都存在， 设切线方程为：，即， 因为，所以，即， 设，是方程的两个根， 则，， 所以， 在切线方程中，令，得， 设，， 则， 则的面积为， 当时，的面积取得最小值，最小值为.    【经典例题七 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】两交点恰好关于y轴对称，则两交点横坐标之和为零；联立直线和圆的方程，消去y，可得关于x的二次方程，则该方程两根之和也为零，由此即可求出k的值． 【详解】解：设直线和圆交点横坐标为x1、x2， 由，得， 两交点恰好关于轴对称，， ． 故选：A 【例2】（2024高三·全国·专题练习）若直线与圆相交于，两点，并且，求实数的值. 【答案】18 【分析】设，，，，把直线方程与圆的方程联立可得一元二次方程的根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【详解】设，，，． 联立，化为． ， ． ，． ． ， ， 解得．满足． ． 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即，设直线的方程为，联立圆的方程，设，，由韦达定理可得，，代入化简即可求出直线的斜率. 【详解】设直线的方程为，联立 整理得，设，． 由韦达定理得，，则， 由，点M在圆C上，可知， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：D. 3．（2024·浙江绍兴·二模）过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【详解】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点． ①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围； ②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据圆与直线相切的性质，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线距离公式求出圆心坐标，进而得到圆的方程. （2）对于直线与圆相交的问题： ①要判断点在以线段为直径的圆内，根据向量的数量积小于0来求解. ②通过设出交点坐标，联立直线与圆的方程，利用交点坐标满足的方程来证明交点在定直线上. 【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为 ，，， 圆的方程为； （2）①设的方程为，， 代入，并整理得, 则，，且, 因为点在以为直径的圆内，所以, 即, 由于，，所以, 所以，解得. 所以的取值范围是． ②由圆方程知，其与轴的两个交点为，, 方程为，方程为, 消去得：, 所以, 即有与的交点在定直线上． 【经典例题八 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可 【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值. 故选：C 【例2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，当时，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【详解】如左图，因为点A在圆O内，所以为锐角，作与E, ． 欲使最大，即最大，由于为定值，则只要最大即可． 当，重合时，即时，最大，如右图 中，，，， 则故当最大时，的长等于． 故选：C． 2．（多选题）（23-24高二下·云南保山·期末）圆，直线过点且与圆交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为2 C．的最大值为4 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则 【答案】ABD 【分析】根据条件时，线段的长最小，可求出判断选项；利用三角形面积公式结合条件可求出面积的最大值判断选项；利用向量的加法运算法则得近一步计算即可，可判断选项;根据条件判断出圆心到直线的距离为1，进一步计算即可判断选项 【详解】因为， 所以圆心，又，则, 圆的半径 又，故点在圆内， 所以当时，线段的长最小, 此时,正确； ，当时，面积最大为正确； 记线段的中点为，则, 错误； 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离为1， 所以，正确. 故选: 3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】原点O到的距离为， 由于l：是到原点O距离为1的直线， 而圆O：的半径为，如图所示， 于是圆O上到直线l距离等于1的点的个数为4，因此．    故答案为：4 4．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点，圆与轴正半轴交于点，过点的直线与圆交于，两点，证明：直线，的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）证明，由此确定圆心坐标和半径及圆的方程； （2）求点的坐标，直线的方程为，设，，联立方程组求出的范围，，，再求直线，的斜率之和并证明结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，，其中为坐标原点， 所以， 所以圆以坐标原点为圆心，半径为的圆， 故圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， 由已知 设，，则，    所以 ， 即直线，的斜率之和是定值，该定值为. 【经典例题九 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 【例2】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得圆心坐标，再由两点间距离公式可得半径，即可得到圆的标准方程； （2）根据题意，先求得直线的斜率，即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）根据题意，设圆心的坐标为，则有，； 则圆心的坐标为，半径， 则圆C的方程为； （2）根据题意，圆C的方程为， 有在圆C上，则有，则切线的斜率， 则切线的方程为，变形可得. 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A 3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，圆经过点，且与圆相切于点 (1)求直线的方程; (2)求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线斜率公式所求切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解. （2）方法一：用待定系数法即可求解； 方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解. 【详解】（1）把圆化为标准方程，得圆心，， 则直线，即 （2）方法一：设圆的方程为， 则 两式相减得，则，又因为， 所以，故所求圆的方程为 方法二：圆心线段MN的中垂线方程为， 则圆心在直线上， 也在直线上， 解得圆心， 圆的半径， 圆的标准方程 【经典例题十 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 【例2】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 【答案】或； 【分析】由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； 【详解】由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为2,故点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时切线方程为，得， 切线方程为或； 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两点距离公式可得，即可求解， （2）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，， ∵圆的半径为2，点在圆上， ∴，解得（舍去）， 故圆的标准方程为． （2）由题知，切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 由题意得，解得或， ∴切线的方程为或． 【经典例题十一 切线长】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长. 【答案】2. 【分析】利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长. 【详解】由题知，设圆心为，切点为A，半径，如图所示， 由切线性质知，， 则切线长. 1．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得. 【详解】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，由圆的几何性质可得，则切线长为，求出的最小值，结合勾股定理可得出切线长的最小值. 【详解】直线上任取一点作圆的切线， 设切点为，由圆，得，圆心，半径为， 由圆的几何性质可得，所以切线长为． 当与直线垂直时，取最小值， 因为，所以切线长的最小值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）过直线上一点作圆和圆的切线，切点分别为，若为中点，为中点，则 . 【答案】2 【分析】由中位线得到，证明， ，设的长，并表示出，从而得到比值. 【详解】如图，连接，设， ∵若为中点，为中点，∴， 即 ∵，，∴， 直线的斜率， ∵，∴， ∴， 设，∴， ∴，， ∴， 故答案为：2. 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为. (1)求圆的方程； (2)过点引圆的切线，求切线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可； （2）利用圆的切线长公式求解. 【详解】（1）因，则的中点为， 又，则的中垂线方程为. 将其与欧拉线方程联立有，解得 故的外心为，则外接圆半径为， 故圆的方程为. （2）设切点为，由题有， 故切线的长. 【经典例题十二 切点弦及其方程】 【例1】（23-24高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程； （2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案. 【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程为或. （2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.    1．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径和基本不等式，可求得答案. 【详解】解：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得 ，∴，令， 则，，故t的最小值为4.由题意知， 故选：A. 2．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为 . 【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【详解】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长． 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用等面积法求切点弦的长即可. 【详解】   由题意，可化为， ∴圆心，半径，则有，故切线段长， 若线段的长为，则，得. 【经典例题十三 已知切线求参数】 【例1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用待定系数法进行求解即可 （2）根据圆的切线性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为该圆过三点， 所以有 所以该圆的方程为. （2）由题意得，所以的斜率为. 设，即. 由点到的距离为，得或， 所以在轴上的截距为或. 1．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 2．（多选题）（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）若直线与圆相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆心坐标和圆的半径，利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，则， 解得或. 故选：AC. 3．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：与以为直径的圆相切，结合切线的性质与题目条件计算即可得. 【详解】由题意可得：与以为直径的圆相切， 取中点，连接，则且， 又，则，则. 故答案为：. 4．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且与圆C相切的直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程； （2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数. 【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为， 又，即，解得． 所以圆心，圆的半径， 故圆C的标准方程是． （2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件， 设切线斜率为，切线方程为，即． 直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为． 【经典例题十四 圆的弦长与中点弦】 【例1】（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【详解】（1）的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； （2）l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 3．（2025·上海浦东新·模拟预测）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1)和 (2)7 【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径求解即可； （2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，等于半径，直线与圆相切. 当切线斜率存在时，设切线斜率为k， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得，切线方程为. 所以，所求的切线方程为和. （2）若两直线都有斜率，可设直线的方程为，则直线的方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以， 同理，， 所以四边形ACBD的面积． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段、的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7．    【经典例题十五 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据圆心到弦的距离、半径、半弦长之间的关系求解. 【详解】由圆心坐标可知，圆心到弦的距离为， 又弦长为，所以圆的半径， 故选：A 【例2】（24-25高二上·福建宁德·期末）已知圆C经过三点 (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可； （2）由弦长公式可得圆心C到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程． 【详解】（1）设圆C的方程为：， 将代入圆的方程得， 解得，，， 所以圆的方程为：， 即圆C的标准方程为：. （2）由（1）可得圆心，半径， 设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得， 可得，即， 当直线l的斜率不存在时，则过点的直线， 此时圆心C到直线的距离为，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设过点的直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 即直线l的方程为，即 综上所述，直线的方程为：或 1．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合点到直线的距离公式、弦长列方程，化简求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 直线过点且与圆相切，不符合题意. 设直线l的斜率为k，则， 圆心到直线的距离， ∵弦长为，∴，即，解得， ∴直线的倾斜角为或. 故选：AD 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    【经典例题十六 圆内接三角形的面积】 【例1】（23-24高三上·四川·期中）若倾斜角为锐角的直线与圆交于、两点，当三角形的面积最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，当时，取最大值，可得出，可求得圆心到直线的距离的值，再利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【详解】圆的标准方程为，圆的圆心为，半径， 易得直线过点，且点在圆内， ，当时，面积最大，此时， 圆心到直线的距离，故由且，解得， 故选：A． 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用直线和圆相切的性质列方程求解即可； （2）利用直线和圆的弦长公式和三角形的面积列方程求解即可. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 1．（23-24高二上·福建龙岩·期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的面积公式可求得，可得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求得的值. 【详解】由三角形的面积公式可得，可得， ，故，则为等腰直角三角形， 所以，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故选：D. 2．（2023·河北·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，可得，，可求四边形的面积的最大值． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 直线，互相垂直，垂足为，， ，， ． 故选：B． 3．（22-23高二上·江西景德镇·期中）点是直线上的动点，过点作圆的切线，分别相切于、两点，则的最小值为 ；四边形面积的最小值为 ； 【答案】 / 【分析】由圆的几何性质可知，，分析可知，当与直线垂直时，取最小值，求出的最小值，结合勾股定理可求出的最小值，证明出，可得出，结合三角形的面积公式可求得四边形面积的最小值. 【详解】圆的圆心为坐标原点，如下图所示： 由圆的几何性质可知，，由勾股定理可知，， 当与直线垂直时，取最小值，且， 所以，， 由切线长定理可得，又因为，， 所以，， 所以，， 故四边形面积的最小值为. 故答案为：；. 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）求出点到直线的距离和，即可求出的面积. 【详解】（1）由题意， 在圆中， ，圆心,半径, 由,可得点在圆外, 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为， 即, 则圆心到直线的距离为,解得：, ∴的方程为,即, 当过点的直线斜率不存在时, 的方程为,此时与圆相切, ∴的方程为或； 综上，的方程为：或 （2）由题意及（1）得， 设点到直线的距离为，中点为， ， 在中，， 由几何知识得，, ， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 【经典例题十七 直线与圆的实际应用】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 【例2】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 2．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 3．（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【答案】 【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解. 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 4．（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 【经典例题十八 坐标法的应用--直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 【例2】（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行．    (1)求出轮航线所在直线方程； (2)轮船是否会有触礁风险？说明理由． 【答案】(1) (2)没有，理由见解析 【分析】（1）分析可知，轮航线所在直线过点，轮航线所在直线的倾斜角为，利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）计算出圆心到轮航线所在直线的距离，判断直线与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，    由题意可知，轮航线所在直线过点，轮航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮航线所在直线方程为，即. （2）解：原点到轮航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险. 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用，是圆O上两点，建立方程组，两式相加并进行配方，解出即可. 【详解】因为，是圆O：上两点， 所以，将两式相加， 又因为, 所以， 即，解得, 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·广西贵港·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】BCD 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可. 【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系， 则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 设轮船航线所在直线的方程为，即，    由，得或． 因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向． 故选：BCD 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为 . 【答案】 【分析】求得圆的半径，进而求得圆的面积. 【详解】因为圆M与直线.相切， 所以点到直线：的距离即为圆M的半径， 所以，圆C的面积为. 故答案为： 4．（24-25高二上·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线与圆相切，且唯一公共点为点，由勾股定理求出切线长； （2）设，且，表达出，而，故当时，取得最小值． 【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 【拓展训练一 直线与圆:位置判定及交点分析】 【例1】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和圆，判断直线l与圆C的位置关系．如果相交，求出它们的交点的坐标． 【答案】相交，交点坐标为， 【分析】联立直线的方程，通过判断根的个数进而判断直线与圆的位置关系，或者利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断. 【详解】（方法一）由直线l与圆C的方程，得． 消去y，得． 因为， 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． （方法二）将圆C的方程通过配方化为标准方程， 可知它的圆心C的坐标为，半径． 直线l的方程为，圆心到直线l的距离 ， 所以直线l与圆C相交，有两个公共点． 由，解得，． 将，分别代入直线方程，得，． 所以直线l与圆C有两个交点，它们的坐标分别是，． 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆的圆心为，半径为5，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切 【答案】D 【分析】先求出圆的方程，对于AB，代入检验可判断正确，对于CD，根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断正误. 【详解】圆的方程为：， 对于AB，，， 故点在圆上，点在圆内，故AB错误； 对于C，到直线的距离为，故直线与圆相交； 对于D，到直线的距离为， 故直线与圆相切， 故选：D. 2．（多选题）（2025·陕西渭南·二模）设直线系，则下列四个命题为真的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】BD 【分析】根据题意，利用同角三角函数的恒等式，结合消参法可推导出直线系表示圆的切线的集合，逐项计算并判断即可. 【详解】对于A，可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故A错误； 对于B，对任意，存在定点不在直线系中的任一条直线上，故B正确； 对于C，中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边三角形和，故C错误；    对于D，由于圆的外切正边形，其所有边均在直线系中的直线上，故D正确. 故选：BD. 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】圆心到直线的距离， 结合直线与圆的位置关系相应条件判断即可. 【详解】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 4．（24-25高二上·河北·期中）一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析． (2)； 【分析】（1）由点到直线的距离求得小岛中心为原点与轮船航线的距离，从而判断直线与圆的位置关系，得到轮船航线是否穿过暗礁区域； （2）由题意可求出得到直线方程，由圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系，从而知道最短距离为圆心到直线距离减去半径. 【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：． 轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． （2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则， 直线的方程为：，其一般式方程为：． 易知原点到直线的距离为， 直线与圆相离， 圆上动点到直线的距离的最小值为：． 【拓展训练二 直线与圆位置关系的参数求解】 【例1】（2023高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【分析】由点在圆内得，求得a的取值范围. 【详解】点在圆的内部， 所以，化简得，解得， 故选:A 【例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知两点，线段是圆的直径. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求. 【答案】(1)圆心，圆的半径为； (2)或. 【分析】（1）利用中点坐标公式及两点距离公式计算即可； （2）根据直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】（1）由题意得圆心是线段的中点，则， 因为， 所以圆的半径为. （2）由题意得圆心到直线的距离为， 解得或. 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由点在圆外及列出不等式组并求解即得. 【详解】圆：的圆心，半径为2，显然， 令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由圆上存在点使，得， 即，则，又，解得， 所以正数的取值范围为. 故选：B 2．（多选题）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 【答案】BD 【分析】A选项，分情况得到曲线图象，即可判断对称性；B选项，根据图象计算面积；C选，结合图象求到直线距离为1的点；D选项，根据圆的方程得到圆心在线段BE上，然后再结合对称性列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得①，时，得， ②，时，得， ③时，得， ④时，得， ⑤时，得， ⑥时，得， 作出曲线图象如图所示，其中，，，，，， 对于A，由图可知，点在曲线E上，但点不在曲线E上，所以曲线E不关于直线对称，故A错误； 对于B，图形为一个边长为2的正方形BCEF和两个底和高分别为2和1的三角形及构成，其面积为，故B正确； 对于C，如图，直线BE就是直线，而直线CD与直线AF均与之平行，两线段AF和CD上的点到直线距离最大， 且直线CD，直线AF与直线BE距离均为，数形结合可得曲线上只四个点到直线距离为1，故C错误； 对于D，易得曲线关于原点对称，圆的圆心在线段BE上， 据对称性可得， （1）当时，须满足，解得， （2）当时，须满足，解得， 由（1）（2）得，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于通过取绝对值得到曲线的解析式，画出图象，然后结合图象解决问题. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】设，半径为，根据题意可得到圆的方程，由，计算解得，根据圆心到直线的距离，解得答案． 【详解】设，半径为，设圆的方程为， 又过点和，则，解得 所以的方程为． 由，则，解得， 则圆心到直线的距离，解得， 故的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知直线与圆有且只有一个公共点. (1)求实数的值以及圆的标准方程； (2)已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，求的取值范围. 【答案】(1)，圆的标准方程为. (2). 【分析】(1)利用点到直线的距离等于半径解题； (2)利用转化思想将问题转化为圆心到直线的距离. 【详解】（1）将圆化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线与圆相切， 所以， 解得，圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为.由（1）可知：，圆的半径为2. 因为圆上恰有两个点到该直线的距离为1，则有 即 解得：或. 所以的取值范围为. 【拓展训练三 直线与圆:切线、弦长及性质应用】 【例1】（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出或． 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 易知过点的切线的斜率存在，设的方程为， 即，则圆心到直线的距离， 解得或． 故选：A． 【例2】（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆，点． (1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度 (2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度 【答案】(1) (2) 【分析】（1）数形结合根据勾股定理求解即可； （2）根据垂径定理求解即可. 【详解】（1）圆心，半径为，即，又， 故； （2），故直线，记圆心到直线的距离为， ，故. 1．（24-25高二上·重庆·期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得出满足条件的过三点、、的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为和，并依据定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，舍弃，得到满足条件的，从而得出答案. 【详解】因为、，则线段的中点坐标为，易知， 则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时的坐标为， 代入圆的方程得，解得或， 即对应的切点分别为和， 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径， 所以，故点为所求，即点的横坐标为. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【答案】AB 【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C；根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号， 所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误. 故选：AB 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【详解】（1）由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 【拓展训练四 直线与圆的综合实践】 【例1】（24-25高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 【例2】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 2．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知△ABC的三个角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，，，设BC的中点为O，则下列说法正确的是（    ） A．△AOC不可能是等腰三角形 B．的最小值为 C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC周长的最小值为4 【答案】BC 【分析】构建直角坐标系，将三点用坐标表示，根据已知条件，求解点的运动轨迹，依次判断各项正误. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设点A，B，C的坐标分别为，，．由得点A的轨迹为． 对于A选项，当点A在上运动时，，存在点A使得，即△AOC为等腰三角形，故选项A错误； 对于B选项，当直线OA与相切时，取到最大值，易得对应的，故选项B正确； 对于C选项，当轴时，△ABC的面积取到最大值，最大值为，故选项C正确； 对于D选项，△ABC的周长为，所以△ABC周长的最小值不存在，故选项D错误. 故选：BC． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【答案】 2.0 6.6 【分析】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心的移动轨迹方程是，可得受台风影响的区域边界的曲线方程是，再由可得答案. 【详解】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹方程是，设台风中心为， 受台风影响的区域边界的曲线方程是， 由，可得， 解得， 令， 当时， ∴， ， ∴从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h． 故答案为：①；②.    4．（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为； (2) 3.5米 【分析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【分析】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出与圆相切时且时的取值即可得答案. 【详解】由题意可知圆心在直线上， 设， 又因为圆与轴相切， 所以， 因为当与圆相切时，取最大值， 所以当， 则， 此时， 所以， 整理得， 解得或， 因为圆上存在两点使得， 所以，即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 3．（2024高三·全国·专题练习）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 【答案】C 【分析】讨论直线斜率不存在和存在时两种情况，存在时设，利用直线方程可分别求出，坐标，即可求出的表达式，化简可得答案. 【详解】由题得，，    ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 5．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 6．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（    ）. A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交 C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】AB 【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A，因为点在圆外，所以， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故命题A是假命题； 对于B，因为点在圆内，所以， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故命题B是假命题； 对于C，因为点在圆上，所以， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故命题C是真命题； 对于D，因为点在直线上，所以，即， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故命题D是真命题； 故选：AB. 7．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点在圆上，点、，则（  ） A．点到直线的距离小于 B．到直线的距离大于1 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】先求出直线的方程，圆心和半径.利用几何法求出点到直线的距离的范围，判断A、B；判断出当过的直线与圆相切时,满足最小或最大，利用勾股定理求出，可判断C、D. 【详解】因为点、，所以过的直线方程为即. 圆的圆心坐标为，半径. 因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的范围为. 因为,所以. 因为,所以. 所以点到直线的距离不一定小于7,但一定大于1，故A错误, B正确. 如图, 当过的直线与圆相切时,满足最小或最大(点位于时最小,位于时最大),此时, 所以,故C、D正确. 故选：BCD 8．（多选题）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 【答案】AC 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】 由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间. 当与该曲线相切时，，解得， 则m的取值范围为. 当经过点时，，解得，则n的取值范围为. 故选：AC 9．（多选题）（2024高三·全国·专题练习）已知过点的直线与交于两点，直线过点，且，是上一点，则（    ） A．若，则的斜率为0 B．的最小值为 C．若的斜率为1，则面积的最大值为8 D．到与的距离之积的最大值为1 【答案】BD 【分析】分的斜率不存在与的斜率存在讨论，结合弦长公式代入计算，即可判断A，当时，取得最小值，即可判断B，结合B选项可得此时，故只需边上的高最大，再由三角形的面积公式即可判断C，由条件可得，再由基本不等式代入计算，即可判断D. 【详解】当的斜率不存在时，，又的半径，，则到的距离， 故； 当的斜率存在时，设，由，得到的距离， 解得．故当时，或不存在，A错误； 易知当时，取得最小值此时到的距离， 故，B正确； 当斜率为1时，，由B项知，故只需边上的高最大， 当三点共线，且在下方时，， 此时，C错误； 设到与的距离分别为，则，即， 当且仅当时，等号成立，即，D正确． 故选：BD 10．（多选题）（24-25高二上·福建福州·期中）已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（   ） A．的面积的最大值为 B．当时， C．Q，M关于轴对称 D．在上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】A选项，根据的轨迹的方程，然后利用几何知识求面积的最值即可；B选项，根据圆心角和圆周角的性质得到，然后求即可；C选项，根据题意得到，然后利用正弦定理和诱导公式得到，即可得到关于轴对称；D选项，根据的轨迹方程得到，然后根据的范围判断即可. 【详解】    设，则，整理得， 所以动点的轨迹为圆心为，半径为4的圆， 由图可知，当点到直线的距离最大时的面积最大，所以，故A错； 连接，，当时，，则为等腰直角三角形， ，故B正确； 由题易知， 又由正弦定理可得，，且， 所以， 所以， 又轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，故C正确； 设，，则，整理得， ，故D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高二·全国·课后作业）设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 【答案】最近点；最远点 【分析】先判断直线和圆的位置关系，然后求得过圆的圆心且与直线垂直的直线方程，通过联立方程来求得最近点和最远点的坐标. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 直线的斜率为， 所以过且与直线垂直的直线方程为， 由解得或， 结合图象可知：最近点；最远点. 故答案为：最近点；最远点 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 13．（24-25高二下·上海·阶段练习）圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 14．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 15．（23-24高二上·北京·期中）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，陆上的港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？ （填“是”或“否”） 【答案】否 【分析】以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口，以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，求出直线的方程，计算出原点到直线的距离，可得出结论. 【详解】以点代表小岛中心，轮船的初始位置为点，以点代表陆上的港口， 以点为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，直线的方程为，即， 圆的方程为， 若圆与直线有公共点，则轮船有触礁危险，需改变航向； 若圆与直线无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向. 原点到直线的距离为，即圆与直线无公共点. 因此，如果轮船沿直线返航，它没有触礁危险. 故答案为：否. 16．（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. 17．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知，，在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线，且与圆交于点、，为坐标原点，，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件设直线方程为，联立直线与圆的方程得，由韦达定理得，进而可求得，结合条件，即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为，，在圆上， 所以①，②，③， 由①②③解得， 所以圆的标准方程. （2）因为，又直线，不妨设为， 由，消得， 则，即， 设，则， 所以， 又，则，又，所以， 得到，即，解得或（均满足）， 所以直线的方程为或. 18．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，即可得出所求切线的方程； （2）连接，交于点，设，其中，计算得出，利用圆的几何性质求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为，半径为， 若切线的斜率不存在时，则切线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，整理可得， 解得或， 故所求切线方程为或，即或. （2）连接，交于点，设，其中， 所以，在中，， 所以， 因为为圆上一动点，所以， 即，所以，即， 所以的取值范围为. 19．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 学科网（北京）股份有限公司 $$