精品解析：江苏省连云港市实验学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

连云港市实验学校2024-2025学年第一学期九年级数学阶段测试试题 （时间：100分钟，满分：150分） 注意：请在答题纸上规定的区域内作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （）（）=+ D. 2. 当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 5. 2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径．其中正确的命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A. B. C. 6 D. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 方程的根是________． 10. 关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是______． 11. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 12. 直径为的中，弦，则弦的弦心距为______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 已知的半径为4，弦长为 ，则弦所对的圆周角的度数为______________°． 15. 已知，是方程的两根，则______． 16. 如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，弧的度数为，弧的度数为，动点P在上，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分102分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； （2）这个圆的半径为______； （3）直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 19. 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC． 20. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 22. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 23. 如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 24. 【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： (1)这样的点唯一吗？ (2)点的位置有什么特征？你有什么感悟？ 学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上(点、除外)……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1)，即圆中的弧． 【展示交流】(1)在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为，请你利用图1证明； 【提出问题】(2)展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； 【拓展应用】(3)课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试． 如图2，中，，，．将沿方向平移个单位长度至，点、的对应点分别为点、．是否存在这样的，使得直线上有一点，满足，且此时四边形的面积最大？若存在，求出此时的平移距离；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连云港市实验学校2024-2025学年第一学期九年级数学阶段测试试题 （时间：100分钟，满分：150分） 注意：请在答题纸上规定的区域内作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （）（）=+ D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A．含有4个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元二次方程，故此选项符合题意； C．（）（）=+化简以后不含二次项，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．是分式方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2. 当用配方法解一元二次方程时，下列方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． 故选：D 3. 若圆的半径是5，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与圆O的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可． 【详解】解：∵P的坐标为， ∴． ∵的半径为5， ∴点P在上． 故选：B． 4. 如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解 【详解】解：∵∠AOE=60°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=120°， ∴ 的度数是120°， ∵C、D是上的三等分点， ∴弧CD与弧BC的度数都是40度， ∴∠BOD=80°． 故选C． 【点睛】本题考查邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. 2023年连花清瘟胶囊粒经过两次降价，从每盒元下调至元，设平均每次降价百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为元，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 6. 以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径．其中正确的命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对（1）（2）进行判断；根据确定圆的条件对（3）进行判断；根据垂径定理对（4）进行判断． 【详解】解：在同圆或等圆中能够重合的弧叫做等弧，所以等弧所对的弦相等；所以（1）正确； 在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，所以（2）错误； 不共线的三点确定一个圆，所以（3）错误； 圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）错误． 综上，正确的只有（1）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，圆心角、弧、弦的关系定理，圆的对称性质，弧与圆周角的关系，综合性较强，熟练掌握各个定理及性质是解题的关键，注意定理中应满足的条件． 7. 如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键；延长交于点，连接，构造直角三角形， 然后根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，交于点F，连接， ， 为的中点， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， 在中，由勾股定理可得：， ． 故选：B． 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根， 解得： 设方程的两根分别为 解得： 即 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 10. 关于的方程有一个根是，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于解答即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根是， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根是， 故答案为：． 11. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得：或， 当时，三边，不能构成三角形； 当时，此三角形的周长为， 故答案为：11． 12. 直径为的中，弦，则弦的弦心距为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，如图，过点作于，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出的长．解题的关键是由垂径定理得到，然后由勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作于， ∵弦， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴， ∴弦的弦心距为． 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式．熟练掌握一元二次方程成立的条件和根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程成立的条件，方程根的个数，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【详解】一元二次方程中，，，， 所以， ， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以，即， 解得． 的取值范围是且； 故答案为：且． 14. 已知的半径为4，弦长为 ，则弦所对的圆周角的度数为______________°． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是先根据题意画出图形，连接、，过作，由垂径定理和勾股定理可求出的长，可求出的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接、，过作， 则，， ，， ， 则， ， ， 在上取点，连接、，在优弧上取点，连接、， ， ∴． 故答案为：或． 15. 已知，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和方程的解得到，，，，将原式化简得到，再代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两根， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若，是一元二次方程的两根时，，，是解答本题的关键． 16. 如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，弧的度数为，弧的度数为，动点P在上，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于的对称点F，连接，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时的最小值为． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点F，连接，与交于点P，连接． ∴， ∴， ∴的值就是的最小值． 延长，与圆O交于点E，连接． ∵弧的度数为， ∴弧的度数为， ∵弧的度数为， ∴弧的度数为， ∴弧的度数为：， ∴， 又∵是直径， ∴， ∵的半径为4， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，解决线路最短问题的方法是：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的线段即为最近距离．依据是利用垂直平分线性质转移线段，利用两点之间线段最短求最近距离． 三、解答题（本大题共8小题，满分102分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）将方程整理为，再直接开平方解方程； （2）先求出判别式，得到，再由求根公式解方程； （3）将方程整理为，再利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 由得， 直接开平方得，， 或， 解得，； 【小问2详解】 由题知，，， ， 由于，所以方程有两个不相等的实数根， ， ，； 【小问3详解】 由， 变形得， 即， 或， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，、、． （1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； （2）这个圆的半径为______； （3）直接判断点与的位置关系．点在______（填内、外、上）． 【答案】（1） （2） （3）内 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了点与圆的位置关系，勾股定理． （1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【小问1详解】 解：如图，圆心的坐标为； ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即的半径为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴点在内． 故答案为：内． 19. 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC． 【答案】 证明：如图，连接. ∵， ∴. ∴，即. ∴. ∴. 【解析】 【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 20. 已知一元二次方程． （1）当其中一个根为时，求另一个根． （2）证明不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的关系：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． （1）将代入方程，求出a的值，再用因式分解法解一元二次方程即可； （2）证明根的判别式即可． 【小问1详解】 解：是方程的根， ，得； ， 方程为，即， ， 解得，， 另一个根为． 【小问2详解】 证明：略． 21. 如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移，四块草坪可以拼成一个矩形，设道路的宽为，则拼成矩形的长和宽分别为，，根据草坪的面积是列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽为． 22. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【答案】（1）0和1 （2） 不存在“优值”． 理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 ∵当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， ∴和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设“优值”为，则有， 整理得：， ∵两个“x优值”差为5， 或 或 23. 如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问： （1）当为何值时，的面积等于？ （2）当为何值时，是直角三角形？ （3）是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当或时，的面积等于 （2）当或或时，是直角三角形 （3）存在，当时，的面积最小，为 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； （1）由题知，，，根据的面积等于，列方程求解即可； （2）当时，易得是直角三角形；当时，易得，均为锐角，当时， 证明，推出，代入可得关于的一元二次方程，解方程即可，综合可得的值； （3）利用割补法表示出的面积，转化为关于的式子，根据二次函数的性质，求得当时，的面积最小，为． 【小问1详解】 由题知，， ， 由得，， 解得，， 当或时，的面积等于． 【小问2详解】 四边形是矩形， ，，， ， 当时，点P与点A重合，点Q与点B重合，，是直角三角形； 当时，易得，均为锐角，当时，是直角三角形， 此时， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，， 当时，点P与点B重合，点Q与点C重合，符合题意； 综上可知，当或或时，是直角三角形． 【小问3详解】 存在，当时，的面积最小，为，理由如下： ， ， ， 由解得， 当时，的面积最小，为． 24. 【探究情境】在“圆周角”一课的探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： (1)这样的点唯一吗？ (2)点的位置有什么特征？你有什么感悟？ 学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上(点、除外)……小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1)，即圆中的弧． 【展示交流】(1)在展示交流中经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形外部，我们记为，请你利用图1证明； 【提出问题】(2)展示交流后，小华同学提出了下列新问题，请你帮助解决． ①该弧所在圆的半径长为________； ②面积的最大值为________； 【拓展应用】(3)课后，小华所在学习小组应用本组的探究结果，解决了下面这个问题，请你也试一试． 如图2，中，，，．将沿方向平移个单位长度至，点、的对应点分别为点、．是否存在这样的，使得直线上有一点，满足，且此时四边形的面积最大？若存在，求出此时的平移距离；若不存在，说明理由． 【答案】 （1）证明：设交于， 由圆周角定理知， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）①4；②；（3） 【解析】 【分析】（1）设交于，由圆周角定理知，由是的外角，则； （2）①设为圆心，连接，，根据圆周角定理得到，证明是等边三角形，可得半径； ②过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大，求出，根据三角形面积公式计算即可； （3）以为直角边作等腰直角三角形，以为圆心的长为直径作，当点在优弧上时，则，当与相切，面积最大，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：①设为圆心，连接，， ， ，又， 是等边三角形， ，即半径为， 故答案为：； ②以为底边，， 当点到的距离最大时，的面积最大， 如图，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，以为底，则当与重合时，的面积最大， ，， ， ， 的最大面积为， 故答案为：； （3）如图所示，以为直角边作等腰直角三角形，以为圆心的长为直径作，当点在优弧上时，则 ∵四边形是平行四边形，高为，则当取得最大值时，面积最大， ∴与相切，面积最大， ∵中，，，． 则，即半径为， 如图所示，过点作于点，连接交于点， 在中， ∴ ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $