精品解析：河南省郑州市第八十二中学　2024-2025学年下学期第一次科学素养反馈八年级数学试题

2024——2025学年下学期第一次科学素养反馈 八年级数学试卷 （考试时间：100分钟；满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 4. 若，且为实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 下列各命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 三个角都是的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的三个角分别对应相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 7. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长度是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在 中，， 的垂直平分线分别交，于点 ，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不超过元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不超过元 C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为_________． 12. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 13. 如图，平分，于点，，，则的面积为_______． 14. 如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是_______． 15. 如图，在中，，，动点在内，且使得的面积为3，点为动点，则的最小值为_______． 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式，分别将其解集表示在数轴上. （1）； （2）. 17. 推理填空．如图，已知，作的平分线，将直角尺如图所示摆放，使边与边重合，顶点D落在边上，边与交于点P．猜想是等腰三角形；（图在上面） 证明：∵平分（已知） ∴（____________） ∵ ∴____________（____________） ∴________________________（____________） ∴ ∴是等腰三角形； 18. 如图，=是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，政府现准备在所在的区域内建一个社区集体充电桩，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请用尺规作图在图中画出充电桩的位置． 19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 20. 如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． （1）求证：； （2）求证：是的角平分线． 21. 已知，． （1）计算：当，，；当时，________，_________；当时，________，_________； （2）猜想：无论为何值，______始终成立（填“>”，“<”或“=”）； （3）请说明（2）中猜想的合理性． 22. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根12元，B种跳绳每根8元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120根，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． （1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；（不需要写x的取值范围） （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 23. 请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年下学期第一次科学素养反馈 八年级数学试卷 （考试时间：100分钟；满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 2. 如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 3. 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式是一元一次不等式是解题的关键． 4. 若，且为实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 6. 下列各命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 三个角都是的三角形是等边三角形 C. 全等三角形的三个角分别对应相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据初中几何相关性质判定逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等， ∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等， ∴该逆命题是假命题，符合要求； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求． 7. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长度是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 过P作，利用三线合一得到Q为中点，求出的长，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由线段的和差即可求出的长． 【详解】解：过P作， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则． 故选：B． 8. 如图，在 中，， 的垂直平分线分别交，于点 ，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意设，则，根据垂直平分的性质可得，则，进而根据三角形内角和定理可得，得出，根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵，则， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴ ∵在 中，， ∴ 解得： ∴， 故选：D． 9. 政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不超过元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不超过元 C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以写出表示的含义，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，表示买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的关系式表示的含义． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的判定，等腰三角形的定义，由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得（点P在点O右边）是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴ （点P在点O右边）是等边三角形 分三种情况： 当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点； 当时，作的垂直平分线，交x轴于点； 综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，于点，于点，．若要用“”判定，则需要添加的条件为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：需要添加的条件为， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得，解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”表示的数为5， 故答案为：5． 13. 如图，平分，于点，，，则的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，于点， ∴， ∴的面积＝． 故答案为： 14. 如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是_______． 【答案】等腰三角形“三线合一” 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的． 【详解】解：因为重垂线过底边的中点，则根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的， 故答案为：等腰三角形“三线合一”． 15. 如图，在中，，，动点在内，且使得的面积为3，点为动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，作于，先由三角形面积公式得出，作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点，则，作于，交于，连接，当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ， ∵的面积为3， ∴， ∴， 作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点， ∴，， ∴， 作于，交于，连接， 当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式，分别将其解集表示在数轴上. （1）； （2）. 【答案】（1）， 解集在数轴上的表示如图1所示： （2）， 解集在数轴上的表示如图2所示： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，化系数为1，然后在数轴上表示解集即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，化系数为1，然后在数轴上表示解集即可． 【小问1详解】 ， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，． 【小问2详解】 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，． 17. 推理填空．如图，已知，作的平分线，将直角尺如图所示摆放，使边与边重合，顶点D落在边上，边与交于点P．猜想是等腰三角形；（图在上面） 证明：∵平分（已知） ∴（____________） ∵ ∴____________（____________） ∴________________________（____________） ∴ ∴是等腰三角形； 【答案】角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定．理解相关知识是解答关键． 利用角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定即可得到答案． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴， ∴是等腰三角形． 18. 如图，=是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，政府现准备在所在的区域内建一个社区集体充电桩，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请用尺规作图在图中画出充电桩的位置． 【答案】 解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线和线段垂直平分线，充电桩到两个社区的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，充电桩到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 19. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1， （1）判断是否为直角三角形？ （2）求最长边上的高？ 【答案】（1）是 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； （2）根据三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由： 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 【小问2详解】 解：设最长边上的高为， 由题意得，， ∴． 20. 如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． （1）求证：； （2）求证：是的角平分线． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在与中， ∵，， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）根据直接证明即可； （2）根据（1）得到，结合判定证明即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知，． （1）计算：当，，；当时，________，_________；当时，________，_________； （2）猜想：无论为何值，______始终成立（填“>”，“<”或“=”）； （3）请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1），；，； （2）； （3） 证明： ， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的代入求值、作差法比较大小，以及平方数的非负性．熟练掌握整式的运算规则（代入、去括号、合并同类项）和利用非负性判断式子符号，是解题的关键． （1）是将具体数值代入整式，通过有理数运算求对应值，核心是代入计算． （2）基于（1）的计算结果，观察、数值关系进行大小猜想 ． （3）用“作差法”，计算并化简，依据平方数非负性判断差的符号，确定、大小，关键是作差后对整式化简分析． 【小问1详解】 解：当时， ， ， 当时， ， ， 故答案为：，；，； 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． ∴可猜想：无论为何值，始终成立． 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根12元，B种跳绳每根8元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120根，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． （1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；（不需要写x的取值范围） （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】（1） （2）当购买种跳绳80根，种跳绳40根时，实际所花费用最省，最省的费用为1280元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，根据总金额等于两种跳绳的费用之和列函数关系式即可； （2）根据购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍，求解，再利用一次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：设购买A种跳绳为x根，则购买B种跳绳为根． ， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍， ， 解得． ， ∵， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，为， 此时， 当购买种跳绳80根，种跳绳40根时，实际所花费用最省，最省的费用为1280元． 23. 请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）①； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ； （3）； 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． （1）根据为等边三角形得到，根据平行线的性质得出，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，得到，证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，等边三角形的性质以及线段的和差即可得到答案； （3）由可证，得到，，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：①和为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； ② 略 （3）和为等腰直角三角形，且， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $