精品解析：江苏省区南通市能达初级中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

初二（下）数学集中练习（一） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求． 1. 下列表示y与x之间的关系的图像中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 3. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 用恒定不变的水速往某一容器里注水，该容器的水位高度h（dm）与注水时间t（min）的关系如图，则该容器的形状可能是（　　） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是（ ） A. 四个内角相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形为矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y＝ax+b的图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 9. 如图，在正方形中，．E，F分别为边，的中点，连接，，点N，M分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 二、填空题：本题共8小题，共30分（第11、12题3分，13—18题4分）． 11. 在中，若，，则的周长是______． 12. 已知一次函数的图象经过点，则______． 13. 若点，都在一次函数的图象上，则__________． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=_________° 16. 如图，已知正方形的顶点B在直线上，点A在第一象限，且点A的纵坐标为3，则点B的坐标为______． 17. 如图，在等腰直角三角形中，，D为边上一点，以为边作正方形，延长交于点G，连接，若，则的面积为__________． 18. 如图，E为正方形中边上的一点，且，，M，N分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知与成正比例，当时，，试求： （1）与的函数关系式； （2）若点在此函数图象上，求点的坐标． 20. 如图，已知一次函数，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； （2）求直线与两坐标轴围成的面积． 21. 如图，在中，D为上一点． （1）尺规作图：以，为边，作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设交于点O，若，．求证：四边形是矩形； 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求菱形的面积； （3）过点A作于点E，求的长． 23. 已知学校、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，图书馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达图书馆；在图书馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y（单位：km）与离开学校的时间x（单位：h）之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 2 10 12 （2）当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）当李华离学校的距离为6km时，他离开学校的时间为______h． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段，的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形的对角线上的点E处． （1）求的长： （2）求点E的坐标； （3）所在直线与相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； （2）当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 26. 如图1，边长一定的正方形中，为边上一个动点，交对角线于，过作交于． （1）求证：； （2）若过作于点（如图2），求证：； （3）若连接，交于点，，，，求与之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二（下）数学集中练习（一） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求． 1. 下列表示y与x之间的关系的图像中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：选项A、B、D都是函数，而选项C不符合函数的概念， 故选C． 【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断； 平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断； 平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定； 平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形； 平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形； 故选A． 【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法． 3. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD的性质可得，∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°． 又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键． 4. 用恒定不变的水速往某一容器里注水，该容器的水位高度h（dm）与注水时间t（min）的关系如图，则该容器的形状可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，从图象可知，相同注水速度下，水面上升的速度随着注水时间的增加而减小，即可得出结论． 【详解】解：图象可知，相同注水速度下，水面上升的速度随着注水时间的增加而减小， ∴容器的形状可能是下窄上宽， 故选D． 5. 已知一次函数，它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴一次函数的图象不经过第四象限， 故选：D． 6. 下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是（ ） A. 四个内角相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形为矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟知矩形，平行四边形和正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、四个内角相等的四边形为矩形，原说法正确，符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形为矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y＝ax+b的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】因为ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0， 当a＜0，b＞0，图象经过一、二、四象限； 当b＜0，a＞0，图象经过一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　) A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，．E，F分别为边，的中点，连接，，点N，M分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据正方形的性质可得，，由平行线的性质和对顶角相等可得，，证得，可得，，再根据三角形中位线定理可得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点M分别为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵点E、F为边、的中点， ∴，， 又∵点N为的中点， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，正确构造全等三角形得出是解题的关键． 10. 如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作交的延长线于点H，证明，得出，证明是等腰直角三角形，即可得，故当时，最小，即最小，此时根据勾股定理求出，即可确定最小值． 【详解】解：过点F作交的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴， ∴最小值． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是确定当时，最小，以及正确作出辅助线． 二、填空题：本题共8小题，共30分（第11、12题3分，13—18题4分）． 11. 在中，若，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得，，然后再求出周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴平行四边形的周长为：， 故答案为：． 12. 已知一次函数的图象经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确函数图象上点的坐标满足函数解析式，通过代入坐标值求解未知数． 因为点在一次函数的图象上，所以该点的坐标满足函数解析式，将，代入解析式中，得到关于a的一元一次方程，求解方程即可得到a的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将，代入，得． 移项，得，即． 故答案为：2． 13. 若点，都在一次函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点和点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=_________° 【答案】60 【解析】 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ADE=15°，∠DAC=45°，再求∠DFC，证，可得∠BFC=∠DFC． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD=BC， =45°， 又∵△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE，∠BAE=60°， ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED，∠DAE=90°+60°=150°， ∴∠ADE=（180°-150°）÷2=15°， 又∵∠DAC=45°， ∴∠DFC=45°+15°=60°， 在和中， ， ∴， ∴∠BFC=∠DFC=60°， 故答案为60． 【点睛】本题主要是考查了正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ADE=15°． 16. 如图，已知正方形的顶点B在直线上，点A在第一象限，且点A的纵坐标为3，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点交轴于点，证，可得，根据已知条件可得点坐标，根据列方程，求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作，交的延长线于点交轴于点，如图所示： 则， ， 在正方形中，， ， ， ， ， 顶点B在直线上， 设点坐标为， ， ∴， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解方程等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17. 如图，在等腰直角三角形中，，D为边上一点，以为边作正方形，延长交于点G，连接，若，则的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及代数式求值，解决本题的关键是正确列出代数式，设由等腰三角形性质可得，，再由，可得出，最后运用三角形面积公式列出代数式并求解即可． 【详解】由题意，可设 等腰直角三角形及以为边作正方形， ，， ， ， ， ． 故答案为：3． 18. 如图，E为正方形中边上的一点，且，，M，N分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作交于H，过M作，过作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，， ，由得当A、M、C共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交于H，过M作，过作交于G，连接， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ， ∴． ∴当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长． ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知与成正比例，当时，，试求： （1）与的函数关系式； （2）若点在此函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，设，将，，代入待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入（1）中 解析式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设，当时，， ∴， 解得：， ∴， 即； 【小问2详解】 解：依题意，当， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 20. 如图，已知一次函数，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； （2）求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】（1） 函数图象如图所示： （2）3 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴函数图象与轴交于点，与轴交于点； 【小问2详解】 解：直线与两坐标轴围成的面积． 21. 如图，在中，D为上一点． （1）尺规作图：以，为边，作（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设交于点O，若，．求证：四边形是矩形； 【答案】（1） 即为所求： （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正确理解题意是解题的关键： （1）作，，交于E点，即为所求； （2）先证明，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，再得出，进而得出结论． 【小问1详解】 解：作，，交于E点， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求菱形的面积； （3）过点A作于点E，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，对角线相交于点， ， ，且， ， ∴是直角三角形，且， ， ∴四边形是菱形； （2）24 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质，正确掌握菱形的判定方法是解题关键． （1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出四边形是菱形； （2）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可． （3）利用菱形的面积求法得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：菱形的面积． 【小问3详解】 解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， 解得：． 23. 已知学校、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，图书馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达图书馆；在图书馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y（单位：km）与离开学校的时间x（单位：h）之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 2 10 12 （2）当时，请直接写出y关于x的函数解析式； （3）当李华离学校的距离为6km时，他离开学校的时间为______h． 【答案】（1）12；20 （2） （3）0.3或5 【解析】 【分析】（1）根据图形直接得出结论； （2）根据图形按分段函数分别写出函数解析式即可； （3）分两种情况求出时间即可． 【小问1详解】 根据图形得：时，， 时，， 离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 2 10 12 12 20 故答案为：12，20； 【小问2详解】 当时，； 当时，， ∴y关于x的函数解析式； 【小问3详解】 当李华从学校到书店过程中距离学校6km时， 由（2）得，， 解得：； 当李华从图书馆返回学校过程中距离学校6km时， 由图形可得，， 综上所述，当李华离学校的距离为6km时，他离开学校的时间为0.3h或5h． 故答案为：0.3或5． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段，的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形的对角线上的点E处． （1）求的长： （2）求点E的坐标； （3）所在直线与相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负性即可求出；根据勾股定理得出长； （2）由三角形面积求法可得，进而求出和，即可解答； （3）由待定系数法求出的解析式，进而求出点坐标，再利用平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， 解得， ∵线段的长分别是，且满足， ， 设， 由翻折的性质可得：， 则， 可得：， 在 中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 可得：； 【小问2详解】 解：过作于点， 在 中，， 即， 解得：， 在中，， ∴， 所以点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：， 把代入解析式可得：， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， ∴ ， 当以为顶点的四边形是平行四边形时，， 所以， 即存在点，且点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了算术平方根的非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 25. 对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， （1）当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； （2）当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； （3）结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1）y轴，或； （2）； （3）①向左平移个单位长度；②． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象性质、解不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合图象可得，求解即可； （2）分别求出当时，的函数值，在结合图象即可得出答案； （3）①由再结合图象即可得出答案； ②由可得，的图象关于对称，点关于的对称点为再根据进而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，结合图象可得，函数的图象关于y轴对称， 又令 ， 或， 故答案为：y轴，或； 【小问2详解】 解：函数的图象如图： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； ∴的图象关于对称， ∴点关于的对称点为， ∵若点和都在函数的图象上，且 解得：． 26. 如图1，边长一定的正方形中，为边上一个动点，交对角线于，过作交于． （1）求证：； （2）若过作于点（如图2），求证：； （3）若连接，交于点，，，，求与之间的关系式． 【答案】（1） 证明如下： 过点作于点，交于点 ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴． （2） 证明如下： 连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，，由（1）得， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合，解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活构造全等三角形，进行解答，即可． （1）过点作于点，交于点，先证明是等腰三角形，得，再证明，即可； （2）连接交于点，证明，得到，即可； （3）延长至点，使得，连接，过点作交于点，得，证明，得，再证明，得，，然后证明，得，根据勾股定理，求出，则，最后根据勾股定理，即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：延长至，使得，连接，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $