第09讲 指数（知识清单+4题型讲解练+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版必修第一册）

第09讲 指数 内容预览 知识清单 知识点01根式 知识点02分数指数幂的意义 知识点03实数指数幂 题型讲解 题型一：根式的化简求值 题型二：指数幂的运算 题型三：分数指数幂与根式的互化 题型四：指数幂的化简、求值 好题必刷 知识清单 知识点01根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 2．a的n次方根的表示(n>1，n∈N*) n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± (0，＋∞) 3.根式：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 4．根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点02分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义：(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点03实数指数幂 1．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即： (1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)； 2．一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用． 题型方法 【题型一】 根式的化简求值 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用进行求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据题意结合根式的运算求解即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 【题型二】 指数幂的运算 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】对平方，进行求解. 【详解】， 又，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 ． 【答案】47 【知识点】指数幂的运算 【分析】对等式进行配方即可求解. 【详解】因为,所以， 即， 所以， 所以， 即， 所以， 故答案为：47. 【题型三】 分数指数幂与根式的互化 【例3】（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的运算性质计算可判断ABD；利用对数的运算性质计算可判断C. 【详解】对于A，当时，，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，当时，，故C错误； 对于D，因为，，故D错误. 故选：B. 【变式1】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式与分数指数幂的互换，结合分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】． 故选：D 【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 【变式3】用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【变式4】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【题型四】 指数幂的化简、求值 【例4】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 【变式3】化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）可将平方后展开，可利用已知代入最后开方得到结果（2）直接将已知条件两边平方，可得结果（3）将已知条件平方可得到的值，再将平方可得到的值，配合立方和公式将上述值分别代入可得结果 【详解】（1）依题意，可知，则， 所以． （2）因为，两边平方后得 所以 （3），两边平方可得，所以． ． 所以= 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】对两边同时平方，即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 二、多选题 4．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，对两边平方可得结果； B选项，先计算，开方即可； C选项，先计算，再结合，开方求出答案； D选项，使用立方和即可求解. 【详解】两边平方得：， 所以，A正确； ， 因为的大小不确定，所以，B正确； ， 因为，所以，C错误； 由立方和公式可得： ， D正确. 故选：ABD 5．（23-24高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 【答案】CD 【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】对于A，由于，所以16的4次方根是，故A不正确． 对于B，，故B不正确． 对于C，由根式的意义知，当为大于1的奇数时，对任意都有意义，故C正确． 对于D，由根式的意义知，当为大于1的偶数时，只有当时才有意义，故D正确． 故选：CD． 6．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 7．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 8．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算. 【详解】. 故答案为： 9．已知则 . 【答案】8 【解析】由立方差公式化简可得，再由完全平方公式即可得解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：8. 【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知结合立方和公式可得出结果， 【详解】因为， ． 故答案为：0.5. 11．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】根据指数方程，得出的关系式，运用消元法将所求式化成关于的关系式，再利用基本不等式求解. 【详解】由，可得，即，代入中， 可得 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 13．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 14．（22-23高一上·江苏盐城·期末）英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是 . 【答案】5 【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可． 【详解】依题意得，即， 又，， 所以的最小值是5． 故答案为：6． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 17．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，即， 因为， 所以， 所以原式. 18．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值； （2）利用十字相乘法可因式分解； （3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值. 【详解】（1） （2） ； （3）由，可得，又，所以， 由. 19．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 指数 内容预览 知识清单 知识点01根式 知识点02分数指数幂的意义 知识点03实数指数幂 题型讲解 题型一：根式的化简求值 题型二：指数幂的运算 题型三：分数指数幂与根式的互化 题型四：指数幂的化简、求值 好题必刷 知识清单 知识点01根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 2．a的n次方根的表示(n>1，n∈N*) n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± (0，＋∞) 3.根式：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 4．根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的n次方根等于0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点02分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义：(a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点03实数指数幂 1．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即： (1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)； 2．一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用． 题型方法 【题型一】 根式的化简求值 【例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则 . 【题型二】 指数幂的运算 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 ． 【题型三】 分数指数幂与根式的互化 【例3】（24-25高一上·江苏常州·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D．（） 【变式1】设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【变式4】用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型四】 指数幂的化简、求值 【例4】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【变式2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式3】化简，求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求值． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·江苏·假期作业）下列说法正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．的运算结果是±2 C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 D．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 6．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，化简：= ．（用分数指数幂表示） 9．已知则 . 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 11．（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 13．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 14．（22-23高一上·江苏盐城·期末）英国数学家泰勒（B. Taylor，1685-1731）以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世.由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 18．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 19．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$