专题1.9 直线与方程常考几何模型专训（13大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题1.9 直线与方程常考几何模型专训 （13大题型+15道拓展培优题） 题型一 斜率公式的应用 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 由两条直线平行求方程 题型五 由两条直线垂直求方程 题型六 由斜率判断两条直线平行 题型七 由斜率判断两条直线垂直 题型八 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 题型九 三线能围成三角形的问题 题型十 求平面两点间的距离 题型十一 由顶点坐标判断三角形的形状 题型十二 光线反射问题(2)--直线关于直线对称 题型十三 由距离求已知直线的平行线 【经典例题一 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）平面上有相异两点，B（0，1），求直线AB的倾斜角的取值范围． 【答案】 【分析】由题意求出A、B两点所在直线的斜率，由此求出直线AB的倾斜角的取值范围. 【详解】因为两点是相异点， 所以，且， 得， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 即. 所以直线AB的倾斜角的取值范围为： 1．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答； （2）先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率. （2）当点在两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当P与重合时也满足， 因此， 亦即，且， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 2．（2024高二·江苏·专题练习）已知，，三点，试判断这三点是否在同一直线上． 【答案】在同一条直线上. 【分析】求与，由斜率关系即可求解 【详解】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率． 因为，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B， 所以A，B，C三点在同一直线上． 3．（22-23高一上·福建泉州·期末）坐标法是解析几何中最基本的研究方法，坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.请利用坐标法解决以下问题： （1）在直角坐标平面内，已知，对任意，试判断的形状； （2）在平面内，已知中，，为的中点，交于，求证：. 【答案】（1）直角三角形；（2）见解析. 【分析】（1）利用点的坐标表示出直线的斜率，利用斜率积为可证结论； （2）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出直线AM，AC的直线方程，求出点N的坐标，根据斜率值即可证明． 【详解】（1）， ∴∴ ∴是直角三角形； （2）如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则 ，， ∴，直线的方程为， ，直线的方程为， 的方程为， 联立方程，解得， 即， ∴，又 ∴. 【点睛】本题借助于平面直角坐标系，利用解析法证明角相等的问题，考查了斜率公式的应用，属于中档题． 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例2】（22-23高二·江苏·课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)在x轴、y轴上的截距分别是3，； (2)过点，且在y轴上的截距为6； (3)过点，且在x轴上的截距为3. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据直线两点式方程的求法即可求得答案. 【详解】（1）由题意，直线过点，所以由直线的两点式方程可得； （2）由题意，直线过点和（0,6），所以由直线的两点式方程可得； （3）由题意，直线过点和（3,0），所以由直线的两点式方程可得. 1．（23-24高二上·四川成都·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边所在的直线方程； (2)求经过边的中点，且与边平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线方程的两点式求解； （2）先求得AB的中点，再根据直线与AC平行，利用点斜式求解. 【详解】（1）因为，， 所以边所在的直线方程为， 即； （2）因为，， 所以AB的中点为： ， 又， 所以 直线方程为：， 即 . 2．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别为，，．求： (1)AB边中线所在的直线方程； (2)BC边的垂直平分线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得中点的坐标，由此求得边中线所在直线方程. （2）根据中点和斜率求得边的垂直平分线所在直线方程. 【详解】（1）中点坐标为，所以边中线所在直线方程为， 即. （2）中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线方程为， 即. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（﹣4，0），C（0，6）． (1)求直线BC的一般式方程； (2)求AC边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】(1)3x﹣2y+12＝0 (2)7x﹣5y+28＝0 【分析】（1）直接由直线方程的两点式写出BC边所在直线方程，化为一般式得答案； （2）由中点坐标公式求得AC的中点坐标，结合B的坐标写出AC边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案． 【详解】（1）∵B（﹣4，0），C（0，6）， ∴由直线方程的两点式可得直线BC的方程为， 整理为一般式：3x﹣2y+12＝0； （2）∵A（2，8），C（0，6）， ∴AC的中点坐标为（）＝（1，7）， 又B（﹣4，0）， 由直线方程的两点式得AC边上的中线所在直线方程为． 整理为一般式：7x﹣5y+28＝0． 【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 1．（23-24高二·浙江杭州·假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【答案】或 【分析】依题意设所求直线的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为， 由已知可得，解得或， 所以或， 故直线的方程为或． 2．（23-24高二·全国·课后作业）求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为的直线的斜截式方程． 【答案】或. 【分析】设直线方程为：，令，得，令，得，根据题意，由求解. 【详解】设直线方程为：， 令，得，令，得， 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12， 所以， 解得， 所以直线的斜截式方程是或. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】，直线的方程为． 【分析】求出、的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的值，从而得到直线方程． 【详解】解：直线：，当时直线：，显然不满足题意，所以，令得y=2k+1，令得，即，． 依题意得，解得． 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 【经典例题四 由两条直线平行求方程】 【例4】（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点求直线的斜率，再将点斜式直线方程化简为一般方程； （2）设与直线平行的直线方程，再代入点的坐标，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，, 则直线的方程为， 化简为一般式直线方程为； （2）设与直线平行的直线方程为， 代入点，得，得， 所以直线方程为. 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两直线平行设出直线的方程，代入点坐标即可求得直线方程； （2）分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可设直线的方程为, 将点代入计算可得， 可得直线的方程为. （2）若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为，即； 若在两坐标轴上的截距不为0，设为， 则直线的方程为，代入点可得， 可得直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或 2．（23-24高二上·河北·期中）已知直线经过直线：与直线：的交点． (1)若直线经过点，求直线在轴上的截距； (2)若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程； （2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可. 【详解】（1）由解得 即和的交点坐标为， 因为直线经过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以直线在轴上的截距为． （2）因为直线与直线：平行， 所以可设直线的方程为， 又直线经过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为. 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为， (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求在轴上的截距. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得点，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为， 【经典例题五 由两条直线垂直求方程】 【例5】（24-25高二上·江苏盐城·期中）三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点式即可求解； （2）由垂直关系确定斜率，再由点斜式即可求解； （3）确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线两点式方程可得，即； （2）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由直线点斜式方程可得， 即，这就是所求的直线方程； （3）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为， 即. 1．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【详解】（1）由题知，，在直线上， 设， 则，解得， 即点坐标为. （2）设， 则，解得，即， 所以直线的方程为， 即.    2．（23-24高二上·广东江门·期中）已知点， (1)直线的方程； (2)线段垂直平分线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式求解即可. （2）根据的中点坐标、线段的垂直平分线的斜率求得正确答案. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以直线的方程化简可得：. （2）线段的中点为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线为，化简可得： 3．（24-25高二上·天津·开学考试）已知直线垂直于直线，直线与两坐标轴围成的三角形周长为5，求直线的方程. 【答案】或. 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，并求出与坐标轴的交点坐标，再由三角形周长列出方程求解. 【详解】由直线垂直于直线，设直线的方程为， 则直线交轴于点，交轴于点，， ，依题意，，解得， 所以直线的方程为或. 【经典例题六 由斜率判断两条直线平行】 【例6】（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论. 【详解】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，试判断直线与是否平行． 【答案】平行 【分析】将直线化为斜截式，验证是否存在，即可判断两直线是否平行. 【详解】将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 由于，，所以． 2．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 (3)重合 【分析】 （1）分别求直线与直线的斜率，进而分析判断； （2）注意到恰好与y轴重合，结合题意分析判断， （3）分别求直线与直线以及的斜率，结合题意分析判断. 【详解】（1）因为，，即，所以与不平行． （2）由题意可知恰好与y轴重合，所以． （3）由题意可知，，即， 所以与平行或重合． 又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 【分析】（1）求出、，即可判断； （2）求出、的方程，即可判断. 【详解】（1）因为经过点，，所以， 又经过点，，所以， 因为，所以与不平行； （2）直线经过点，的方程为， 直线经过点，的方程为， 故直线和直线平行； 【经典例题七 由斜率判断两条直线垂直】 【例7】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 1．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）分别求解直线与的斜率，根据斜率关系判断即可； （2）求解直线的斜率，根据斜率关系判断即可； （3）根据坐标确定直线倾斜角，即可判断直线位置关系. 【详解】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为， 则轴， 又，则轴，因此． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直； （2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直. 【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ， ， ， ∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°， 则轴； 由题知直线的斜率存在，设为， ， 则轴， ∴． 【经典例题八 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知点求： (1)求过两点的直线的斜率； (2)边上的高所在直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率即可； （2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解. 【详解】（1）由可得； （2）由可得， 所以边上的高所在直线的斜率为， 由点，所以边上的高所在直线方程为. 1．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期中）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 【答案】D（0，1） 【分析】由已知可得，从而建立方程组，解之便可得正解. 【详解】 设，则 ， 3．（2024高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【答案】存在正实数或，使为直角三角形． 【分析】由分别为直角求解（相应直线斜率乘积为）可得． 【详解】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 【经典例题九 三线能围成三角形的问题】 【例9】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【详解】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为 1．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和的直线方程，求出交点P的坐标，再根据点斜式或者两点式即可求出直线l的方程； （2）分别求出直线l与x轴和y轴的交点，坐标的绝对值即是三角形的底边和高. 【详解】（1）∵直线l经过两条直线和的交点， ∴解得，，即， 由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过， 代入可得．∴直线l的方程． （2）在直线中，令可得， 令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积． 2．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 【答案】（1）；（2）0，，. 【分析】（1）根据斜率相等可求出结果； （2）分三种情况由两条直线垂直求出,再验证能否构成三角形，可得解. 【详解】（1）当时，与不平行， 当时，由得，即，所以，经验证符合题意； （2）由题意，若和垂直可得：，解得，由（1）知当时，，构不成三角形， 当时，经验证符合题意； 故； 同理，若和垂直可得：，解得，应舍去； 若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意； 故m的值为：0，，. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）若三条直线，，能围成三角形，求m的取值范围． 【答案】不等于:. 【分析】先求出不能围成三角形的的取值，由此求得能围成三角形的的取值. 【详解】解: 先求三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合时的取值. （Ⅰ）三线交于一点解方程组和的交点A的坐标（） 若A在上，则.解得或 （Ⅱ）若与平行（或重合），则易知； 若与平行（或重合），则，知 若与平行（或重合），则无解 综上不取以下值时，三条直线能围成三角形. 【经典例题十 求平面两点间的距离】 【例10】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)存在，定点为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，再求解即可. （2）根据当时，点到直线的距离的最大，即可得到答案. 【详解】（1）直线， ，令，即直线恒过. （2）当时，点到直线的距离的最大， . 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线.求： (1)判断直线是否过定点，是则求出定点；不是则说明理由. (2)若，求直线被曲线：所截的线段长. 【答案】(1)直线过定点，定点为 (2) 【分析】（1）根据直线方程特征求解定点即可； （2）根据绝对值进行分类讨论，求出交点即可得到线段长. 【详解】（1）直线即， 令，解得，即直线过定点，定点为 （2）若，则直线，即， 将代入，得， 当时，，即， 解得或（舍），则交点坐标为； 当时，，即， 解得或（舍），则交点坐标为； 当时，，即， 解得（舍）或（舍）. 所以截得的线段长度为 2．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知三角形ABC的顶点，，． (1)求BC边上中线的长； (2)求BC边上中线所在直线的方程． (3)过A引直线l，若l被两坐标轴截得的线段中点为A，求直线l的方程． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据中点坐标公式可得BC的中点，进而结合两点间的距离公式计算即可； （2）根据斜率公式及点斜式求解即可； （3）设直线的方程为，表示出与两坐标轴的交点坐标，进而结合中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以BC的中点的坐标为，即， 所以中线长为. （2）由（1）知，BC的中点， 所以中线所在直线的斜率为, 所以中线所在直线的方程为，即. （3）由题意，设直线的方程为， 令，则；令，则，， 所以直线与两坐标轴的交点坐标为，， 由题意，得，解得. 所以直线l的方程为，即. 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出边所在的直线方程； （2）求出点的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值； （3）求出边的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出边的高所在直线的方程. 【详解】（1）解：直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. （2）解：因为点、、，是边上的中点，则， 所以，中线的长为. （3）解：因为直线的斜率为，所以，边的高所在直线的斜率为， 因此，边的高所在直线方程为，即. 【经典例题十一 由顶点坐标判断三角形的形状】 【例11】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案. 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 2．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 3．（22-23高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线过点，与轴､轴的正半轴分别交于，两点，的面积为.点为线段上一动点，且交于点. (1)求直线斜率的大小； (2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）根据直线过点，利用点斜式设直线方程，根据直线在坐标轴上的截距可得三角形的两个直角边，进而可得面积，求解斜率； （2）分情况讨论直角顶点的情况，结合等腰直角三角形的性质求解. 【详解】（1）由已知直线斜率存在且，直线过点， 设直线方程为，即， 令，则，所以，， 令，，所以，， ， 解得； （2）存在， 由（1）得直线为， 所以设点，，， 又点在轴上，且为等腰直角三角形， 当时，， 则，，， 解得，即； 当时，， 则，，， 解得，此时，成立， 当时，， 此时，， 解得，即， 综上所述，在轴上是存在点，使为等腰直角三角形，的坐标为或或. 【经典例题十二 光线反射问题(2)--直线关于直线对称】 【例12】（24-25高二上·全国·课前预习）已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率以及对称性等知识列方程求得正确答案. （2）结合（1）以及两点式来求得正确答案. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有,解得,则. （2）因为的坐标满足直线的方程，点关于直线的对称点为， 则直线即为所求的直线， 由两点式得所求直线方程为， 化简得. 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点.求所在的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系即可求出所在的直线方程. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 设点关于直线的对称点为， 易知，解得，即， 由对称性可知，点在直线上， 所以，可得直线的方程为， 即. 2．（23-24高二·全国·课后作业）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被x轴反射，求入射点及反射光线所在直线的方程． 【答案】入射点为，反射光线所在的直线方程为 【分析】根据已知条件求出入射光线所在的直线方程，从而可求出入射点坐标，再利用对称知识求出反射光线所在的直线方程 【详解】因为一条沿直线传播的光线经过点和， 所以入射光线所在的直线方程的斜率为， 所以入射光线所在的直线方程为，即， 当时，，所以入射点为， 由题意可知入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为 3．（23-24高二·全国·课后作业）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH的方程； (2)求三角形PQH的面积. 【答案】(1)y＝﹣x+2，x∈（﹣∞，2] (2)8 【分析】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程． （2）首先根据（1）中直线方程求出点H的坐标，求出三角形的边长，再利用三角形的面积公式求出结果． 【详解】（1）如图所示， 作点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P（6，﹣4）， 则反射光线所在的直线过点P′和Q， 所以， 所以直线P′Q的直线方程为y＝﹣（x﹣2）． 所以反射光线的QH的直线方程为y＝﹣x+2，其中x∈（﹣∞，2]． （2）由（1）得知H（0，2），kPQ•kQH＝﹣1，所以PQ⊥QH， 所以|QH|， |PQ|， 所以． 【经典例题十三 由距离求已知直线的平行线】 【例12】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线方向向量的性质，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据两平行线间方程的特征，结合两平行直线的距离公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即. （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由点到直线的距离公式得，即， 解得或. 所以所求直线m的方程为或. 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 【答案】或 【分析】求出直线的方程，根据所求直线与直线平行，设所求直线方程，结合平行线间的距离公式求出参数的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】解：直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设所求直线方程为，则， 即，解得或， 故所求直线方程为或. 2．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线. (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两平行线间的距离公式代入计算即可得与之间的距离为； （2）根据题意可知到与的距离相等且为，设出直线方程即可求得结果. 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离为 （2）由与平行可知，设的方程为. 由题意知与之间的距离为， 所以有，解得或（舍去） 所以的方程为 3．（22-23高二上·江西南昌·期中）已知直线，试求： (1)与直线的距离为的直线的方程； (2)点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，根据平行直线间的距离公式列出方程求解即可； （2）设对称点，利用垂直时斜率关系以及的中点在直线上列出方程组求解即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 由题意，得，解得或， 所以所求直线的方程为或. （2）设点关于直线的对称点为， 已知直线的斜率为，且的中点在直线上， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为. 1．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答； （2）先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率. （2）当点在两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当P与重合时也满足， 因此， 亦即，且， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    【答案】 【分析】根据题意结合图形求出直线的斜率，直线的斜率，即得直线斜率的取值范围． 【详解】根据图形，∵直线的斜率是， 直线的斜率是， ∴过点的直线与线段有公共点时， 直线的斜率的取值范围是 ． 故答案为：． 3．（22-23高一下·河南郑州·期末）三角形三个顶点是，， (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出AB边上的高的斜率，用点斜式方程即可求得； （2）求出BC边上的中点，利用两点式方程即可求得. 【详解】（1）因为，，所以. 所以AB边上的高的斜率为. 所以AB边上的高所在直线为：，即 （2）因为，，所以BC边上的中点 所以BC边上的中线所在直线，即. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线过点，再由斜率公式计算即可； （2）根据直线，设直线方程为，再计算直线与轴的交点坐标，然后根据面积求解即可. 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 5．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 7．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知四边形是平行四边形，，，，且为线段的中点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若直线经过点，且，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用，求得D点坐标，进而得到E点坐标，再求得斜率，则问题得解； （2）结合（1）易求BE斜率，进而解决问题. 【详解】（1）设，因为， 所以， 解得，，即． 则的中点，的斜率， 所以的斜率为2，则的方程为，即． （2）由（1）知， 又，所以． 因为，所以的斜率为， 所以的方程为， 整理得 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 9．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【答案】(1)直角梯形；证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【详解】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 10．（22-23高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【详解】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值. 【详解】（1）设，， 则， ∵，∴，∴， 则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去； 当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即； 同理，联立方程组，解得，即， 原点到直线的距离 ∵，∴，当时，最大，此时取最小值， ∴最小值为. 12．（22-23高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    【答案】且 【分析】由题意可分直线、、、直线经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出的值再求其补集可得答案. 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若，则由，得； ②若，则由，得； ③若，则由，得， 当时，与三线重合，当时，平行． ④若三条直线交于一点，由，解得， 将的交点的坐标代入的方程， 解得 (舍去)，或， 所以要使三条直线能构成三角形，需且． 13．（23-24高二·全国·课后作业）如图，点P为正方形内一点，且满足，用坐标法证明为等边三角形． 【答案】证明见解析. 【分析】以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，写出点、、的坐标，计算出的三边边长，即可得出结论. 【详解】以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为，则，，， 因为，则、， 所以，，同理可得， 因此，为等边三角形. 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 15．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【详解】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 直线与方程常考几何模型专训 （13大题型+15道拓展培优题） 题型一 斜率公式的应用 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 由两条直线平行求方程 题型五 由两条直线垂直求方程 题型六 由斜率判断两条直线平行 题型七 由斜率判断两条直线垂直 题型八 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 题型九 三线能围成三角形的问题 题型十 求平面两点间的距离 题型十一 由顶点坐标判断三角形的形状 题型十二 光线反射问题(2)--直线关于直线对称 题型十三 由距离求已知直线的平行线 【经典例题一 斜率公式的应用】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）平面上有相异两点，B（0，1），求直线AB的倾斜角的取值范围． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 2．（2024高二·江苏·专题练习）已知，，三点，试判断这三点是否在同一直线上． 3．（22-23高一上·福建泉州·期末）坐标法是解析几何中最基本的研究方法，坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.请利用坐标法解决以下问题： （1）在直角坐标平面内，已知，对任意，试判断的形状； （2）在平面内，已知中，，为的中点，交于，求证：. 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例2】（22-23高二·江苏·课后作业）根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)在x轴、y轴上的截距分别是3，； (2)过点，且在y轴上的截距为6； (3)过点，且在x轴上的截距为3. 1．（23-24高二上·四川成都·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边所在的直线方程； (2)求经过边的中点，且与边平行的直线的方程． 2．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知的三个顶点坐标分别为，，．求： (1)AB边中线所在的直线方程； (2)BC边的垂直平分线所在的直线方程． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（﹣4，0），C（0，6）． (1)求直线BC的一般式方程； (2)求AC边上的中线所在直线的一般式方程． 【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 1．（23-24高二·浙江杭州·假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 2．（23-24高二·全国·课后作业）求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为的直线的斜截式方程． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线．若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【经典例题四 由两条直线平行求方程】 【例4】（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求过，两点的一般式方程； (2)求过点且与直线：平行的直线. 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 2．（23-24高二上·河北·期中）已知直线经过直线：与直线：的交点． (1)若直线经过点，求直线在轴上的截距； (2)若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯． 3．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为， (1)求的一般式方程； (2)若直线经过点，且，求在轴上的截距. 【经典例题五 由两条直线垂直求方程】 【例5】（24-25高二上·江苏盐城·期中）三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 1．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 2．（23-24高二上·广东江门·期中）已知点， (1)直线的方程； (2)线段垂直平分线方程. 3．（24-25高二上·天津·开学考试）已知直线垂直于直线，直线与两坐标轴围成的三角形周长为5，求直线的方程. 【经典例题六 由斜率判断两条直线平行】 【例6】（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，，试判断直线与是否平行． 2．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)经过点，，经过点，． 【经典例题七 由斜率判断两条直线垂直】 【例7】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 1．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 3．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【经典例题八 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知点求： (1)求过两点的直线的斜率； (2)边上的高所在直线方程； 1．（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期中）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 3．（2024高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【经典例题九 三线能围成三角形的问题】 【例9】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 1．（22-23高二上·黑龙江牡丹江·期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 2．（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）若三条直线，，能围成三角形，求m的取值范围． 【经典例题十 求平面两点间的距离】 【例10】（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线． (1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点到直线的距离的最大值． 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）直线.求： (1)判断直线是否过定点，是则求出定点；不是则说明理由. (2)若，求直线被曲线：所截的线段长. 2．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）已知三角形ABC的顶点，，． (1)求BC边上中线的长； (2)求BC边上中线所在直线的方程． (3)过A引直线l，若l被两坐标轴截得的线段中点为A，求直线l的方程． 3．（22-23高二上·江苏淮安·期中）已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 【经典例题十一 由顶点坐标判断三角形的形状】 【例11】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 2．（22-23高二·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 3．（22-23高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线过点，与轴､轴的正半轴分别交于，两点，的面积为.点为线段上一动点，且交于点. (1)求直线斜率的大小； (2)在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【经典例题十二 光线反射问题(2)--直线关于直线对称】 【例12】（24-25高二上·全国·课前预习）已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点.求所在的直线方程. 2．（23-24高二·全国·课后作业）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被x轴反射，求入射点及反射光线所在直线的方程． 3．（23-24高二·全国·课后作业）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH的方程； (2)求三角形PQH的面积. 【经典例题十三 由距离求已知直线的平行线】 【例12】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 2．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线. (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程. 3．（22-23高二上·江西南昌·期中）已知直线，试求： (1)与直线的距离为的直线的方程； (2)点关于直线的对称点的坐标． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    3．（22-23高一下·河南郑州·期末）三角形三个顶点是，， (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 5．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 7．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知四边形是平行四边形，，，，且为线段的中点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若直线经过点，且，求的方程． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 9．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 10．（22-23高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 12．（22-23高二·江苏·假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．    13．（23-24高二·全国·课后作业）如图，点P为正方形内一点，且满足，用坐标法证明为等边三角形． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 15．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$