精品解析：贵州省铜仁市铜仁一中初级中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年八年级下学期第一次质量检测卷 数 学 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列四组线段中，可以首尾相接构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 6，8，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，勾股定理逆定理，根据三角形中三条边满足较短两边的平方和等于长的一边的平方，这样的三角形叫做直角三角形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，1，2，3不能构成三角形，故不符合题意； B、，2，3，4不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，，，能构成直角三角形，故符合题意； D、，，，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 2. 一个多边形的内角和为1 440°，则此多边形的边数为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】设此多边形的边数为n,由题意得 (n-2) ×180=1440, 解之得 n=10. 故选B. 3. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 4. 在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，取的中点，连接，得出是等边三角形，则，进而求得的度数． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，，，， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 5. 下列选项中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 斜边和一直角边分别对应相等 C. 两条直角边分别对应相等 D. 三条边长分别对应相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可． 【详解】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意； B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意； C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意； D．三条边长分别对应相等，根据可判定全等，故此选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（ ） A. 32° B. 62° C. 58° D. 68° 【答案】C 【解析】 【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠DEF＝∠ABC＝32°， ∴∠DFE＝90°﹣32°＝58°． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 7. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．过作于，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：过作于， 则，， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握四边形内角和定理是解题的关键． 根据题意，由直角三角形两锐角互余，对顶角相等得到，结合图示得到，在四边形中，由四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵重力的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵正方体小木块静止在斜面上，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行 ∴， 在四边形中，， ∴摩擦力与重力方向的夹角的度数为， 故选：B ． 9. 如图，△ABC中∠A=100°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线且相交于O点，则∠BOC的度数为（ ） A. 110° B. 120° C. 130 ° D. 140° 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵∠A=100°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°， ∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×80°=40°， 在△BCD中，∠D=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-40°=140°． 故选D． 10. 如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形的对角线互相平分得，，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论： ①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：由题意：易证为等腰直角三角形， ∵点D是的中点， ∴，平分，且， ∴， 又， ∴， ∴， ①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ②正确； ∵ ， 又， ∴， ∴， 但很明显是变化的， ∴也是变化的， ∴③不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴④正确， 即正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是证明出和全等． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，先求出，由长求出即可． 【详解】解： 直角三角板 的刻度分别为 在直角三角形中，． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 【答案】20° 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BCD=∠A=70° ∵DB=DC， ∴∠DBC=∠DCB=70° ∵CE⊥BD ∴∠CEB=90° ∴∠BCE=90°-∠DBC=20°． 故填20°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 16. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，，均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质等，由等边三角形的性质得，进而得，由等腰三角形的性质得，故得，再利用直角三角形的性质可得，，即得到的边长为，据此解答即可求解，由等边三角形和直角三角形的性质找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴同理可得，，， ∴， ∴，， ∴的边长为， 的边长为， 的边长为， ， ∴的边长为， ∴的边长为， 故答案为：． 三、解答题（第17—22题各10分，第23、24题各12分，第25题14分，共98分） 17. 一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小 60，求这个正多边形的边数． 【答案】9 【解析】 【分析】设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数． 【详解】设正多边形的外角为x度，则内角为(5x−60)度 由题意得： 解得： 则正多边形的边数为：360÷40=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角． 18. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】 证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】略 19. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【答案】 （1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13， ∴AC==5， ∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2， ∴∠ADC=90°； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°； （2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）S阴影=S△ABC-S△ACD = = =24． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力． 20. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【详解】略 21. 已知：如图，中，，，是角平分线， （1）求证． （2）如果，求到的距离． 【答案】（1） 证明：∵中，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）到的距离为 【解析】 【分析】（1）根据中，，，求出，根据角平分线的性质，得出，证明，得出，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半证明结论即可； （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， 在中根据勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 即到的距离为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半． 22. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．由四边形是平行四边形，可得，，进而证明，即可得出． 【详解】略 23. 如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东方向，然后向正东方向航行海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东方向． （1）求的长度． （2）若轮船由C点继续往正东方向行驶海里到点D处，求的距离(精确到1海里)．（） 【答案】（1）的长度为海里 （2）的距离约是海里 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：，，再利用三角形的外角性质可得到，从而得到海里； （2）过点作，垂足为点，在中，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出、，从而求出，然后在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：，， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴（海里）， 答：的长度为海里； 【小问2详解】 如图，过A作于E， ∴是直角三角形 ∵， ∴（海里）， ∴海里， 由勾股定理可得：（海里）， ∴（海里）， 答：的距离约是海里． 【点睛】本题考查了解勾股定理的应用，方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，垂足分别为、，为中点，与、分别交于点，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）试探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：于点， ， ， ， ； （2） 证明：于点，于点， ， ， 在和中， ， ； （3） ， 理由：如图，连接， 在和中， ， ， ， ，为中点， ， 垂直平分， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由于点，得，则，所以； （2）由于点，于点，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （3）连接，先证明，得，由，为中点，得，则，由勾股定理得，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定性质、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 25. 如图，在四边形中，，，平分． （1）如图，若，，则 （2）问题解决：如图，求证：； （3）问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1） （2） 解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 解：如图，在上取， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）若，可得，，再根据角平分线的性质即可求解； （）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （）如图，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（）可得，，然后利用三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期第一次质量检测卷 数 学 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列四组线段中，可以首尾相接构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 6，8，12 2. 一个多边形的内角和为1 440°，则此多边形的边数为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角对应相等 B. 斜边和一直角边分别对应相等 C. 两条直角边分别对应相等 D. 三条边长分别对应相等 6. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（ ） A. 32° B. 62° C. 58° D. 68° 7. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC中∠A=100°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线且相交于O点，则∠BOC的度数为（ ） A. 110° B. 120° C. 130 ° D. 140° 10. 如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，，垂足分别为M，N，点G，H分别在，边上，．若，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 10 12. 如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论： ①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 在中，，，则______． 14. 将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为_______． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝_______． 16. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，，，均为等边三角形，若，则的边长为______． 三、解答题（第17—22题各10分，第23、24题各12分，第25题14分，共98分） 17. 一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小 60，求这个正多边形的边数． 18. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 19. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 20. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 21. 已知：如图，中，，，是角平分线， （1）求证． （2）如果，求到的距离． 22. 如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 23. 如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东方向，然后向正东方向航行海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东方向． （1）求的长度． （2）若轮船由C点继续往正东方向行驶海里到点D处，求的距离(精确到1海里)．（） 24. 如图，在中，，，，垂足分别为、，为中点，与、分别交于点，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）试探索，，之间的数量关系，并说明理由． 25. 如图，在四边形中，，，平分． （1）如图，若，，则 （2）问题解决：如图，求证：； （3）问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $