12.3 三角形中的主要线段 课件 2025--2026学年北京版八年级数学上册

12.3三角形中的主要线段 1.填表： 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 温故 三角形的高 一、 三角形的高的定义 A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示； 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高, AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C BE=EC E 三角形的中线 二、 (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系? 三条中线， 交于一点 议一议 三角形的角平分线 三、 思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C A D 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的性质 三角形的三条高的特性 三条高所在的直线是否相交 三条高是否相交 高的数量和位置 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3条都在内部 1条在内部 2条在边上 1条在内部 2条在外部 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 性质： （1）三条高或高所在的直线交于一点，称为垂心，用H表示. 2）锐角 三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点处，钝角三角形的垂心在三角形外部. 注：见高想90度和面积. 【探究3】 对应训练 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短， 可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC ＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 试一试 小技巧：等面积法--》 两种不同方法来表示三角形的面积 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到线段间怎样的数量关系？ A C B 三角形的中线 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C D 定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线. 几何语言 2.表示中线的方法：三种 （1）AD是三角形ABC边BC上的中线 （3）D为边BC的中点 A B C D 画图发现 A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 你有什么发现呢？ 三角形三条中线相交于一点,这个点叫做三角形的重心。 任何三角形的重心在三角形内部。 【探究4】画下列各三角形的三条中线 如图，⊿ABC中，AD是BC上的中线. ⑴作BC上的高； 发现规律： . ⑵比较S△ABD S△ACD(填“＞”、“＜”或“=”) = 拓展思考 E 等底同高 三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分. 即 三角形的中线平分三角形的面积. 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC 3cm2，则S△ABC =______. 12cm2 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? A B C 三角形的角平分线 结论： ∠AOC= ∠BOC 相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD; 不同点是：前者是射线，后者 是线段. 1.定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线 【探究5】画下列各三角形的三条角平分线 符号语言: ∵AD是⊿ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD 三角形三条角平分线相交于一点, 这个点叫做三角形的内心。 任何三角形的内心在三角形内部。 = ∠BAC 例1.下列命题中，正确的有 （填序号）. ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的高、中线、角平分线都是线段； ③一个三角形有三条高、三条中线、三条角平分线； ④三角形的三条中线相交于一点，但三条高未必相交于 同一点。 ② ③ ④ 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 知识归纳 如图，在⊿ABC中， BC边上的高是 ； 在⊿AEC中，AE边上的高是 ； EC边上的高是 ； AC边上的高是 ； 如图，若BC=CD=DE，则AC、AD分 别是⊿ 和⊿ 的中线； AB CD AB EF ABD ACE 课堂检测 当堂练习 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 5.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB= 2＿＿, BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 ∠4 AC ∠ABC $$