对数函数切线放缩问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题十五、对数函数切线放缩问题 1.对数函数与直线放缩问题 最常见的放缩不等式是，由向左平移一个单位来理解，或者将不等式两边取对数得到，其本质意义是：曲线在点处的切线方程为，曲线图像恒在直线图像下方，如下图1： 图1 图2 图3 模型一：，(用替换，切点横坐标为)，表示过原点与相切的直线为； 模型二：，(用替换，切点横坐标为)，或者记为； 模型三：，(由及切点横坐标为)，如图2，记为； 模型四：(由切点横坐标为)，如图3，即在点处三曲线相切. 例题1：在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，(为自然对数的底数)，则点的坐标为 . 答案： 解析：设点，由，得，则切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过点，所以，即，解得，所以点的坐标为 注意：此题还可以想到直线过原点与相切的直线为，且经过点，故切点为，这需要对切线放缩的相关知识进行熟练而系统地掌握. 例题2：若存在，满足，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：令，，，则，由切线不等式可得，解得，即. 例题3：已知函数，函数，证明：当且时，. 证明：要证，即证明 因为且，所以，易证当时，，即，又 ，所以，即. 例题:4：设函数. (1)讨论函数的单调性和零点个数； (2)证明：当时， 解析：函数的定义域为，；，所以在单调递增，在单调递减，当时，取得极大值为，又，，如下图，所以有两个零点； (2)方法一：要证，即证，设，，则，因为，所以，所以函数在单调递增，则，即，故. 方法二：(对数单身狗)要证，即证，令，，因为，所以，所以函数在单调递增，则，故. 例题5：已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一：因为函数的导数为， ①当时，恒成立，则在单调递增，，，所以函数有且仅有一个零点； ②当时，令，，所以在单调递减，在单调递增，故只需，则，综上所述，实数的取值范围是，故选. 方法二：时，是凹函数，根据，将替换得，，切点为，故时，有且仅有一个零点，或者均没有相切情况；当，属于凸函数，与一定会有交点，如下图所示，实数的取值范围是，故选. 例题6：已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一 由得，令，则，所以函数在上递减，在上单调递增，所以，又当时，，，所以实数的取值范围是，故选. 方法二：由于，切点为，根据题意有两个交点，如下图，直线的零点一定满足，且直线必为单调递增，故时，一定有两个交点，当时，直线和曲线仅有一个交点，故选. 例题7：已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一 函数的定义域为，所以，因为是函数的唯一极值点，所以在无变号零点，，即在时无变号零点，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以必须，故选. 解法二 (同构加切线放缩)由，令，所以，，显然，当且仅当时等号成立，故时，无解，所以必须，故选. 2.常见指对跨阶不等式的应用 模型一：(取等条件是)； 模型二：(取等条件是)； 模型三：. 例题1：已知函数. (1)求的单调性； (2)证明：(其中为自然对数的底数). 解析：(1)定义域为，，令，则，易知在单调递增，单调递减，所以，则，所以函数在单调递减； (2)解法一：由已知证明，， ①先证明：时的情况，不等式等价于，令，，令，则，，故在单调递增，则，所以在单调递增，，即，所以在单调递增，，即不等式成立； ②下面证明时的情况：令，故在单调递增，则当时，，故，令，故在递增，故时，，即，，证毕. 方法二：构造，则，而，故当时，，当时，； ①先证明时的情况：证明不等式，即证，所以 ，故只需证明，故只需要证明，令，，显然有； ②下面证明时的情况：问题等价于，故故只需证明，故只需要证明，显然有. 例题2：已知函数. (1)设是的极值点，求的值； (2)在(1)的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)当时，证明：. 解析：(1)因为，是的极值点，所以，解得，经检验符合题意； (2)方法一：由(1)可知，函数，其定义域为，因为，设，则，所以在上为增函数，又因为，所以当时，，即，当时，，所以在单调递减，单调递增，即，所以. 方法二：构造，当且仅当时等号成立，所以. (3)证明：要证，即证，设，即证，当，时，， 故只需证成立,令，在为增函数，且，故在有唯一实根，且，当时，，当时，，从而当时，有最小值，由，故，综上，当时，，即. 方法二：，由于取等条件不一致，故. 例题3：若函数的图像总在直线的上方，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一：因为函数的图像总在直线的上方，所以对任意恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，， 所以，解得，故选. 方法二：(切线放缩)，故选. 例题4：当时，，则实数的取值范围是( ) 答案： 解析：当时，，所以，即(过原点的切线斜率问题)或，无解，综上可知，实数的取值范围是，故选. 例题5：若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是( ) 答案： 解析：方法一 由已知方程有两个实根，得，令， ；，所以函数在上单调递增，单调递减，由于，作出函数图像如下 可得，即的取值范围是.故选. 方法二：(指数切线放缩)有两个交点，根据指数与反比例函数切线放缩可得，当且仅当，即时满足条件，即的取值范围是.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $专题十五、对数函数切线放缩问题 1.对数函数与直线放缩问题 最常见的放缩不等式是ln(x+1)≤x,由nx≤x-1向左平移一个单位来理解，或者将不等 式e>x+1两边取对数得到，其本质意义是：曲线y=nx在点(L,0)处的切线方程为 y=x-1,曲线图像恒在直线图像下方，如下图1： g(x)=x-x fx)=In(x) 十十 g(x0=x-1 x)=In(x) 图1 图2 图3 模型一：nx<,(用替换x,切点横坐标为x=e,表示过原点与f(x)=nx相切的 e e 直线为y=二； e 1 模型二：lnx≥1-二，（用二替换x,切点横坐标为x=1),或者记为xnx≥x-1; 模型三：lnx≤x2-x,(由nx≤x-1及x-1≤x2-x切点横坐标为x=1),如图2，记为 lnx≤x-1: 1 型吗：nxD由血x≤x-1≤)-)切点横坐标为x=1如图3，即在 (1,0)处三曲线相切. 例题1：在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=nx上，且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1),(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为 例题2：若存在X,∈0,1），满足1nb+'>2a(X。-》,则实数a的取值范围是 2 例题3：已知函数f)=x+a,函数g()=lnx+1,证明：当a>0且x>0时， f(x)>g(x). 例题：4：设函数f(x)=lnx-x+2. (1)讨论函数f(x)的单调性和零点个数； (2)证明：当x∈(1，+o)时，xnx>x-1 例题5：己知函数f()=a+1nx-1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是() A.-0,0U{I B.[0,1] C.-oo,0U{2} D.[0,2] 例题6：已知函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x恰有两个零点，则实数a的取值范围是(） A.(-1,0) B.(-1,+o0)C.(-2,0) D.(-2,-10 例圆7：已知数f)-号+2nx-女，若：=2是两数了的唯一极位点，则实板形 的取值范围是( 4 C.0,2] D2,+o0) 2.常见指对跨阶不等式的应用 模型一：e-ln(x+1)≥1（取等条件是x=0): 模型二：e-lnx≥(e-1)x+1(取等条件是x=1): 模型三：(e-1)ln(x+1)≥x2(x≥0). 例题1：己知函数f)=血t x-1 (1)求f(x)的单调性： 2证明：∫)>+其中e为自然对数的底数). et 例题2：已知函数f(x)=e-ln(x+m)+m. (1)设x=0是f(x)的极值点，求m的值； (2)在(1)的条件下，f(x)-k≥0在定义域内恒成立，求k的取值范围； (3)当m≤2时，证明：f(x)>m. 例题3：若函数f(x)=xlnx+I的图像总在直线y=ax的上方，则实数a的取值范围是 () A.(-0,1) B.(0,+o) C.(1,+0) D.(-0,0) 例题4：当x∈(0，+oo)时，(ax-lnx)(ax-e)≤0，则实数a的取值范围是() A-o,l刘 C.I1,e] D.le,too】 例题5：若函数f(x)=e-alnx+2ax-1在(0，+oo)上恰有两个极值点，则a的取值范围 是(） A.(-e2,e) 司c别 D.(-o,e)