专题6.2 等差数列 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题6.2 等差数列 1．等差数列的概念 ⑴等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 用递推公式表示为或. ⑵等差中项：如果组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义可知 . ⑶等差数列的通项公式及其变形： ① 等差数列中， 则， 当时，也成立，故； ② ，两式相减可得 2.等差数列与一次函数的关系 由通项公式变形可得：， ⑴当时，等差数列为常数列； ⑵当时，等差数列的图象即为一次函数图象上，均匀排开的一系列的点； ①当时，等差数列为递增数列； ②当时，等差数列为递减数列； 3．等差数列的前项和 ⑴倒序相加法求等差数列的前和： ① ② ①+②得： 故 ⑵变形：将代入上式 ⑶与二次函数的关系： ⑴当时，； ⑵当时，，关于的式子可看作二次函数. 即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点，且时图象开口向上，时图象开口向下. 4.等差数列的性质 1.等差数列的常用性质： ⑴等差数列中，若公差为，则，当时，； ⑵在等差数列中，若且，则； ⑶在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项，即； ⑷数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项，组成的数列仍是等差数列，公差为. ⑸在等差数列中，若，则； ⑹两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列； ⑺如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.等差数列的前和的性质 ⑴等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列； ⑵为等差数列，公差为数列公差的一半； ⑶设数列是等差数列，且公差为， I.若项数为偶数，设共有项，则①； ②； II.若项数为奇数，设共有项，则① (中间项)；②. ⑷若与为等差数列，且前项和分别为与，则. ⑸等差数列中，，则. ⑹等差数列中，若，则． 1.已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为. 2.在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值. 1. 【人教A版选择性必修二 习题4.2 第6题 P25】已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项． 求数列和的通项公式； 设，求数列的前项和． 2.【人教A版选择性必修二 习题4.2 第7题 P25】已知两个等差数列：，，，与：，，，，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式          ；若数列和的项数均为，则的项数是          ． 考点一 等差数列中的基本量运算 【典例精讲】 例1.(2025·内蒙古自治区·期中考试)记为等差数列的前项和．若，，则(    ) A. B. C. D. 例2.(2025·云南省大理白族自治州·月考试卷)已知等差数列，，其前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： 1.等差数列的通项公式和前项和公式中涉及5个量：，知三求二，即利用公式列出基本量和的方程组，解出和，体现了用方程的思想来解决问题. 2.若已知条件只有一个，则将已知条件与所求条件都用两个基本量表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 3.运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若且，则，常与求和公式结合使用． 4.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为,方便运算. 【拓展提升】 练1-1(2025·河南省·单元测试)设为等差数列的前项和，，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2(2025·全国·同步练习)在等差数列中： 已知，，求； 已知，求． 考点二 等差数列的判定与证明 【典例精讲】  例3.(2025·江苏省·单元测试)若数列的前项和为，则“”是“数列为等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例4. (2025·江苏省南通市·模拟题)记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． 证明：数列是等差数列； 求的通项公式． 【方法储备】 等差数列的判定与证明方法： 1.定义法：证明对任意正整数都有． 2.等差中项法：证明对任意正整数都有. 说明：⑴定义法与等差中项法，用于在解答题中的证明等差数列； ⑵证明等差数列时，注意的式子中，的取值范围，若取不到1，需验证成立. 3.通项公式：(为常数)为等差数列． 4.前项和公式法： (为常数)⇔ 数列是等差数列. 说明：⑴通项公式法与前项和法，用于选择、填空题中的判断问题； ⑵若判断一个数列不是等差数列，只需用前几项，验证即可． 【拓展提升】 练2-1(2025·河北省承德市·月考试卷)在数列中，，，且，则          ． 练2-2(2025·河南省鹤壁市·月考试卷)若数列每相邻项满足，且，则称其为调和数列． 若数列为调和数列，证明数列是等差数列； 调和数列数列中，，求数列的前项和． 考点三 等差数列的性质及应用 【典例精讲】 例5.(2025·山东省淄博市·月考试卷)在等差数列中，若，则(    ) A. B. C. D. 例6.(2025·吉林省白城市·模拟题)已知等差数列的前项和为，且，则(    ) A. B. C. D. 例7.(2025·山东省滨州市·期末考试)按照全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定，我国自年月日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原周岁延迟到周岁对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每个月延迟个月，当不满个月时仍按延迟个月计算男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 年 月至月 年 月至月 年 月至月 年 月至月 改革后法定 退休年龄 岁个月 岁个月 岁个月 岁个月 那么年月出生的男职工退休年龄为(    ) A. 岁个月 B. 岁 C. 岁个月 D. 岁个月 【方法储备】 1.等差数列的性质应用： ⑴应用性质解题时，要注意性质成立的条件； ⑵要灵活运用等差数列的通项公式和前n项和公式： ，，等． 2．求等差数列前项和的最值： ⑴通项法： ①当，时，有最大值；令，确定的值； 若，则和都为最大值； ②当，时，有最小值；令，确定的值； 若，则和都为最小值； ⑵二次函数法：为二次函数，借助和二次函数的性质，确定的值及的最值； ⑶不等式组法：令，确定的值及的最大值；令，确定的值及的最小值. 3.与等差数列单调性有关的问题 ⑴在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列恒成立”． ⑵数列的单调性与的单调性不完全一致． 4.对于含绝对值的数列求和问题 已知等差数列，，求数列的前项和： ⑴首先找出零值或者符号由正变负的项； ⑵在对进行讨论，当时，，当时，. 5.等差数列的实际应用 ⑴与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． ⑵遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题． 【拓展提升】 练3-1(2025·陕西省渭南市·期末考试)设等差数列，的前项和分别为，，且，则           ． 练3-2(2025·云南省·单元测试)周髀算经是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂若个人的年龄都为整数依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过岁，则年龄最大者为          岁 练3-3(2025·河南省·月考试卷)根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和单位：辆，其中，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差． 求该地区第个月底的共享单车的保有量； 已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量单位：辆设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 1.(2025·福建省福州市·期末考试)已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是(    ) A. B. C. D. 2.(2025·浙江省·同步练习)如图，点列，分别在某锐角的两边上，且，，，，，，表示点与不重合若，为的面积，则(    ) A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 3.(2025·湖北省武汉市·模拟题)已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项． 证明：数列是等差数列 设，求数列的前项和． 【答案解析】 教材改编1【人教A版选择性必修二 习题4.2 第6题 P25】 解：解：设为数列的公差，为数列的公比， 由题意得，即，解得或， 数列各项均为正，所以，即， ． ，则，解得， ； 由得：， 所以 ， 所以．  教材改编2【人教A版选择性必修二 习题4.2 第7题 P25】 解：由于数列是以为公差的等差数列，数列是以为公差的等差数列， 所以也是等差数列，且公差为， 又，故， 又，， 所以由解得， 故的项数为． 故答案为：；． 例1 解：为等差数列的前项和，，， 设公差为， ， 可得， ． 故选：． 例2 解：设等差数列的公差为，则， 所以， ， 所以，则． 故选：． 练1-1 解：设为等差数列的前项和， 由， 知：， ， 所以． 所以． 故答案选：． 练1-2 解：设等差数列的公差为． ，， 解得 ； ， ， ． 例3 解：数列前项和， 若，则， 当时，， 时，， 当时，也适合上式， 故，则常数， 故数列是等差数列， 由数列是等差数列， ， 即常数项为，即． 数列前项和，是数列是等差数列的充要条件． 故答案为：． 例4 解：证明：当时，， 由，解得， 当时，，代入， 消去，可得，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． 由题意，得， 由，可得， 由，可得， 当时，，显然不满足该式， 所以． 练2-1 解：，，，    数列为等差数列， ，首项， 设数列的公差为， 则，， ，    ，  故答案为：． 练2-2 解：若为调和数列，则，且， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以数列是等差数列． 由可得：是等差数列，且，公差为， 所以通项公式为，解得； 故， 所以前项和为. 例5 解：由等差数列的性质可知，， 所以，解得， 所以． 故选D． 例6 解：因为， 所以， 可得． 故选：． 例7 解：设月出生的男职工退休年龄为， 则年月出生的男职工退休年龄为岁， 则年月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 年月出生的男职工退休年龄为． 那么年月出生的男职工退休年龄为岁个月． 故选：． 练3-1 解：等差数列  ，  的前项和分别为  ，  ， 所以  ． 故答案为：  练3-2 解：由题知，一遂， 个人的年龄都为整数从小到大依次成等差数列， 设该等差数列为，其公差为，前项和为， ，即， ，， ，且， 当时，， 当时，，此时． 故答案为：． 练3-3 解：前个月共投放单车为， 前个月共损失单车为， 该地区第个月底的共享单车的保有量为． 令，显然时恒成立， 当时，有，解得， 第个月底，保有量达到最大． 当，为公差为等差数列，而为公差为的等差数列， 到第个月底，单车保有量为 ． ． ， 第个月底单车保有量超过了容纳量．   练1 解：存在，使得、、成等差数列， 可得：， 即 ， 化为． 使得，，成等差数列的必要条件是． 故选A． 练2 解：设锐角的顶点为，，， ，， 由于，不确定，则不一定是等差数列， 不一定是等差数列， 设的底边上的高为， 由三角形的相似可得， ， 两式相加可得，， 即有， 由，可得， 即为， 则数列为等差数列． 另解：可设，，，为直角三角形， 且，，，为直角边， 即有， 由，可得， 即为， 则数列为等差数列． 故选：． 练3 解：证明：由题意，得，即． 因为的各项均为正数， 所以一定为递增数列，从而， 所以，即， 所以是首项为，公差为的等差数列； 由，得，亦即， 从而， 所以， 从而，又， 所以， 所以的通项公式为， ， 所以当为奇数时， ， 所以 ．  学科网（北京）股份有限公司 $$