精品解析：江苏省泰州市靖江外国语学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试卷

外国语2024-2025学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学3月份 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 经测算，一粒芝麻的质量约为，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 增加 6. 如图，在中，，分别平分，，且交于点，外角的平分线与的延长线交于点，若，则读数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 计算：_____ 8. 计算：_____ 9. 已知，则_____ 10. 若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则______． 11. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 12. 经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为________． 13. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____． 14. 如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则______°． 15. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 16. 如图1，已知直线，垂足为点，现有一个直角三角形，其中，现将这个三角形按如图1方式放置，使点落在直线上．将绕点逆时针旋转一周，如图2所示．当旋转一定角度_____时，会被直线或分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）． （2）． （3） （4）； 18. 用乘法公式计算： （1） （2）； 19. 解关于的方程： 20. 一个长方体的高是，它的底面是边长为的正方形．如果底面正方形的边长增加，那么它的体积增加多少？ 21. 化简求值：先化简，再求值：，其中 22. （1）通过计算，探索规律 可写成 可写成 可写成 可写成 …… 可写成________ 可写成_________ （2）说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 23. 已知计算的结果中不含项． （1）求的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 24. 如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 25. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 26. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形” ．例如：在△ABC中，∠A =70°，∠B =35°，则∠A与∠B 互为“开心角”，△ABC为“开心三角形” ． 【理解】 （1）若△ABC为开心三角形，∠A =144°，则这个三角形中最小的内角为 °； （2）若△ABC为开心三角形，∠A=70°，则这个三角形中最小的内角为 °； （3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由； 【应用】 如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E， CD平分△ABC 的外角∠BCF，延长 BA和DC交于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=，求的度数 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 外国语2024-2025学年度第二学期学业水平调研测试 七年级数学3月份 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 经测算，一粒芝麻的质量约为，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据所学的定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补,它是真命题； ②若，则的逆命题是：若，则，它是真命题； ③锐角与钝角互为补角的逆命题是：互补的角是锐角与钝角，它是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了命题与逆命题，正确把握相关性质是解题关键． 4. 下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，因此选项A符合题意； B．，能用完全平方公式计算，因此选项B不符合题意； C．，能用完全平方公式计算，因此选项C不符合题意； D．，能用完全平方公式计算，因此选项D不符合题意； 故选：A 5. 如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到，再由平角的定义即可求出．掌握平角的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在中，，分别平分，，且交于点，外角的平分线与的延长线交于点，若，则读数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．由角平分线的定义，可得，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵分别平分，，为外角的平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 计算：_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算：_____ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：8． 9. 已知，则_____ 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及同底数幂乘法运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：16． 10. 若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式可直接进行求解． 【详解】解：由可知：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 11. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 12. 经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：正五边形内角和为：， ∴， 故答案为： 13. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____． 【答案】a≤b 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．” 第一步应假设a≤b， 故答案为：a≤b． 【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键． 14. 如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则______°． 【答案】65 【解析】 【分析】延长，由平行线的性质可求出，再由折叠及平角的定义求出． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， ， ， ， 由图形折叠可知， ， ． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 15. 定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是___________． 【答案】两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 16. 如图1，已知直线，垂足为点，现有一个直角三角形，其中，现将这个三角形按如图1方式放置，使点落在直线上．将绕点逆时针旋转一周，如图2所示．当旋转一定角度_____时，会被直线或分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形发现，符合条件的旋转角度一共有8个，分别利用旋转的性质和三角形的内角和即可依次求出符合题意的相等的角和旋转角． 【详解】解：设旋转后的图形为， ①当时，如图1，由旋转得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由题意可知：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ③当时，如图3， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ④当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ∴； ⑤当时，如图5， ∵， ∴， ∴， ∴； ⑥当时，如图6， ∵， ∴， ∴， ∴； ⑦当时，如图7， ∵， ∴， ∴； ⑧当时，如图8， ∵， ∴， ∴． 综上所述，所有符合条件的旋转角度为． 故答案为：． 【点睛】本题是直角三角形的旋转变换问题，难度不大，但比较麻烦，容易丢解，要认真画图；明确对应线段的夹角就是旋转角，且旋转角都相等，本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，要熟练掌握． 三、解答题（共102分） 17. 计算： （1）． （2）． （3） （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行幂的乘方和同底数幂的运算，再进行合并即可； （2）根据同底数幂的乘除运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可； （4）先进行平方差公式的计算，再进行完全平方公式的计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式； 【小问4详解】 原式． 18. 用乘法公式计算： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用乘法公式进行简便运算； （1）把原式化为，再利用完全平方公式计算即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解关于的方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解方程，平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式，完全平方公式，去括号，移项，合并同类项，再根据解一元一次方程步骤求解，即可解题． 【详解】解： ． 20. 一个长方体的高是，它的底面是边长为的正方形．如果底面正方形的边长增加，那么它的体积增加多少？ 【答案】它的体积增加了． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式混合运算，解题的关键在于根据题意表示出原长方体体积和变化后长方体体积． 根据题意表示出原长方体体积和变化后长方体体积，再列式相减，即可解题． 【详解】解：由题知，原长方体体积为：； 如果底面正方形的边长增加， 则变化后长方体体积为：； ， 答：它的体积增加了． 21. 化简求值：先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 先根据平方差公式，单项式乘以多项式，完全平方公式计算，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. （1）通过计算，探索规律 可写成 可写成 可写成 可写成 …… 可写成________ 可写成_________ （2）说明任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】（1），； （2）设任意一个个位数是5的整数为（为整数）， 则， ， 任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【解析】 【分析】本题考查了数字变化的规律，完全平方公式，根据已知数据得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知数据总结出变化规律，即可解题； （2）任意一个个位数是5的整数都可以写成，再利用完全平方公式分析即可． 【详解】解：（1）可写成； 可写成； 故答案为：，； （2）略 23. 已知计算的结果中不含项． （1）求的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【小问1详解】 解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 当时，原式． 24. 如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 25. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[类比探究] ；[应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． [类比探究]由题意知，； [应用]解：（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； [拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】[类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 26. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形” ．例如：在△ABC中，∠A =70°，∠B =35°，则∠A与∠B 互为“开心角”，△ABC为“开心三角形” ． 【理解】 （1）若△ABC为开心三角形，∠A =144°，则这个三角形中最小的内角为 °； （2）若△ABC为开心三角形，∠A=70°，则这个三角形中最小的内角为 °； （3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由； 【应用】 如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E， CD平分△ABC 的外角∠BCF，延长 BA和DC交于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=，求的度数 ． 【答案】【理解】（1）12°；（2）35°或 （）°； （3）∠A45°，理由如下： 设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为 ． ∴这个开心三角形的第三个内角为 ． ∵∠A为最小内角， ∴① ． 解得，45°，即∠A45°； 【应用】或或 【解析】 【分析】理解：（1）根据开心三角形的概念求解即可； （2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可； （3）设∠A=x,∠A是开心△ABC中最小的内角，则与∠A互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可； 应用：分∠BAE 与∠ABE互为开心角和∠BAE 与∠AEB互为开心角两种情况讨论求解即可． 【详解】解：理解（1）∵△ABC为开心三角形，∠A =144°， ∴与互为开心角， 设最小的角为，则另一个角为， ∴ 解得， 即最小的角为 故答案为12°； （2）△ABC为开心三角形，∠A=70°， 设最小的角为， ①当最小的角与互为开心角时，则有： ， 解得， ∴最小的角为 ②当最小的角与另一个角互为开心角时，则有： 解得，， ∴最小的角为 故答案为：35°或 （）°； （3）略 【应用】∵AD平分△ABC的内角∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE=∠α， ∴∠PAC=180°-2∠α， 设∠PCA=x， ∵CD平分△ABC的外角∠BCF， ∴∠BCD=∠DCF=x， ∴∠ACB=180°-2x， ∵∠P=30°, ∴180°-2∠α+x=150°． ∴， ∴， ∴ ． 分两类情形： 第一类：∠BAE 与∠ABE互为开心角， 有,或 即或 解得，； 第二类：∠BAE 与∠AEB互为开心角， 有,或 即或 解得，或； 故或或． 【点睛】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理以及开心角和开心三角形的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $