精品解析：安徽省安庆市宜秀区安庆九一六学校2024-2025学年下学期4月份八年级数学素养展

安庆九一六学校2024-2025学年度第二学期4月份素养展示 初二数学素养展示 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】．是二次根式的有，，，共3个， 故选：B． 2. 若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：∵即化简后为最简二次根式，其被开方数为3． 又∵最简二次根式与可以合并，而可合并的二次根式需满足被开方数相同， 的被开方数与的被开方数相同，即． 故选：B． 3. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， （x﹣1）2＝4， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 5. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理可得：， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分的面积=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，读懂图形信息、灵活应用勾股定理是解题的关键． 6. 如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ） A. 增大 B. 增大 C. 增大 D. 增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和外角，平行四边形的判定和性质，求得图1中的度数，连接图2中，证明四边形是平行四边形，可得是等边三角形，即可求得图2中的度数，进行比较即可，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接图2中， ， ， 根据图1中为正五边形，可得， 四边形是平行四边形， ，， 根据图1中为正五边形，可得， 是等边三角形， ， ， ， 在图1中正五边形每个内角都相等， 在图1中， ， 的度数增大了． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，运用勾股定理得到，运用勾股定理求得即可． 【详解】∵平行四边形，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，不等式的性质，平面直角坐标系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，再由不等式的性质分别判断P的横纵坐标的正负，即可判断所处象限． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴，， ∴所在象限是第四象限， 故选：D． 9. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 10. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得，AD=BC，又因为AE平分，可得，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则，所以△ABC≌△EAD，即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD=BC， ∴， 又∵AE平分， ∴， ∴， ∴AB=BE， ∵AB=AE， ∴△ABE是等边三角形，故②正确； ∴， ∵AB=AE，BC=AD， ∴△ABC≌△EAD，故①正确； 若AD与AF相等， 即， 即EC=CD=BE， 即BC=2CD， 题中未限定这一条件， ∴③④不一定正确； 故正确的是①②正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质应用，解题的关键是准确分析每一项． 二．填空题（共4小题，每题5分，共40分） 11. 代数式有意义，则x满足的条件是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键． 根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得：且． 故答案为：且． 12. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 13. 若实数满足 ，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键．设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，然后确定的值． 【详解】解：设，则， ，即， 解得：， ， ． 故答案为：1． 14. 在中，，平分交于点D，若、，则点D到斜边的距离为________，________． 【答案】 ①. 2 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理等内容，掌握这两个知识点，得到是关键；过点D作于E，由角平分线的性质定理得，即可求得点D到斜边的距离为；利用，得，而，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵平分，， ∴， 即点D到斜边的距离为2； ∵， 即， ∴； ∵，， ∴由勾股定理得：， 即， 整理得：； 故答案为：2；20． 三．解答题（共9小题，共90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据二次根式的乘法、除法法则和绝对值的意义计算，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解此题的关键． （1）利用公式法计算即可得解； （2）利用因式分解法计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴或 ∴，． 17. 如图，的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝4，AB＝3，OF＝2，求四边形CDFE的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， 在△OAF和△OCE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE； （2）四边形CDFE的周长为11 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵△AOF≌△COE， ∴AF＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵BC＝4，AB＝3，OE＝OF＝2， ∴四边形CDFE的周长＝EF+DF+CE+CD ＝2OE+DF+AF+CD ＝2OE+AD+CD ＝4+4+3 ＝11． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 18. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）不能成功，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； 【小问2详解】 不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 19. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简： ， ； （2）若，，求的值； （3）根据以上规律计算下列式子的值．． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简、，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，， ，， ． 【小问3详解】 解：∵ ∴原式 20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 证明：∵是直角三角形，为斜边， ∴，则 而， ∴一元二次方程有两个相等的实数根； （3）， 【解析】 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）由勾股定理得，则而，代入即可证明； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义，等边三角形的性质，勾股定理等知识． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD． （1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． ②若AD＝EC，求的值． 【答案】（1）31°； （2）①是， 由勾股定理得，AB＝＝， ∴AD＝﹣a， 解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝﹣a， ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根； ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B＝62°， ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝59°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°； （2）①略． ②∵AD＝AE， ∴AE＝EC＝， 由勾股定理得，a2+b2＝（b+a）2， 整理得，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理以及一元二次方程，利用勾股定理列出等式是本题的关键. 22. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 23. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知是方程的两根，则 ， ． （2）设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． （3）关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 【答案】（1），2 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数、完全平方公式的应用和一元二次方程根的分布情况，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据给定的算法代入即可求得； （2）先根据给定根与系数关系找到对应的关系，再将①；②代入求解即可； （3）根据题意列出和，求得，结合有两个根得，解得，当时，求得；当时，求得，找到满足要求得即可． 【小问1详解】 解：是方程的两根， 则，， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：是方程的两个根， 则，， ①； ②； 【小问3详解】 ∵方程的两实数根， ∴， ， ， ， 解得，， 当时，，即，解得，； 当时，，即，解得，， ∵， ∴方程无实根 ∴k的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆九一六学校2024-2025学年度第二学期4月份素养展示 初二数学素养展示 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 10 3. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2=4 C. （x﹣1）2＝16 D. （x+1）2＝16 4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ） A. 增大 B. 增大 C. 增大 D. 增大 7. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. 6 D. 10. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共4小题，每题5分，共40分） 11. 代数式有意义，则x满足的条件是______． 12. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 13. 若实数满足 ，则的值为____． 14. 在中，，平分交于点D，若、，则点D到斜边的距离为________，________． 三．解答题（共9小题，共90分） 15. 计算：． 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若BC＝4，AB＝3，OF＝2，求四边形CDFE的周长． 18. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 19. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． （1）化简： ， ； （2）若，，求的值； （3）根据以上规律计算下列式子的值．． 20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD． （1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． ②若AD＝EC，求的值． 22. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 23. 对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知是方程的两根，则 ， ． （2）设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． （3）关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $