12.2《三角形的性质》 三角形的外角性质 课件 2025-2026学年北京版数学八年级上册

——三角形外角的性质 A B C 12.2三角形的性质 三角形的内角和等于180° 三角形的内角和定理 B A C ∠A+∠B+∠C=180° D B A C 不相邻内角 1 2 3 4 想一想： 外角与相邻内角有什么特殊关系？ 外角 ∠4+∠3=180° 外角与相邻内角的大小不能确定。 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 归纳： 每个外角与相应的内角是邻补角． 相邻内角 观察与思考 观察下面一组图形中∠ 1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ B C A 1 D A C B 1 D A C B 1 D 外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角. 三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上; 2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线. · · · 画一个三角形，再画出它所有的外角. 想一想: 1. 每一个三角形有几个外角？ 2. 每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3. 这些外角中有几个外角相等？ 4. 三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系？ A B D E F C 外角 A B D E F C 外角 9 8 7 6 5 4 3 2 1 B C A 　　1. 每一个三角形都有 外角; 2. 每一个顶点相对应的外角都有 4. 一个三角形的每一个外角对应一个 和两个 3. 这6个外角中有 外角相等； 6个 2个； 3对 相邻的内角 不相邻的内角. 在图1中，∠CBD是△ABC的外角，则∠CBD+∠ABC=( ) A B C D 图1 180º 动动小手:在一张白纸上任意画一个三角形ABC，如图2，把∠B、∠C剪下拼在一起，放到∠CAD上，看看会出现什么结果？ A B C D 图2 想一想 根据图形计算∠ ACD的大小，通过计算，你发现了什么规律？ B A C D 800 400 60° 120° ∠ACD=∠A+∠B D 因为∠ACD+ ∠ACB=180° 又因为∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° 所以 ∠A+ ∠B=∠ACD 解： A B C 所以∠ACD =180 °－∠ACB 所以∠A+∠B =180 °－∠ACB (邻补角的定义) (三角形的内角和为180 °) (等量代换) 如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A 思考 (等式的性质) (等式的性质) 1 (CE//BA) A E 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？ C B D 画平行线法 D 解：过点C作CE∥AB A B C 1 2 所以∠1= ∠B， ∠2= ∠A 所以∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 所以∠ACD= ∠A+ ∠B E 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 画平行线法 因为CE∥AB (已知) (两直线平行，同位角相等) (两直线平行，内错角相等) (等式的性质) 因为∠1+ ∠2= ∠ACD (已知) (等量代换) ∠ACD 也是___________的外角 A B C D E 因此∠BDC=∠DAC+__________ △ADE △ADC ∠DAE 1、如图∠BDC是________的外角， =∠AED+__________ 应用一 ∠ACD ∠A (<、>)； ∠ACD ∠B (<、>) 结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 D A C B > > ∠ACD= ∠A+ ∠B 三角形的内角与外角的大小关系 A B C D 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ∠B+∠C=∠CAD 2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C 三角形外角的性质： ∠α=___ ∠α=___ ∠α=____ α 45º 20º 35º ∠α=___ α 123º 80º ∠α=___ α 25º 35º ∠α=___ 90º 85º 95º 60º 43º 30º 求下列各图中∠α的度数。 α 60º 30º α 120º 35º α 45º 50º 应用二 1 2 3 A B C 例1 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，你知道它们有什么数量关系吗？为什么？ 三角形外角和定理：三角形的外角和等于360° (外角和：每个顶点处只取一个外角） 例题精讲 例2 如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°.求∠BDC的度数. A B C D ( 51 ° ( 20 ° ( 30 ° E 1 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 30 ° 40 ° (2) 当堂练习 A B D 1 40 ° ( 2 A B C D ( ( ( 70 ° 40 ° ( 2 1 (1) A B C D ( ( ( ( ( 60 ° 60 ° 20 ° 1 2 ( 30 ° 1 2 ( ( 2.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 4 .如图，D是△ABC 的BC 边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°，∠BAC =70°，求： （1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. A B C D 如图：点D在BC上，点E在AD上，比较∠B与∠1的大小。并说明你的理由？ A B C E D 所以 ∠1﹥∠B 1 解： 【我们不通过度量怎么来比较呢？】 所以 ∠1﹥∠EDC 因为∠1是△CED的外角 所以∠EDC﹥∠B 因为∠EDC是△ABD的外角 例题讲解1 A B C 1 2 3 填空：与三角形的每个内角相邻的外角分别有 个，这两个外角是 ，他们的大小 。 ∠1+∠2+∠3 就是△ABC的外角和。 A B C 1 2 3 4 5 6 两 对顶角 相等 探索与思考 ∠1+∠2+∠3= 度 ∠3+ ∠BCA =180°， ∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠ABC=180° ∠1+∠2+∠3= 度 A B C 1 2 3 数学说理： 三角形的外角和为360度。 360 猜一猜 三式相加可得： ∠1+ ∠2 + ∠3+ ∠BAC+∠ABC+ ∠BCA =540° ∠BAC+∠ABC+ ∠BCA =180° ∠1+ ∠2 + ∠3=360° 探索： 例 ：如图D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°， 求：1)∠B 的度数； 2)∠C的度数。 在△ABC中： ∠B+∠BAC+∠C=180° ∠C=180º-40º-70º=70° 解：因为∠ADC是△ABD的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80° 又因为∠B=∠BAD 40° A B C D 70° 80° 例题讲解2 三角形的三个性质 ② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角． ①三角形的一个外角与它相邻的内角． 小 结 $$