课时测评20 导数的概念及其几何意义、导数的运算（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

课时测评20　导数的概念及其几何意义、导数的运算 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.若f(x)＝ln x＋x3，则＝(　　) A.1 B.2 C. D.8 答案：B 解析：根据导数的定义可得＝＝f'(1)，由f(x)＝ln x＋x3可得f'(x)＝＋3x2，可得f'(1)＝＝2，即＝2.故选B. 2.(2025·江西九江期末)已知曲线y＝xex＋aln x在x＝1处的切线方程为y＝ex＋b，则(　　) A.a＝e，b＝0 B.a＝e，b＝1 C.a＝－e，b＝1 D.a＝－e，b＝0 答案：D 解析：当x＝1时，y＝e，所以切点坐标为(1，e)，y'＝ex＋，k＝＝2e＋a＝e，所以a＝－e，将代入y＝ex＋b，得b＝0.故选D. 3.(新定义)(2025·河南焦作期中)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f'(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在区间[a，b]上的“拉格朗日中值点”.已知函数f(x)＝x3－x2在区间[－1，m](m＞－1)上的拉格朗日中值点为－，则m＝(　　) A.0 B. C.1 D.2 答案：C 解析：函数f(x)＝x3－x2，求导得f'(x)＝3x2－2x，则f'＝3×－2×＝1，依题意，f(m)－f(－1)＝f'[m－(－1)]，即m3－m2＋2＝m＋1，整理得(m＋1)(m－1)2＝0，而m＞－1，所以m＝1.故选C. 4.已知函数y＝f(x)，其中f(x)＝xsin，则下列选项中正确的是(　　) A.f'(x)为奇函数 B.f'(x)为偶函数 C.f'(0)＝0 D.f(π)＋f'(π)＝－π 答案：B 解析：因为f(x)＝xsin＝xcos x，所以f'(x)＝cos x－xsin x(x∈R)，对于A、B，因为f'(－x)＝cos(－x)－(－x)sin(－x)＝cos x－xsin x＝f'(x)，所以f'(x)为偶函数，故A错误，B正确；对于C，f'(0)＝cos 0－0＝1，故C错误；对于D，f(π)＋f'(π)＝πcos π＋cos π－πsin π＝－π－1，故D错误.故选B. 5.(多选题)(2025·山东菏泽期末)已知曲线y＝f(x)在原点处的切线与曲线y＝xf(x)在处的切线重合，则(　　) A.f(2)＝4 B.f'(2)＝3 C.f'(0)＝4 D.曲线y＝f(x)在处的切线方程为y＝a 答案：ACD 解析：令g(x)＝xf(x)，则g'(x)＝f(x)＋xf'(x)，依题意g(2)＝2f(2)＝8，解得f(2)＝4，故A正确；依题意可得曲线y＝f(x)在原点处的切线过点，所以f'(0)＝＝4，故C正确；又g'(2)＝f(2)＋2f'(2)＝f'(0)＝4，所以f'(2)＝0，则曲线y＝f(x)在处的切线方程为y＝a，故B错误，D正确.故选ACD. 6.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知曲线y＝和直线l：x－2y－4＝0，则(　　) A.曲线上与直线l平行的切线的切点为 B.曲线上与直线l平行的切线的切点为 C.曲线上的点到直线l的最短距离为 D.曲线上的点到直线l的最短距离为 答案：BC 解析：设与直线y＝x－2平行的直线和y＝相切，则斜率为k＝.因为y＝，所以y'＝，令＝k＝，可得切点为，故A错误，B正确；则点到直线x－2y－4＝0的距离就是曲线y＝上的点到直线x－2y－4＝0的最短距离，由点到直线的距离公式知最短距离为＝，故C正确，D错误.故选BC. 7.某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t－1(其中h的单位为m，t的单位为s)，则第2 s末的瞬时速度为　　　　m/s. 答案：225 解析：根据导数的物理意义知，v(t)＝h'(t)＝15t2＋60t＋45，所以v(2)＝15×22＋60×2＋45＝225. 8.(2025·天津和平模拟)过点作曲线y＝2x的切线，则切点的坐标为　　　　. 答案： 解析：设切点的坐标为，由y＝2x，y'＝2xln 2，所以过切点的切线方程为y－2t＝2tln 2，把代入得－2t＝－t·2tln 2，即tln 2＝1，所以t＝，则切点坐标为. 9.(13分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(5分) (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程.(8分) 解：(1)f'(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f'(x)＝1－. 设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f'(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解， 所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(新定义)(多选题)(2025·广东中山模拟)若函数y＝f(x)的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线y＝f(x)在这两点处的切线垂直，则称函数y＝f(x)为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是(　　) A.y＝x2 B.y＝ex C.y＝xln x D.y＝sin x 答案：ACD 解析：y'＝2x存在x1，x2，使4x1x2＝－1成立，故A正确；y'＝ex＞0不存在x1，x2，使＝－1成立，故B错误；y'＝ln x＋1，存在x1＝1，x2＝e－2使得＝－1成立，故C正确；y'＝cos x存在x1＝0，x2＝π，使cos x1cos x2＝－1成立，故D正确.故选ACD. 11.(多选题)(2025·浙江台州期末)关于函数f(x)＝x3的图象的切线，下列说法正确的是(　　) A.在点A处的切线方程为y＝3x－2 B.经过点A的切线方程为y＝3x－2 C.切线l：y＝kx＋b与y＝f(x)的图象必有两个公共点 D.在点P处的切线过点Q(x0，)(x0≠x1)，则x0＝－2x1 答案：ACD 解析：由f(x)＝x3得f'(x)＝3x2，对于A，由f'(1)＝3，所以函数在点A处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，故A正确；对于B，设切点为，所以f'＝3，所以切线方程为y－＝3，又切线过点A，所以1－＝3，解得x2＝1或x2＝－，所以过点A的切线方程为y＝3x－2或3x－4y＋1＝0，故B错误；对于C，D，f'＝3，则在点P(x1，)处的切线方程为y－＝3，则－＝3，即(x0－x1)(＋x0x1＋)＝3，因为x0≠x1，则＋x0x1＋＝3，即＋x0x1－2＝0，即(x0＋2x1)(x0－x1)＝0，所以x0＝－2x1，又f'(0)＝0，当x≠0时f'(x)＝3x2＞0，又点Q在函数f(x)＝x3上，且与点P相异，即过曲线上任意点(除原点外)的切线必经过曲线上另一点(不是切点)，对于切线l：y＝kx＋b，则切点不是坐标原点，所以切线l：y＝kx＋b与y＝f(x)的图象必有两个公共点，故C、D正确.故选ACD. 12.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(10分) 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝， 又因为f'(x)＝a＋， 所以 所以f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y'＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， 所以切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·｜2x0｜＝6. 故曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(新定义)(多选题)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f'(x))'.若f ″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A.f(x)＝cos x＋sin x B.f(x)＝ln x＋3x C.f(x)＝－x3＋4x－8 D.f(x)＝xex 答案：ABC 解析：对于A，f(x)＝cos x＋sin x，f'(x)＝－sin x＋cos x，f ″(x)＝－cos x－sin x＝－sin，当x∈时，x＋∈，sin＞0，f ″(x)＜0恒成立，故A为凸函数；对于B，f(x)＝ln x＋3x，f'(x)＝＋3，f ″(x)＝－，当x∈时，f ″(x)＜0恒成立，故B为凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋4x－8，得f'(x)＝－3x2＋4，所以f ″(x)＝－6x，因为x∈，所以f ″(x)＝－6x＜0恒成立，故C为凸函数；对于D，f(x)＝xex，f'(x)＝(x＋1)ex，f ″(x)＝(x＋2)ex，当x∈时，f ″(x)＞0恒成立，故D不是凸函数.故选ABC. 14.(多选题)(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝axm(x＞0)，其中m≠0，1，则(　　) A.存在过点与函数f(x)，g(x)图象均相切的直线 B.当m＝2，a＝时，不存在与函数f(x)，g(x)图象均相切的直线 C.当m＝，a＝时，存在两条与函数f(x)，g(x)图象均相切的直线 D.最多存在三条与函数f(x)，g(x)图象均相切的直线 答案：BC 解析：由f(x)＝ex，g(x)＝axm，可得f'(x)＝ex，g'(x)＝amxm－1，对于A，易知函数g(x)的图象恒过定点，该点处切线斜率k＝0，即切线方程为y＝0，显然y＝0不是函数f(x)的切线，故A错误；对于B，当m＝2，a＝时，g(x)＝x2，则g'(x)＝ex，假设存在直线与f(x)，g(x)相切，切点为P1，P2，则f(x)在点P1处的切线方程为y－y1＝，即y＝x－，函数g(x)在点P2处的切线方程为y－y2＝ex2，即y＝ex2x－e，所以消去x2，整理得＝2(x1－1)，即－2x1＋2＝0，设函数h(x)＝ex－1－2x＋2，函数定义域为R，令h'(x)＝ex－1－2＝0得x＝1＋ln 2，当x＜1＋ln 2时，h'(x)＜0，则h(x)在单调递减；当x＞1＋ln 2时，h'(x)＞0，则h(x)在单调递增；所以h(x)在x＝1＋ln 2处取得极小值也是最小值，h(x)≥h＝2－2ln 2＞0，即方程－2x1＋2＝0无解，故点P1不存在，所以不存在与函数f(x)和g(x)图象均相切的直线，故B正确；对于C，当m＝，a＝时，g(x)＝，则g'(x)＝，假设存在直线与f(x)，g(x)相切，切点为P3，P4，则f(x)在点P3处的切线方程为y－y3＝，即y＝x－，函数g(x)在点P4处的切线方程为y－y4＝，即y＝x＋，所以消去x4，整理得＝e，即－e＝0，设函数k(x)＝e2x－e，则k'(x)＝－e2x＋2(1－x)e2x＝e2x，令k'(x)＝e2x＝0，得x＝，当x＜时，k'(x)＞0，则k(x)在单调递增；当x＞时，k'(x)＜0，则k(x)在单调递减；所以k(x)在x＝处取得极大值也是最大值，k(x)≤k＝e，又k(－1)＝2e－2－e＜0，k(1)＝－e＜0，即方程－e＝0有两解，所以存在两条与函数f(x)和g(x)均相切的直线，故C正确；对于D，假设存在公切线与函数f(x)，g(x)分别相切于点P5(x5，y5)，P6(x6，y6)，所以函数f(x)在点P5处的切线方程为y－y5＝(x－x5)，即y＝x－(x5－1)，函数g(x)在点P6处的切线方程为y－y6＝am(x－x6)，即y＝amx＋a(1－m)，其满足所以1－x5＝x6，即x5＝x6－x6＋1，即＝am，所以mx6－x6＋m＝mln am＋m(m－1)ln x6，所以x6－mln x6＝，设μ(x)＝x－mln x，则μ'(x)＝1－＝，当m≤0时，μ'(x)＞0，函数μ(x)在(0，＋∞)上单调递增，当m＞0时，若x＞m，则μ'(x)＞0，函数μ(x)在(m，＋∞)上单调递增，若0＜x＜m，则μ'(x)＜0，函数μ(x)在(0，m)上单调递减，所以方程x6－mln x6＝至多有两个解，所以至多存在两条与函数f(x)，g(x)图象均相切的直线，故D错误.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $