12.3 三角形的中的主要线段（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.3 三角形的中的主要线段 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 4．（23-24八年级上·广西贵港·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 6．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期中）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 题型三 网格中计算三角形的面积 9．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）图中每个小方格的边长是，求这个六边形的面积． 10．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．    11．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)在边上画出点，使的面积恰好是的面积的一半； (3)已知为轴上一点，若与的面积相等，写出点的坐标． 12．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点．    (1)画出平移后的，并写出和的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 题型四 与三角形高有关的计算 13．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 14．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，中，平分，，，若的面积等于，则的面积为（    ）    A．12 B．6 C．3 D． 15．（24-25八年级上·北京·期中）某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元．（用含a的代数式表示） 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，是的平分线，已知，则 。 17．（22-23八年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若x轴上有一点C，且，求点C的坐标． 题型五 利用三角形的中线计算三角形的长度/周长 18．（2021·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ．    20．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ． 21．（22-23七年级下·北京西城·阶段练习）如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 22．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 题型六 利用三角形的中线计算三角形的面积 23．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的中线，是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 24．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，点为边上的一点，且，连接，平分交于点，连接，若面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 26．（22-23八年级上·北京·期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．    (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 题型七 三角形角平分线有关的计算 27．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， 的平分线交外角的平分线于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 30．如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．    题型八 三角形高、中线、角平分线综合 31．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线． (1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ． (2)当，时，求的度数． 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 33．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 34．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，． (1)的大小． (2)若是的中线，且，面积为40，求的长度． 35．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 题型一 等底同高的三角形的有关的计算 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．和 2．（21-22八年级下·北京海淀·期中）如图，，，的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 题型二 应用等面积法求线段长 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 题型三 探究三角形的边、角、线 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 10．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图所示．、分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 1．（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 2．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 3．（24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 三角形的中的主要线段 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（23-24八年级上·广西贵港·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、中线、高以及角平分线，可根据折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等，进行作答． 【详解】A、根据折叠后对应角相等可知：，是的平分线，选项说法正确，符合题意； B、根据折叠后对应边相等可知：且，并非边中线，选项说法错误，不符合题意； C、根据折叠后对应角相等可知：且，，，但并不是的高，因此选项说法错误，不符合题意； D、由于选项A说法正确，因此该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：4． 6．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期中）如图方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点，即可作出上的高； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 题型三 网格中计算三角形的面积 9．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）图中每个小方格的边长是，求这个六边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：方法①， 方法②， 方法③等积变形成正方形． 10．（24-25八年级上·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．    【答案】图见解析，的面积为10 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质，描出点A、B、C并作出，过点A作交于点D，再利用三角形的面积公式计算即可，掌握三角形的面积是解题的关键， 【详解】解：如图，描点并作，   ，， 轴，， ， ， ， ． 11．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标； (2)在边上画出点，使的面积恰好是的面积的一半； (3)已知为轴上一点，若与的面积相等，写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 (3)或． 【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，三角形的中线的含义，割补法求图形面积，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）在直角坐标系中找出A、B、C关于x轴的对称点，B，，然后顺次连接即可得到，最后写出点坐标即可； （2）利用三角形的中线等分三角形的面积，结合D的横坐标为2，画图即可； （3）根据与的面积相等求出，然后写出P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∴； （2）如图，D即为所求； ． （3）∵，， ∴， ∴， 又， ∴或． 12．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点．    (1)画出平移后的，并写出和的坐标； (2)求的面积； (3)点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)和的坐标分别为 (2) (3)或． 【分析】本题考查了图形与坐标，利用网格求面积，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点A对应点，得出平移的方式为向右1个单位长度、向上3个单位长度，依次把其他对应点描出来，再依次连线，即可作答． （2）运用割补法进行列式，代入数值进行计算，即可作答． （3）先根据点的特征，且结合，得出再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：    ∴和的坐标分别为 （2）解： （3）解：∵的面积等于的面积， ∴ ∵点P在y轴上 ∴ ∴ 则当在的上方时，，则； 则当在的下方时，，则； 综上或． 题型四 与三角形高有关的计算 13．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，，是的平分线，已知，，则 的面积是（   ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积等知识点，过点D作于E，先根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积， 故选：C． 14．（22-23八年级上·广西贺州·期末）如图，中，平分，，，若的面积等于，则的面积为（    ）    A．12 B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】过D点作于E，于F，利用角平分线的性质得，再根据三角形面积公式，利用得到，则，然后利用三角形面积公式计算的面积即可． 【详解】解：过D点作于E，于F，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键在于熟知性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（24-25八年级上·北京·期中）某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元．（用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，    ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 故答案为． 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，是的平分线，已知，则 。 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质得，再由三角形面积公式得到答案． 【详解】解：过点作于， 是的平分线，， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若x轴上有一点C，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标或 【分析】（1）设直线的解析式为：，把点与点代入解方程组即可得到结论； （2）设点C的坐标，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点与点代入得， ∴ ∴直线的解析式为：； （2）解：设点C的坐标， ∵， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标或．    【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与三角形面积的应用，利用三角形面积公式建立等式求出C的横坐标是解题的关键． 题型五 利用三角形的中线计算三角形的长度/周长 18．（2021·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 19．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 20．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以． 又， ， 所以． 又，，的周长为20， 所以． 故答案为：17． 21．（22-23七年级下·北京西城·阶段练习）如图，已知是的中线，且，，则和的周长之差为 ，和的面积之差为 ． 【答案】 /2厘米 /0平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．面积之差等于0． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． 又， ∴，即和的面积之差为． 故答案为：；． 22．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段． 由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，， ，为中点， ， ， 即， 则，， 则． 题型六 利用三角形的中线计算三角形的面积 23．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的中线，是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积问题．其中根据三角形的中线的性质进行解答是解决本题的关键．根据是的中线，可得，再由是中点，可得即可求解． 【详解】解：是的中线，的面积为40， ， ， 是中点， ， 即图中阴影部分的面积是10． 故选：B 24．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，点为边上的一点，且，连接，平分交于点，连接，若面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解： ，平分， ， ，， ， 故选：A． 25．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图，在面积为的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和求三角形的面积，解题关键是运用转化和整体求解的思想．本题应将的面积转变为的面积再来求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是边上的高， ∴ ，且， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为： ． 26．（22-23八年级上·北京·期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．    (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1））过A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴ 故答案为：；    （2）过D作于E，于F， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴；    （3）∵， ∴由（1）知：， ∵， ∴， ∵，平分， ∴由（2）知：， ∴， ∴， 故答案为：16．    【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 题型七 三角形角平分线有关的计算 27．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，若点A在y轴上，点B在x轴上， 的平分线交外角的平分线于点C，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如下图所示，根据三角形角平分线定义，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，得出，然后再根据三角形的外角性质得出． 【详解】解：如图所示， 的平分线交外角的平分线于点C， ，， ，， ， ， ； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形两锐角互余与三角形外角的性质是解此题的关键． 29．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形的内角和是是解题关键．根据角平分线的定义可知，，再结合三角形的内角和是求解即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 30．（19-20八年级上·湖北武汉·期中）如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】利用角平分线的定义，证明，利用四边形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：如图：   点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型八 三角形高、中线、角平分线综合 31．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线． (1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，三角形的外角等知识点，解题的关键是掌握它们的性质． （1）利用三角形的高，角平分线和中线判断即可； （2）利用三角形的角平分线和三角形的外角定理即可求得结果． 【详解】（1）解：根据角平分线的性质和三角形的高可知， 图中所有相等的角为，， 根据三角形中线的定义可知， 图中所有相等的线段为， 故答案为：，，． （2）解：∵是的角平分线， ∴， 又， ． 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 33．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）解：是中点， ∴， 与的周长差为， 或 或， ， 或． 34．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，． (1)的大小． (2)若是的中线，且，面积为40，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的高、角平分线及内角和， （1）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，由是的高得到，利用互余得，然后根据求解； （2）由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． （2）解：∵是的中线，且， ∴， ∵， ∴． 35．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解： 的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解： 是的高， ， ， ； （3）解： ，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 题型一 等底同高的三角形的有关的计算 1．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，，相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而可得，根据现有条件无法得到和的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到和的面积相等， 故选：D． 2．（21-22八年级下·北京海淀·期中）如图，，，的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积． 题型二 应用等面积法求线段长 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 题型三 探究三角形的边、角、线 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 10．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与运用 在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程： 如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线 …… (1)请你接着完成丽丽的探究过程； (2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型． （1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可． （2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可． 【详解】（1）根据三角形面积公式可得 ，，． 是边上的中线， ， ， ； （2）解：在直角中，，，， ， E是的中点， ， ． 11．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图所示．、分别是的角平分线和高． (1)若，，求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． （1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，分别是的角平分线和高， ∴，， ∴， ∴ ． 1．（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义：等高三角形定义及其性质，利用此性质是解题的关键； （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 2．（24-25八年级上·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$