精品解析：云南省煤炭第一中学等学校2025～2026学年高三上学期期初考试数学试题

2025～2026学年上学期高三期初考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】找出与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】由圆的方程为可得圆心，半径， 若圆与函数相交，则圆心到直线的距离， 即， 若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部， 即，解得， 综上函数的图象与圆有四个公共点则， 所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果. 【详解】设数列的公比为， 由，，成等差数列可得，即， 因为，所以，解得或（舍）； 所以. 故选：A 4. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可 【详解】因为向量与向量夹角为，， 所以， 则在上的投影向量为 ， 故选：A. 5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得，即， 故选：C 6. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥补形为长方体，得长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此求得外接球半径即得体积. 【详解】，，且平面， 可将三棱锥补形为长方体，如图， 则长方体的体对角线即三棱锥的外接球的直径， 因 则三棱锥的外接球半径为. 故外接球体积为：. 故选：A 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】因为，所以， 由椭圆的定义得：，解得， 因为，所以， 两边同除以a得，解得 ， 因为 ，所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数a的取值范围． 【详解】令，则， 当时， ，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数； 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为 当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，因为， 当直线过点时，则，解得； 又，直线，所以此时函数与直线相切于点， 当直线过点时，则，且， 结合图象可得， 所以的取值范围是， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为5 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】依题设，利用复数的四则运算可逐一判断A，B；对于C，由设，计算化简后，借助于和角公式与三角函数的值域即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合计算即得. 【详解】对于A，设，则， 而，当时必定不成立，故A错误； 对于B，设且，由 ， 可得，解得，即，故B正确； 对于C，因，可设， 则， 则， 故当 时，取得最大值9，故的最大值为3，即C错误； 对于D，由可知，点的集合构成以点为圆心，半径为1和的两同心圆所夹的圆环， 其面积为，故D正确. 故选：BD. 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称中心 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简函数解析式，根据周期函数的定义判断A，根据对称性的定义判断BC，结合余弦函数单调性判断D. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以， 所以， 所以， 所以，其中， 所以， 所以函数为周期函数，A正确； 因为， 所以函数的图象关于点中心对称，B正确； 因为，， 即当时不成立， 所以的图象不关于直线对称，C错误； 因为函数在上单调递减，且 时，， 所以在上单调递增， 所以，在上单调递减， 即在区间上单调递减，D正确； 故选：ABD. 11. 若实数a，b满足，则下列表达式中有最小值的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先由题设条件求出两变量的取值范围，对于A，由二次函数性质即可分析得解；对于B，求出即可判断；对于C，判别式法可判断是否有最小值；对于D，利用导数求得的最大值后可判断其正误. 【详解】因为实数a，b满足，所以， 所以即. 对于A，， 所以有最大值，无最小值，A错误； 对于B，因为，所以，无最小值，B错误； 对于C， 设，则可化为， 故在上有解，故， 故，故， 当时，，故， 故C正确； 对于D，，令， 则，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故 故有最小值，D正确； 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，若第项满足，则等于__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用的关系求通项公式，再结合求参数值即可. 【详解】由题设， 当时，， 显然满足，则， 由，即，，则. 故答案为：8 13. 已知随机变量满足，则____________；____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据分布列，利用均值与方差计算公式计算即得. 【详解】由可得， 则，. 故答案为：；. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围. 【详解】 由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，. ∵且， ∴在、之间，如上图示，令， ∴，，则，， ∴， 即， ∴，故，得，又， ∴. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理得，再利用余弦定理得，从而得解； （2）由三角形内角和结合已知可得，化简可得：，再利用求解. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可知： 可化为： 故可得：，代入可得： 所以，故（*） 在中，由余弦定理可得： 代入数据和（*）式可得： 所以三角形面积为： 故三角形的面积为. 【小问2详解】 因为且，故，所以， 代入可得： 因此 化简可得：，则， 因为，所以， 所以， 所以可得：，化简可得： 在中，由正弦定理可得：； 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再结合点斜式方程即可求出切线方程； （2）根据函数单调性得出导函数大于等于0，再应用参数分离构造，最后应用导数得出函数最值即可得出范围. 【小问1详解】 当时，，，，， 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，， 所以，所以单调递增， ， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，的中点分别为． （1）求的长； （2）证明：平面平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，通过向量数量积证得，勾股定理求的长； （2）勾股定理证明，可证平面，得证平面平面； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 分别为的中点，由， 得 ， 所以， 则有，. 【小问2详解】 ，为的中点，则， 为 的中点，则，， ， 又，，则，得， 又，，平面， 则有平面，又平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，得，则. ，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，得，则. ， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 18. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）（i）证明：因为， 所以 所以. (ii)； 【解析】 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【小问1详解】 由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 【小问2详解】 (i)略 (ii) 由已知，， 又，， 所以 19. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点. （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点在直线上求解即可； （2）求出点的坐标，设，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合求解即可； （3）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和判别式得到，利用导数分别求出点和点处的切线方程，求出点，，的坐标，得到面积的表达式，令，则，利用导数判断函数的单调性，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题可知，所以，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，由题可知， 依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为. 由整理得， 则，， ，， 因为，所以， 所以，， 解得，所以直线的方程为； 【小问3详解】 设， 因为在轴的两侧，所以直线的斜率一定存在， 不妨设，直线的方程为， 由整理得， 则，， 由得. 设切线的斜率分别为， 又，所以，则，， 所以的方程为，即， 同理可得的方程为. 由解得即. 令，可得，， . 点到直线的距离为， 故的面积为，（当时，等号成立） 令，记，则， 令，则，所以在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 所以， 故面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于利用导数求出抛物线在点，处的切线，进而得到面积的表达式，关键点之二在于利用得到，再利用换元法转化为求函数的最小值，利用导数求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期高三期初考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆 的方程为，则“”是“函数的图象与圆 有四个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆 上，若离心率，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. 若，则的最大值为5 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 10. 设函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象有对称中心 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 11. 若实数a，b满足，则下列表达式中有最小值的是（ ）. A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，若第项满足，则等于__________． 13. 已知随机变量满足，则____________；____________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，， 的对边分别为，，，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，求. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求a的取值范围； 17. 如图，在三棱锥中，的中点分别为． （1）求的长； （2）证明：平面平面； （3）求平面和平面夹角的余弦值． 18. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点. （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $