专题6.4 数列求和 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题6.4 数列求和 1．特殊数列的求和公式 ⑴公式法 ①等差数列前项和公式：. ②等比数列前项和公式：. ⑵重要公式 ① ② ③ ④ ⑤等差数列中：； ⑥等比数列中：. 2．数列求和方法的选择 给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项能拆分成几个等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列两项的差，那么用裂项相消法；如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 1.【人教A版选择性必修二 4.2.2 练5 P23】一个等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为和，最后一项与第一项的差为，求此数列的首项、公差以及项数． 2.【人教A版选择性必修二 复习参考题4 第11题 P56】已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列， 证明：； 若，，求的前项和． 【方法储备】考点一 公式法求和 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 【典例精讲】 例1.(2025·江西省赣州市·期末考试)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，． 若，求； 若，且数列为递增数列，求数列的前项和． 例2.(2025·广东省佛山市·模拟题)对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”已知为“三和定值数列”，且，，． 求，，； 已知为数列的前项和，求． 【拓展提升】 练1-1(2025·安徽省·期中考试)已知是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列． 求数列通项公式； 设，求数列的前项和． 练1-2(2025·山东省·单元测试)已知数列的前项和为，且 求数列的通项公式 求数列的前项和． 考点二 分组(并项)法求和 【方法储备】 分组转化法求和的常见类型: 1.若，且为等差或等比数列，或者可用其他常见方法求和的数列，分别求和后相加. 2.通项公式为的数列，分奇偶项求和, 要注意处理好奇偶数列对应的项. 3.正负相间求和：在一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． ⑴奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”. ⑵如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇；求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项. 【典例精讲】  例3.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列． 求数列的通项公式； 设数列满足，求数列的前项和 例4.(2025·福建省·联考题)已知等差数列满足，的前项和为． 求的通项公式； 若，求数列的前项和． 例5.(2025·吉林省松原市·模拟题)已知数列满足，，为数列的前项和． 求证：数列是等比数列 求数列的通项公式 求数列的前项和． 【拓展提升】 练2-1(2025·广东省·期末考试)数列满足，． 求数列通项公式； 设，求数列的前项和． 练2-2(2025·湖北省黄石市·月考试卷)在数列中，，且 求的通项公式 令，求数列的前项和． 练2-3(2025·湖南省长沙市·模拟题) 已知数列满足， 求证：数列是等比数列 设，求数列的前项和． 【方法储备】考点三 错位相减法求和 错位相减法求和的策略： 1.如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 前项和时，可采用错位相减法. 设等比数列的公比为, 等差数列的公差为： ① ② ①-②得, 整理求得. 注意： ⑴在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式． ⑵在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分为公比等于1和不等于1两种情况求解． ⑶在转化为等比数列求和后，需看准项数，不一定为项. 【典例精讲】 例6.(2025·四川省绵阳市·期末考试)已知数列中，， 证明数列是等差数列，并求的通项公式 设，求的前项和． 【拓展提升】 练3-1(2025·天津市·期末考试)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推则对折次共可以得到不同规格图形的种数为          ；如果对折次，那么          ． 练3-2(2025·广东省·单元测试)设数列的前项和为，且，数列满足，点在上， 求数列，的通项公式； 设，求数列的前项和． 考点四 裂项相消法求和 【方法储备】 常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 1.等差型 ⑴若为等差数列，为公差，则，即分母为同一个等差数列中的两项相乘即可裂项；如：； ； 扩展： ⑴；⑵ ； 2.指数型： 如： 拓展：差指综合类型 ； ⑵； ⑶ 3.无理型： 如： 拓展：⑴； ⑵ 4.对数型 由对数的运算法则可知：若,则， 如： 【典例精讲】 例7.(2025·广东省清远市·模拟题)已知数列中，，数列是等比数列，且公比． 求数列的通项公式； 设，记数列的前项和为，求． 例8.(2025·河南省·月考试卷)已知等差数列的前项和为，且满足，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 例9.(2025·河南省·联考题)已知数列的前项和为，，，． 求的通项公式； 若，且，求数列的通项公式； 在的条件下，若，求的前项和． 【拓展提升】 练4-1(2025·江西省南昌市·期中考试)（多选）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是(    ) A. B. 既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得成立 练4-2(2025·江西省·联考题)在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． 求． 已知数列为等比数列，． (ⅰ)求的通项公式； (ⅱ)若，证明： 考点五 倒序相加法求和 【方法储备】 倒序相加法： 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注意： 倒序相加法即采取把正着写与倒着写的两个式子相加,然后求和的方法,实质是“不相同的数求和”化归为“相同的数求和”.常适用于“下标和相等时该两项和为定值”这种典型规律的数列,倒序相加思想的应用不局限于等差数列的范围内,它的应用范围可以扩大到函数,组合数（利用性质）,三角函数等. 【典例精讲】 例10.(2025·四川省乐山市·月考试卷)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练5-1(2025·安徽省滁州市·期中考试)已知数列满足，则数列的前项和          ． 练5-2(2025·浙江省·同步练习)已知各项为正数的数列的首项是，满足：，数列的前项和是． 判断数列单调性，并说明理由 求数列的通项公式 表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 考点六 放缩法求和 【方法储备】 1.裂项放缩是使用放缩法解题的常用技巧,即通过裂项的方式来达到放缩求解的目的.考虑到数式的结构较为复杂,因此在实际解题时一般需要调用常见不等式,利用公式模型来提高解题效率.常见形式有： ①；②； ③；④.； ⑤. ⑹； ⑺. 2.等比放缩 当数列的通项公式与等比数列通项公式相似，可将数列的通项放缩为等比数列的通项公式，再求和.常见形式有： ⑴； ⑵. 补充：数列与不等式问题中，还有先求和再放缩的情况，即先利用数列求和的方法求出数列的和，然后利用添减项的方法放缩. 【典例精讲】 例11.(2025·安徽省安庆市·期中考试)已知数列的前项和为，若，且满足． 求数列的通项公式 证明：． 例12.(2025·浙江省温州市·月考试卷)已知数列满足，． 求证：数列为等差数列 设数列前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围． 【拓展提升】 练6-1(2025·河北省·期末考试)已知数列满足，． 证明：是等比数列，并求的通项公式； 证明：． 练6-2(2025·湖南省·月考试卷)在数列，中，，，且，． 求，的值； 求的通项公式； 设，记的前项和为，证明：． 1.(2025·广东省广州市·期末考试)已知数列的前项和为，，且 求，及数列的通项公式 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． 设，求 若都有不等式成立，求的取值范围． 2.(2025·吉林省辽源市·期末考试)已知数列的前项和为，且，． 求的通项公式； 若，求数列的前项和； 若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 3.(2025·安徽省芜湖市·期中考试)汉诺塔游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆编号，在杆自下而上由大到小按顺序放置若干个金盘如下图游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于任一杆上记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为． 求，，； 写出与的关系，并求出． 求证： 【答案解析】 1.【人教A版选择性必修二 4.2.2 练5 P23】 解：方法一：设此数列的首项为，公差为，项数为 根据题意，得即 解得 由，可得． 此数列的首项为，公差为，项数为． 方法二：设此数列的首项为，公差为，项数为 由题意，得即 解得 此数列的首项为，公差为，项数为． 2.【人教A版选择性必修二 复习参考题4 第11题 P56】 解：因为数列是等差数列，则为常数，， 所以为常数，，即为常数，， 令，则为首项为，公比为的等比数列，此时． 因为数列是等比数列，则， 故，即， 化简得，因为，解得，所以，即． ，， ， ． 例1. 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，， 可得： 解得，或，舍去， 则的通项公式为，则； 由，，可得：， 解得或， 由于数列为递增数列，所以， 当时，由，得舍； 当时，由，得， 则． 例2.解：因为，，， 所以， 所以，解得， 又，解得， 又，解得， 所以，，； 因为， 设，则有， 所以，则， 又因为， 所以， 即， 又， ， ， ， ， 所以， 所以， 所以． 练1-1. 解：设等差数列的公差为， 由题意得，解得或， 因为，所以； 由得，， 所以．  练1-2． 解：当时，， 当时，，满足上式． 综上，． 令，得，解得令，得，解得． 当，时， 当时， ． 综上所述，  例3. 解：设的公比为， 因为，且，，成等差数列， 所以，即 解得， 所以； 由， ．  例4.解：设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故． ， 故 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故．  例5.解：证明：对， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减得， 即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． 由得的通项公式为， 得，所以． 由知， 所以 ． 练2-1．解：数列中，，，显然，则， 数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列通项公式是． 由知，， 当时，，， 当时，， 所以． 练2-2．解：因为，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 故，即． 由得，则 当，时， 当，时， ． 综上所述，  练2-3．解：证明：依题意，由， 可得，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． 由知，， ， 构造数列令，则， 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得： ． ， ． ．  例6. 证明：当时， ， ， 又，， 故是以为首项，为公差的等差数列， ， ． 解：， ， 令， 则， 得：， ， ． 练3-1．解：易知有，，共种规格； 由题可知，对折次共有种规格，且每个面积为，故， 则， 记，则， ， ， ． 故答案为：；． 练3-2．解：由可得， 两式相减得，， 又，所以． 故是首项为，公比为的等比数列． 所以， 由点在直线上，所以， 则数列是首项为，公差为的等差数列． 则． 因为，所以， 则， 两式相减得：， ， 所以． 例7. 解：由题意知，， 所以等比数列的首项为，公比为， 故， 所以； 由得， 故 ． 例8. 解：设等差数列的公差为， 由，， 可得 整理得，解得 则数列的通项公式； ， 所以 ． 故数列的前项和． 例9. 解：由，得， 以上两式相减，得，即， 因为，所以， 所以，，，，，是公差为的等差数列， 从而， 由，解得， 所以，，，，，是公差为的等差数列，从而， 所以； 由得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以数列为常数列，且， 所以； 由知， 所以， 所以 ．  练4-1.解：三角形数构成数列：，，，，， 则有，利用累加法，得， 得到，时上式也成立，所以，． 正方形数构成数列：，，，，， 即，，，，可知． 对于，， ，故A错误； 对于，令，解得负值舍去， 令，解得负值舍去；故B正确； 对于，， 则， 整理得，，故C正确； 对于，因为，即，， 所以，可取，，此时，且成立，故D正确． 故选BCD． 练4-2．解：因为是和的等差中项，所以，即， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到， 由知． 数列的前项为，又由知， 由题知，即， 又由可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，得到． (ⅱ)证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 例10.解：令， ， 两式相加得： ， ，故选：． 练5-1．解：因为，， 所以， 又， 所以， 所以，则． 故答案为：． 练5-2.解：数列是严格减函数，理由如下： 由数列各项为正数，，即，即， 所以数列是严格减函数． 把变为， 平方得， 即， 所以是公差为的等差数列，首项， ，即， 即， 又， 所以． 由得，则，即， 设， 即， 倒序得， 按上述倒序且“错位对齐”的方法相加，， 依次下去，上下两行对应项之和都是，把上述的两行对应项相加， 得，于是， 即．  例11. 解：依题意，可知， 当时， 由，可知， 由， 可得 两式相减可知， ，即， 因此时，， 即； 证明：由可知，，当时， ， ，符合题意，因此， 所以 ． 例12.证明：因为， 所以，即， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 解：由可知，所以， 所以， 因为为递增的数列，所以， 因为对任意的恒成立， 所以，即的取值范围为．  练6-1．证明：由， 得，所以， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，因此的通项公式为 由知：，所以， 因为当时，， 于是， 所以． 练6-2．解：数列，中，，且，， 当时，，所以． 根据，解得． 所以，． 由于， 故得：， 故常数， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 所以． 证明：， 所以 ． 由的每一项都为正数， 所以， 故．  1. 解：由，， 当时，可得， 两式作差得，故， 又，也满足， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； 由题意可得， ，则， 所以， 则， 两式作差得 ， 因此，； 因为，， 所以，， 记，则， 设数列在第项取得最大值， 则满足 解得，即得， 所以数列的最大值为， 所以，即的取值范围是  2.解：由，得：， 又，得， 当时，又， 两式作差得：，即， 又，则， 可得是以为首项，为公比的等比数列， ． 由，且， 得， 2n ． ，，则，， 两式相减得： ， ， 由，得：，则， 令，则， 可得数列是递增数列， 又，， 不存在正整数，使得， 即不存在正整数，使得成立．  3. 解：当时，金盘从杆移到杆需要的最少移动次数为次，即； 当时，将第一层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，将第二层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，再将已移动到杆上的金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，所以； 当时，将第一层、第二层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，将第三层自上而下金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，再将已移动到杆上的金盘从杆移到杆需要的最少次数为次，所以； 同理可得． 依此类推：  即  ， 由于  ，所以  ， 所以  ． 即数列  是以为首项，为公比的等比数列， 所以  ，即  ． 证明：记， 由知数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以 所以， 所以．  学科网（北京）股份有限公司 $$