第13讲：导数的概念及其几何意义+导数运算【12个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第13讲：导数的概念及其几何意义+导数运算】 总览 题型梳理 一．平均变化率（共3小题） 二．瞬时变化率（共3小题） 三．变化率的极限与导数的概念（共4小题） 四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共5小题） 五．导数与切线的斜率（共5小题） 六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4小题） 七．基本初等函数的导数（共4小题） 八．导数的加法与减法法则（共3小题） 九．导数的乘法与除法法则（共3小题） 十．简单复合函数的导数（共8小题） 十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7小题） 十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5小题） 【知识点清单】 1平均变化率 【知识点的认识】 平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2．瞬时变化率 【知识点的认识】 1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率． 【解题方法点拨】 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限： 3．变化率的极限与导数的概念 【知识点的认识】 导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 4．含Δx表达式的极限计算与导数的关系 【知识点的认识】 导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 5．导数与切线的斜率 【知识点的认识】 导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 （1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）． （2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． 6.函数图象趋势与导数大小的关系 【知识点的认识】 导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行． 7．基本初等函数的导数 【知识点的认识】 1、基本函数的导函数 ①C′＝0（C为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R） ③（sinx）′＝cosx ④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex ⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′． 2、和差积商的导数 ①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x） ③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x） ④[]′． 3、复合函数的导数 设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x） 【解题方法点拨】 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数． 2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．平均变化率（共3小题） 1．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx 2．若，则等于（　　） A．2k B．k C． D．以上都不是 3．函数f（x）＝3x2﹣1在区间[0，1]上的平均变化率是 　 　 ． 二．瞬时变化率（共3小题） 4．某物体的运动路程s（单位：m），时间t（单位：s）之间的关系S（t）＝t2+t，求在t＝2s时的瞬时速度（　　） A．4m/s B．5m/s C．6m/s D．8m/s 5．已知函数f（x）＝x2，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 6．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为 　 　 cm/s． 三．变化率的极限与导数的概念（共4小题） 7．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　） A．﹣2025 B．0 C．1 D．2025 8．若，则f′（2）＝（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 9．已知，，则sinx0＝（　　） A． B． C．1 D．0 10．已知，，则sinx0＝（　　） A． B． C． D． 四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共5小题） 11．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　） A．﹣1 B． C．1 D． 12．已知的值是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣2 13．已知函数f（x）＝2lnx+x，则（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 14．设，对于（　　） A． B．2m+4 C．2m+1 D．4m+2 15．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则的值为（　　） A．2 B．4 C．0 D．﹣4 五．导数与切线的斜率（共5小题） 16．曲线y＝eax+x在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0垂直，则a＝（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 17．曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3的公共切线的斜率为（　　） A．1 B．3 C．ln3 D．e 18．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 19．函数f（x）＝ex+ax在x＝0处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0平行，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 20．若曲线y＝x2﹣lnx在x＝1处的切线的斜率为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4小题） 21．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 22．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则函数y＝f（x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 23．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 24．函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（　　） A．f（x）在（1，3）上单调递增 B．f（x）在（1，3）上单调递减 C．f（x）在（2，4）上单调递减 D．f（x）在（3，+∞）上单调递增 七．基本初等函数的导数（共4小题） 25．下列计算正确的是（　　） A．（2x）′＝x•2x﹣1 B． C．（e2x）′＝2e2x D． 26．已知函数f（x）＝elnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为（　　） A．0 B．1 C．e D． 27．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（　　） A．e+2 B．e﹣4 C．e﹣7 D．e﹣8 28．下列求导运算正确的是（　　） A． B．（1+ex）′＝1+ex C． D．（2ex）′＝2ex 八．导数的加法与减法法则（共3小题） 29．已知函数f（x）＝ex+2f'（0）sinx，则f′（0）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 30．下列运算正确的是（　　） A．（x3+cosx）′＝3x2+sinx B．若函数f（x）满足f′（2）＝2，则 C．[ln（2x+1）]′ D． （多选）31．下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 九．导数的乘法与除法法则（共3小题） 32．若函数，则导函数f′（x）＝（　　） A． B． C． D． 33．函数y的导数为（　　） A．y′ B．y′ C．y′ D．y′ 34．下列求导数计算错误的是（　　） A．（）′ B． C．（xlnx）'＝1+lnx D．（tanx）′ 十．简单复合函数的导数（共8小题） 35．下列求导运算正确的是（　　） A．（cos1）′＝﹣sin1 B．（2x）′＝2x C． D． 36．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3） 37．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　） A．8 B．1 C．0 D．﹣8 38．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　） A． B． C． D． 39．下列四个求导运算中运算结果错误的是（　　） A． B．（x2ex）′＝2xex C． D． 40．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0，当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣4，则（　　） A．﹣2 B． C．﹣4 D． 41．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为f′（x），则f′（2025）等于（　　） A． B．0 C． D．1 42．已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则f'（1）＝（　　） A． B． C． D． 十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7小题） 43．曲线f（x）＝（x+1）e2x在x＝0处的切线方程为（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x+2 C．y＝2x+2 D．y＝3x﹣2 44．从点A（1，a）可向曲线y＝x﹣x3引三条不同切线，则a的取值范围为（　　） A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．2＜a＜3 45．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣5＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x+y+5＝0 46．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ax在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+2）2+y2＝1相切，则a的值为（　　） A．1或 B．或﹣2 C．1或 D．2或 47．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x 48．若直线l同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a的切线，则l斜率的最小值为（　　） A．1 B．2 C．e D．2e 49．已知函数f（x）＝2x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　） A．2x﹣y﹣2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x+y+2＝0 十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5小题） 50．曲线y＝e2ax+1在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，则a等于（　　） A． B． C． D． 51．若过点（a，b）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则（　　） A．eb＜a B．lna＜b C．ea＜b D．lnb＜a 52．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则的取值范围是（　　） A．[2，e） B．（e，4] C．[4，+∞） D．[e，+∞） 53．已知曲线在点（0，f（0））处的切线方程为，则ωφ＝ 　 　 ． 54．已知直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣3与g（x）＝ex+2022﹣2022的公切线，则k＝ 　 　 ． 课后针对训练 一、单选题 1．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 2．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 4．设，对于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 6．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 8．曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．0 9．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．（多选）已知过点的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线相切，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 13．已知函数的导函数为，且，则 ． 14．已知曲线在点处的切线方程为，且过点的直线与直线垂直，则的方程为 ． 15．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为 ． 16．曲线在点处的切线方程为，则的值为 . 17．若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 ． 18．过曲线C：上一点P作C的切线交x轴于点Q，已知，则切线PQ的方程为 ． 四、解答题 19．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，求. 20．求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第13讲：导数的概念及其几何意义+导数运算】 总览 题型梳理 一．平均变化率（共3小题） 二．瞬时变化率（共3小题） 三．变化率的极限与导数的概念（共4小题） 四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共5小题） 五．导数与切线的斜率（共5小题） 六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4小题） 七．基本初等函数的导数（共4小题） 八．导数的加法与减法法则（共3小题） 九．导数的乘法与除法法则（共3小题） 十．简单复合函数的导数（共8小题） 十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7小题） 十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5小题） 【知识点清单】 1平均变化率 【知识点的认识】 平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2．瞬时变化率 【知识点的认识】 1、平均变化率： 我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即． 2、瞬时变化率： 变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率． 【解题方法点拨】 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限： 3．变化率的极限与导数的概念 【知识点的认识】 导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 4．含Δx表达式的极限计算与导数的关系 【知识点的认识】 导数的概念： 函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即 f′（x0） 【解题方法点拨】 导函数的特点： ①导数的定义可变形为：f′（x）； ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数； ④并不是所有函数都有导函数． ⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值． ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）． 5．导数与切线的斜率 【知识点的认识】 导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 （1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）． （2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直． 6.函数图象趋势与导数大小的关系 【知识点的认识】 导数的几何意义 函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）． 【解题方法点拨】 f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行． 7．基本初等函数的导数 【知识点的认识】 1、基本函数的导函数 ①C′＝0（C为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R） ③（sinx）′＝cosx ④（cosx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex ⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′． 2、和差积商的导数 ①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x） ③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x） ④[]′． 3、复合函数的导数 设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x） 【解题方法点拨】 1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数． 2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．平均变化率（共3小题） 1．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1到1+Δx的平均变化率为（　　） A．Δx+3 B．2Δx﹣1 C．Δx D．（Δx）2﹣Δx 【考点】平均变化率．版权所有 【分析】根据平均变化率的定义计算可得． 【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣3， 则f（x）从1到1+Δx的平均变化率． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平均变化率的求解，属于基础题． 2．若，则等于（　　） A．2k B．k C． D．以上都不是 【考点】平均变化率．版权所有 【分析】根据导数的定义，变形求解即可． 【解答】解：因为f′（x0）＝k， 所以22f′（x0）＝2k． 故选：A． 【点评】本题考查了瞬时变化率与导数的概念应用问题，是基础题． 3．函数f（x）＝3x2﹣1在区间[0，1]上的平均变化率是 　3　 ． 【考点】平均变化率．版权所有 【分析】利用平均变化率的意义即可得出． 【解答】解：函数f（x）＝3x2﹣1在区间[0，1]上的平均变化率为：3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题． 二．瞬时变化率（共3小题） 4．某物体的运动路程s（单位：m），时间t（单位：s）之间的关系S（t）＝t2+t，求在t＝2s时的瞬时速度（　　） A．4m/s B．5m/s C．6m/s D．8m/s 【考点】瞬时变化率．版权所有 【分析】求导，求出S′（2）＝5，从而求出t＝2s时的瞬时速度． 【解答】解：因为S（t）＝t2+t， 所以S′（t）＝2t+1， 故t＝2s时，S′（2）＝4+1＝5， 故在t＝2s时的瞬时速度为5m/s． 故选：B． 【点评】本题主要考查了瞬时变化率的定义，属于基础题． 5．已知函数f（x）＝x2，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【考点】瞬时变化率．版权所有 【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解． 【解答】解：由题意f′（2）， 因为f（x）＝x2， 所以f′（x）＝2x， 即f′（2）＝4， 所以则4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题． 6．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质点在t＝2s时的瞬时速度为 　　 cm/s． 【考点】瞬时变化率．版权所有 【分析】根据导数可求瞬时速度． 【解答】解：因为y（t）＝ln（2t+1），所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题． 三．变化率的极限与导数的概念（共4小题） 7．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　） A．﹣2025 B．0 C．1 D．2025 【考点】变化率的极限与导数的概念；含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】根据导数的概念求解． 【解答】解：因为， 所以由导数的定义可知f′（x0）2025． 故选：A． 【点评】本题主要考查了导数的概念，属于基础题． 8．若，则f′（2）＝（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣3 【考点】变化率的极限与导数的概念．版权所有 【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解． 【解答】解：因为， 所以f′（2）3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数的概念，属于基础题． 9．已知，，则sinx0＝（　　） A． B． C．1 D．0 【考点】变化率的极限与导数的概念．版权所有 【分析】根据题意，设f（x）＝sinx，由导数的定义和计算公式可得cosx0＝1，即可得x0的值，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx， 若，则有f′（x0）＝cosx0＝1， 又由，则x0＝0， 故sinx0＝sin0＝0． 故选：D． 【点评】本题考查导数的定义和计算，注意导数的定义，属于基础题． 10．已知，，则sinx0＝（　　） A． B． C． D． 【考点】变化率的极限与导数的概念．版权所有 【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可． 【解答】解：记f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx， 由， 可得， 即， 即，因， 故． 故选：B． 【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题． 四．含Δx表达式的极限计算与导数的关系（共5小题） 11．已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）＝（　　） A．﹣1 B． C．1 D． 【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解． 【解答】解：由题可得：， 即，则f′（2）＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题． 12．已知的值是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣2 【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】利用导数的定义可求极限值． 【解答】解：f'（x0）＝6， 则由导数的定义可知，2． 故选：A． 【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题． 13．已知函数f（x）＝2lnx+x，则（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解． 【解答】解：由题可得：， 则f′（1）（2+1）＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的定义和导数的运算，属于基础题． 14．设，对于（　　） A． B．2m+4 C．2m+1 D．4m+2 【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】利用导数运算，结合导数的概念，即可求出极限值． 【解答】解：由， 故2（m+2）＝2m+4． 故选：B． 【点评】本题主要考查导数的概念，属于基础题． 15．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则的值为（　　） A．2 B．4 C．0 D．﹣4 【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．版权所有 【分析】由已知结合导数的定义即可求解． 【解答】解：因为函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2， 则22f′（x0）＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题． 五．导数与切线的斜率（共5小题） 16．曲线y＝eax+x在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0垂直，则a＝（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【考点】导数与切线的斜率．版权所有 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可． 【解答】解：设f（x）＝eax+x，则f'（x）＝aeax+1，f'（0）＝a+1， 又因为直线x﹣y+2＝0的斜率为1， 由题意可得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题． 17．曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3的公共切线的斜率为（　　） A．1 B．3 C．ln3 D．e 【考点】导数与切线的斜率．版权所有 【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解． 【解答】解：由曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3， 可得y′＝ex+1，y′＝（ex+3）′＝ex， 设y＝ex+1的切点为，y＝ex+3的切点为， 由两曲线有公切线， 故且， 故x2﹣x1＝1，， 因此公切线的斜率为． 故选：B． 【点评】本题主要考查切线的斜率，考查计算能力，属于基础题． 18．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】导数与切线的斜率．版权所有 【分析】结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：y＝f（x）， 则f'（x）＝x， 故f'（1）＝1， 倾斜角的范围为[0，π）， 曲线C在点P处的切线的倾斜角为45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题． 19．函数f（x）＝ex+ax在x＝0处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0平行，则实数a＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】导数与切线的斜率．版权所有 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于a的方程，可求出a的值． 【解答】解：由题可得：f′（x）＝ex+a， 函数在x＝0处的切线的导数即为切线的斜率为f′（0）＝e0+a＝1+a， 函数f（x）＝ex+ax在x＝0处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0平行， 则有，可得． 故选：C． 【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题． 20．若曲线y＝x2﹣lnx在x＝1处的切线的斜率为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】导数与切线的斜率．版权所有 【分析】求导，然后计算在x＝1处的导数值，可得结果． 【解答】解：y＝x2﹣lnx，则y'＝2x， 所以．y′|x＝1＝12﹣ln1＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题． 六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4小题） 21．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．版权所有 【分析】由导函数图象可知f′（x）的符号，f（x）单调性，即可得出答案． 【解答】解：由导函数图象可知在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减． 故选：D． 【点评】本题考查导函数的图象，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题． 22．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则函数y＝f（x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．版权所有 【分析】先设f′（x）的两个两个零点，结合导数符号与单调性的关系进行判断即可． 【解答】解：根据题意，设f′（x）的两个零点为a，b，a＜0，b＞0， 由导数图象知当x＜a时，f′（x）＜0，函数为减函数， 当a＜x＜b，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数， 当x＞b时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 分析选项，A选项符合． 故选：A． 【点评】本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数的图象，属于基础题． 23．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．版权所有 【分析】先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案． 【解答】解：原函数的单调性是：当x＜0时，函数单调递增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增， 故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题． 24．函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（　　） A．f（x）在（1，3）上单调递增 B．f（x）在（1，3）上单调递减 C．f（x）在（2，4）上单调递减 D．f（x）在（3，+∞）上单调递增 【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．版权所有 【分析】由f（x）的增减性与f′（x）的正负之间的关系进行判断， 【解答】解：结合图象可得， 当x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（4，+∞）上单调递增， 当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（2，4）上单调递减， 当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（0，2）上单调递增， 当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（﹣3，0）上单调递减， 显然C正确，其他选项错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数单调性的关系，属于基础题． 七．基本初等函数的导数（共4小题） 25．下列计算正确的是（　　） A．（2x）′＝x•2x﹣1 B． C．（e2x）′＝2e2x D． 【考点】基本初等函数的导数．版权所有 【分析】根据求导公式和求导法则逐项判断即可． 【解答】解：（2x）′＝2x•ln2，故A错误； ，故B错误； （e2x）′＝e2x•（2x）′＝2e2x，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题． 26．已知函数f（x）＝elnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为（　　） A．0 B．1 C．e D． 【考点】基本初等函数的导数．版权所有 【分析】根据求导公式求出函数f（x）＝elnx的导函数f′（x），再将x＝1代入导函数f′（x）中，从而求得f′（1）的值． 【解答】解：f（x）＝elnx， 所以， 则． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题． 27．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（　　） A．e+2 B．e﹣4 C．e﹣7 D．e﹣8 【考点】基本初等函数的导数；函数的值．版权所有 【分析】根据导数运算公式求得函数f（x）的导数，令x＝1，求出f'（1）＝﹣1，再令x＝2即可求解． 【解答】解：f'（x）＝ex﹣1+2f'（1）x， 令x＝1可得，f'（1）＝1+2f'（1）， 解得f'（1）＝﹣1， 所以f'（x）＝ex﹣1﹣2x，所以f'（2）＝e﹣4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题． 28．下列求导运算正确的是（　　） A． B．（1+ex）′＝1+ex C． D．（2ex）′＝2ex 【考点】基本初等函数的导数．版权所有 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案． 【解答】解：，A错误； （1+ex）′＝ex，B错误； ，C错误； （2ex）′＝2ex，D正确． 故选：D． 【点评】本题考查导数的运算，属于基础． 八．导数的加法与减法法则（共3小题） 29．已知函数f（x）＝ex+2f'（0）sinx，则f′（0）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【考点】导数的加法与减法法则．版权所有 【分析】利用求导，赋值，即可求出f′（0）＝﹣1． 【解答】解：f′（x）＝ex+2f′（0）cosx， 所以f′（0）＝e0+2f′（0）cos0＝1+2f′（0），解得f′（0）＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题． 30．下列运算正确的是（　　） A．（x3+cosx）′＝3x2+sinx B．若函数f（x）满足f′（2）＝2，则 C．[ln（2x+1）]′ D． 【考点】导数的加法与减法法则；简单复合函数的导数．版权所有 【分析】根据导数的定义，基本初等函数和复合函数的求导公式可判断ABC的正误，根据组合数公式可判断D的正误． 【解答】解：（x3+cosx）′＝3x2﹣sinx，A错误； ∵f′（2）＝2，∴，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，组合数公式，是基础题． （多选）31．下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数．版权所有 【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断． 【解答】解：对于A，（xe3）′＝（x）′，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，（4x﹣sin）＝（4x）′＝4xln4，C正确； 对于D，． 故选：BC． 【点评】本题主要考查了函数求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 九．导数的乘法与除法法则（共3小题） 32．若函数，则导函数f′（x）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】导数的乘法与除法法则．版权所有 【分析】由已知结合函数求导公式即可求解． 【解答】解：若函数，则导函数f′（x）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题． 33．函数y的导数为（　　） A．y′ B．y′ C．y′ D．y′ 【考点】导数的乘法与除法法则．版权所有 【分析】直接运用导数的除法法则对原函数展开运算即可． 【解答】解：∵， ∴ ． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的乘法与除法法则，导数的除法法则为：，此题是基础题． 34．下列求导数计算错误的是（　　） A．（）′ B． C．（xlnx）'＝1+lnx D．（tanx）′ 【考点】导数的乘法与除法法则．版权所有 【分析】由导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可． 【解答】解：对于A：（）′＝（x﹣1）′，故A正确； 对于B：（）′，故B不正确； 对于C：（xlnx）′＝lnx+x1+lnx，故C正确； 对于D，（tanx）′＝（）′，故D正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查导数的四则运算及复合函数求导法则的应用，属于基础题． 十．简单复合函数的导数（共8小题） 35．下列求导运算正确的是（　　） A．（cos1）′＝﹣sin1 B．（2x）′＝2x C． D． 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】由复合函数的求导逐项判断即可． 【解答】解：cos1为常数，则 （cos1）′＝0，故A错误； （2x）′＝2xln2，故B错误； [ln（3x﹣2）]'，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题． 36．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3） 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】由条件可得，结合导数运算及f（0）＝﹣2求出函数f（x）的解析式，解不等式可得结论． 【解答】解：因为f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1）， 所以，即， 设， 即f（x）＝（x2﹣x+c）ex，又f（0）＝c＝﹣2，故f（x）＝（x2﹣x﹣2）ex， f（x）＜10ex可化为x2﹣x﹣2＜10， 所以﹣3＜x＜4， 所以不等式f（x）＜10ex的解集为（﹣3，4）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了导数与单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 37．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均为偶函数，则的值为（　　） A．8 B．1 C．0 D．﹣8 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】根据f（2x+1）为偶函数，得出f′（x）关于（1，0）中心对称，再根据f′（x+2）为偶函数，得出f′（x）关于x＝2对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可． 【解答】解：f（2x+1）为偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），左右两边同时求导得， 2f′（2x+1）＝﹣2f′（﹣2x+1），将2x+1看作整体得f′（x）＝﹣f′（2﹣x）①， 将y＝f′（x+2）图象向右平移2个单位得到y＝f′（x）， 因为y＝f′（x+2）为偶函数，则y＝f′（x）图象关于x＝2对称，即f′（x）＝f′（4﹣x）②， ①②两式联立得﹣f′（2﹣x）＝f′（4﹣x），即﹣f′（x）＝f′（x+2）， 用x+2代替x得﹣f′（x+2）＝f′（x+4），故f′（x）＝f′（x+4）， 即y＝f′（x）的周期为4， 因f′（2）＝8，则①式中令x＝1有f′（1）＝0，令x＝0有f′（0）＝﹣f′（2）＝﹣8， ②式中令x＝4有f′（4）＝f′（0）＝﹣8，令x＝3有f′（3）＝f′（1）＝0， 则． 故选：C． 【点评】本题考查了复合函数的求导，属于基础题． 38．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且，则（　　） A． B． C． D． 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】求f（x）的导数，利用导数求出f′（），再计算f′（）． 【解答】解：因为f（x）＝2xf′（）+sinx，则f′（x）＝2f′（）+cosx， 所以f′（）＝2f′（）+cos，解得f′（）； 所以f′（x）＝﹣1+cosx， 所以f′（）＝﹣1+cos． 故选：A． 【点评】本题考查了基本初等函数的导数应用问题，是基础题． 39．下列四个求导运算中运算结果错误的是（　　） A． B．（x2ex）′＝2xex C． D． 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断． 【解答】解：对于A，，故A正确； 对于B，（x2ex）′＝（x2）′ex+x2（ex）′＝2xex+x2ex，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【点评】本题考查函数的导数的求法，导数的运算法则，属于基础题． 40．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0，当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣4，则（　　） A．﹣2 B． C．﹣4 D． 【考点】简单复合函数的导数；抽象函数的周期性．版权所有 【分析】利用奇函数和题设等式推理得出4是函数f（x）的一个周期，结合给定区间上的函数解析式，利用周期和求导即可求得． 【解答】解：因f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）， 由f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0可得f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），即f（x+2）＝﹣f（x）， 则得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故4是函数f（x）的一个周期． 因当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣4，f′（x）＝2xln2，则， 又f（19）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2， 于是，． 故选：B． 【点评】本题主要考查导函数的求解，考查计算能力，属于中档题． 41．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为f′（x），则f′（2025）等于（　　） A． B．0 C． D．1 【考点】简单复合函数的导数；抽象函数的周期性．版权所有 【分析】根据复合函数的导数、函数的周期性等知识进行分析，从而求得正确答案． 【解答】解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x）， 又因为f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，得f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2， 所以f′（﹣x）＝﹣f′（2+x）+2，所以f′（x）＝﹣f′（2+x）+2， 所以f′（x+2）＝﹣f′（4+x）+2，以上两式相减，可得f′（4+x）＝f′（x）， 所以f′（x）为以4为最小正周期的周期函数， 在f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2中， 令x＝0，得f′（1）＝1，所以f′（2025）＝f′（506×4+1）＝f′（1）＝1． 故选：D． 【点评】本题考查复合函数的导数，抽象函数的周期性，属于中等题． 42．已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则f'（1）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】简单复合函数的导数．版权所有 【分析】把已知等式两边求导数，再取x＝1得答案． 【解答】解：由f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx， 两边求导数，得f′（x）＝﹣3f′（2﹣x）+4x， 取x＝1，得f′（1）＝﹣3f′（1）+4﹣1， ∴f′（1）． 故选：B． 【点评】本题考查觉得复合函数的导数，是基础题． 十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7小题） 43．曲线f（x）＝（x+1）e2x在x＝0处的切线方程为（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x+2 C．y＝2x+2 D．y＝3x﹣2 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求． 【解答】解：因为f（x）＝（x+1）e2x， 所以f′（x）＝e2x+2（x+1）e2x＝（2x+3）e2x， 所以f（0）＝1，f′（0）＝3， 所以所求切线方程为y﹣1＝3（x﹣0），即y＝3x+1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的切线方程的求解，属基础题． 44．从点A（1，a）可向曲线y＝x﹣x3引三条不同切线，则a的取值范围为（　　） A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．2＜a＜3 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率，再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，从而求出的取值范围． 【解答】解：因为y＝f（x）＝x﹣x3，所以f′（x）＝1﹣3x2， 设过A（1，a）的切线与f（x）切于点Q（x0，y0）， 则切线方程为，又其过A（1，a）， 所以， 所以有三个不同的解， 即有三个不同的解， 设g（x）＝2x3﹣3x2+1﹣a，该函数有三个不同零点，求导得g（x）＝6x2﹣6x， 令g'（x）＝0，则x＝0或x＝1， 当x∈（﹣∞，0）或x∈（1，+∞），g′（x）＞0，当x∈（0，1），g′（x）＜0， 所以：函数g（x）在（0，1）区间单调递减，在（﹣∞，0）和（1，+∞）区间上单调递增， 所以函数在x＝0和x＝1处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得0＜a＜1． 故选：B． 【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题． 45．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程是（　　） A．2x﹣y﹣5＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．2x+y+1＝0 D．2x+y+5＝0 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇函数偶函数的性质．版权所有 【分析】由题可得当x＞0时，f（x）＝﹣ln（x）+3x，然后由点斜式可得切线方程． 【解答】解：根据题意可得当x＞0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（x）+3x，， 所以f′（1）＝2， 所以f（x）在点（1，3）处的切线方程为y﹣3＝f′（1）（x﹣1），即2x﹣y+1＝0． 故选：B． 【点评】本题考查函数的切线方程的求解，属基础题． 46．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ax在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+2）2+y2＝1相切，则a的值为（　　） A．1或 B．或﹣2 C．1或 D．2或 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有 【分析】利用导函数求出切线斜率，进而可求出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求出a的值． 【解答】解：因为f（x）＝ln（2﹣x）+ax，所以， 则f（1）＝0+a＝a，f′（1）＝a﹣1， 所以切线l的方程为y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y+1＝0． 所以圆心（﹣2，0）到直线l的距离， 整理得3a2﹣10a+7＝0，解得或1． 故选：C． 【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属中档题． 47．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝ex+2x，所以f'（x）＝ex+2， 所以f（0）＝1，f'（0）＝3， 所以所求切线方程为y＝3x+1． 故选：B． 【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属基础题． 48．若直线l同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a的切线，则l斜率的最小值为（　　） A．1 B．2 C．e D．2e 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值． 【解答】解：设直线l与曲线y＝aex、曲线y＝ex+a相切的切点分别为， 由y＝aex、y＝ex+a，分别得y′＝aex，y′＝ex， 则，且， 由得：t﹣x0＝lna， 代入，可得， 令，得， 当1＜a＜e时，f′（a）＜0，函数f（a）在（1，e）上单调递减， 当a＞e，f′（a）＞0，函数f（a）在（e，+∞）上单调递增，可得f（a）min＝f（e）＝e， 所以l斜率的最小值为e． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题． 49．已知函数f（x）＝2x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　） A．2x﹣y﹣2＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x+y+2＝0 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】先求导，即可求f′（1）和f（1），即可求得切线方程． 【解答】解：由f（x）＝2x2﹣xf′（1），得f′（x）＝4x﹣f′（1）， 则f′（1）＝4×1﹣f′（1），解得f′（1）＝2， 故f（x）＝2x2﹣2x，则f（1）＝2×12﹣2＝2﹣2＝0， 所以切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）⇒2x﹣y﹣2＝0． 故选：A． 【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题． 十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5小题） 50．曲线y＝e2ax+1在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0垂直，则a等于（　　） A． B． C． D． 【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．版权所有 【分析】根据导数的几何意义和两直线垂直关系得到方程，即可求解． 【解答】解：因为y＝f（x）＝e2ax+1，得f′（x）＝2ae2ax， 所以根据题意可得f′（2）＝2a， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题． 51．若过点（a，b）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则（　　） A．eb＜a B．lna＜b C．ea＜b D．lnb＜a 【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．版权所有 【分析】设切点坐标为（x0，y0），由切点坐标求出切线方程，代入坐标（a，b），关于x0的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图像有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图像后可得． 【解答】解：设切点坐标为（x0，y0），由于， 因此切线方程为， 又切线过点（a，b），则，即， 设f（x）＝lnx，函数定义域是（0，+∞）， 则直线y＝b+1与曲线有两个不同的交点， ， 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在定义域内单调递增，不合题意； 当a＞0时，0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（a）＝lna+1，结合图像知b+1＞lna+1，即b＞lna． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题． 52．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e为自然对数的底数），其中a，b为正实数，则的取值范围是（　　） A．[2，e） B．（e，4] C．[4，+∞） D．[e，+∞） 【考点】由函数的切线方程求解函数或参数；运用“1”的代换构造基本不等式．版权所有 【分析】利用导数的几何意义计算可得ae+b＝1，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得． 【解答】解：，令，则，有， 即，即ae+b＝1， 又a，b为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立．， 故的取值范围是[4，+∞）． 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 53．已知曲线在点（0，f（0））处的切线方程为，则ωφ＝ 　　 ． 【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．版权所有 【分析】根据导数的几何意义结合题意可得关于ω，φ的方程组，解出即可． 【解答】解：f′（x）＝ωcos（ωx+φ）， 依题意，， 又， 则， 可得，解得ω＝1， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题． 54．已知直线y＝kx+b是曲线f（x）＝ex﹣3与g（x）＝ex+2022﹣2022的公切线，则k＝ 　　 ． 【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．版权所有 【分析】设直线y＝kx+b与曲线f（x）相切于点P1（x1，y1），与曲线g（x）相切于点P2（x2，y2），然后求出f′（x），g'（x），再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解． 【解答】解：设直线y＝kx+b与曲线f（x）相切于点P1（x1，y1），与曲线g（x）相切于点P2（x2，y2）， 由于f（x）＝ex﹣3，g（x）＝ex+2022﹣2022， 所以f'（x）＝ex﹣3，g'（x）＝ex+2022，，， 所以由点P1（x1，y1）在切线上，得切线方程为， 由点P2（x2，y2）在切线上，得切线方程为， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的公切线问题的求解，导数的几何意义的应用，属中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 2．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 4．设，对于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 6．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 8．曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．0 9．设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，甲、乙两个水库的蓄水量与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 11．（多选）已知过点的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线相切，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 13．已知函数的导函数为，且，则 ． 14．已知曲线在点处的切线方程为，且过点的直线与直线垂直，则的方程为 ． 15．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为 ． 16．曲线在点处的切线方程为，则的值为 . 17．若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 ． 18．过曲线C：上一点P作C的切线交x轴于点Q，已知，则切线PQ的方程为 ． 四、解答题 19．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，求. 20．求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D A B B B BD 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 2．C 【分析】先求导，再求. 【详解】因为，所以， 则． 故选：C． 3．D 【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意，. 故选：D 4．B 【分析】利用导数运算，结合导数的概念，即可求出极限值. 【详解】由， 又因为， 所以， 故选：B. 5．D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 6．A 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 7．B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 8．B 【分析】利用导数的几何意义和运算法则计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以曲线在处的切线的斜率， 故选：B 9．B 【分析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，对求导，依据切线斜率为切点处导数值，利用直线的斜率求得此时的点坐标，再用点到直线的距离公式求最小距离即可. 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为. 故选：B. 10．BD 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解． 【详解】对于A，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误． 对于B，由题图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0， 乙水库蓄水量的平均变化率大于0， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B正确． 对于C，由题图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于0， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于0， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误． 对于D，由题图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确． 故选：BD． 11．ABC 【分析】设过点的直线与曲线相切于点，利用导数的几何意义求得切线方程，进而可得有两个实数根，令，利用导数分类讨论可判断每个选项的正误. 【详解】设过点的直线与曲线相切于点， 因为，所以切线方程为， 所以，即， 依题意知方程有两个实数根， 令，，则， 当时，，单调递减，最多只有一个零点，不符合题意，故，A正确； 当时，令，则，令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使方程有两个实数根， 则，即，B正确； 由，得，C正确； 因为，，所以当a足够大时，不成立，故D错误． 故选：ABC. 12． 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13． 【分析】求出，令，求出，从而得到即可求解. 【详解】由题得， 令，则，解得， 则，， 所以． 故答案为： 14． 【分析】根据已知点坐标求出，直线的斜率为，由两直线垂直，得到的斜率，点斜式写出方程. 【详解】设，则由，解得， 所以. 所以， 则，即的斜率为，又直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 故的方程为，即． 故答案为：. 15． 【分析】解法一：换元法得到，，求导，利用导数的几何意义求出切线方程； 解法二：对两边求导，得，求出，而，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】解法一：令，则，故， 所以，， ，，， 故曲线在点处的切线方程为， 即． 解法二：对两边求导，得，即， 当时，，而， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 故答案为： 16． 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可列方程求解. 【详解】， 故处的切线方程为， 又切线方程为， 故，解得， 故答案为： 17．2 【分析】求得曲线在处的切线方程为，根据题意得也是曲线的一条切线，设切点为，列方程组求得即可. 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为， 因为曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，且的图象呈上凸递增的趋势， 所以说明也是曲线的一条切线， 对求导得， 设切点为， 所以，解得，满足. 故答案为：2. 18．或 【分析】设，求出切线方程为，得到，由两点间距离公式可得，化简可得，解方程即可求解. 【详解】不妨设，由题得，则曲线在点处的切线方程为， 则，则，即， 化简得，即， 令，，则，解得或（舍），即或， 则切线的方程为或． 故答案为：或 19． 【分析】求导得，则，，结合切线方程得到方程组，解出即可. 【详解】求导得，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. 则，故将代入切线方程得，则. 20．(1) (2) (3)． (4) 【分析】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【详解】（1）由得． （2）． （3）方法一： ． 方法二：因为， 所以． （4）令， 则， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$