专题2.2 基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

2.2 基本不等式 1. 基本不等式: 如果（当且仅当时等号成立）, 其中为这两个正数的几何平均数，为这两个正数的算术平均数，即两个正数的几何平均数小于等于它们的算术平均数. 2.利用基本不等式求最值： 已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值（简记：积定和最小）； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值（简记：和定积最大）. 3.基本不等式的常见结论： （1）， （2） （3） 以上不等式等号成立的条件均为. （4）当时,；当. （5）若,当且仅当时,等号成立. 1.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T1】已知，则函数的最大值是(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版必修一P48 习题2.2 T4】已知，，均为正实数． 求证：． 若，求证：． 考点一 利用基本不等式求最值 【典例精讲】 例1.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)（多选）已知，且，则下列结论正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 例2.(2025·广东省·月考试卷)下列命题中的真命题有(    ) A. 当时，的最小值是 B. 的 最小值是 C. 当时，的最大值是 D. 若正数，为实数，若，则的最大值为 【方法储备】 利用基本不等式求最值，通常有三种方法： 1.拼凑法：对题目代数式进行“添项、拆项、变系数”等方法凑成“和为定值”或“积为定值”，再利用基本不等式求解； 2.巧用“1”法：根据求解将已知条件变换为常数“1”，再将“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或替换某个部分，进而构造成和或积为定值，再利用基本不等式求解. 3.消元法：先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围. 特别提醒：在利用基本不等式求最值过程中需要注意变量为正数的要求及等号成立条件的验证. 【拓展提升】 练1-1(2025·云南省临沧市·期末考试)（多选）已知实数满足，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 练1-2(2025·江西省赣州市·期末考试)若，，且，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 练1-3(2025·湖北省襄阳市·月考试卷)若，，，则的最小值为          ． 考点二 利用基本不等式解决恒成立和存在性问题 【典例精讲】   例3.(2025·天津市市辖区·模拟题)若，，且恒成立，则的最大值为      ． 例4.(2024·江苏省徐州市·期末考试)若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【方法储备】 利用基本不等式解决恒成立和存在性问题 此类问题一般先利用参变分离转化为求函数的最值，转化过程中注意以下结论： 恒成立问题:①若在区间上存在最小值，则不等式在区间上恒成立 ②若在区间上存在最大值，则不等式在区间上恒成立 存在性问题:①若在区间上存在最大值，则在区间上存在使成立 ②若在区间上存在最小值，则在区间上存在使成立 【拓展提升】 练2-1(2024·安徽省亳州市月考)在中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-2(2024·山西省大同市期末)不等式对于，恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 考点三 基本不等式的实际应用 【典例精讲】   例5. (2025·全国·同步练习)如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为，沿折叠使点到点位置，交于点研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 利用基本不等式解决实际问题 在实际问题中首先根据题意列出函数表达式，再利用基本不等值进行求解，过程中注意函数定义域，验证基本不等式成立的条件. 【拓展提升】 练3-1 (2024·河南省·联考题)某合作社需要分装一批蔬菜已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要天完成，只由一名女社员分装时，需要天完成为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕由于现有的男女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共千克则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量千克与女社员的平均损耗蔬菜量千克之和的最小值为(    ) A. B. C. D. 练3-2 (2025·江西省南昌市·期末考试)爬山是一项简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但在爬山过程中要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为，下山原路返回的速度为，乙上、下山的速度都是，两人上、下山途中不停歇，则甲、乙两人上、下山所用时间之比为          ；甲、乙两人上、下山所用时间最少的是          填甲或乙． 考点四 基本不等式的其它综合应用 【典例精讲】 例6. (2023·黑龙江省绥化市期末)（多选）若实数，满足，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 例7. (2024·江苏省淮安市模拟)在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 基本不等式是解决最值问题的一种常用方法,在解决最值问题中具有广泛的应用,数列、三角函数、解析几何、立体几何、向量等问题中的最值,常用基本不等式求解. 【拓展提升】 练4-1.(2023·江苏省南通市模拟)函数的最小值是         ． 练4-2.(2023·浙江省赣州市联考)已知正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 1.(2025·天津市·期中考试)如图所示，在直角梯形中，，，，，动点在边上，且满足 均为正实数，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·广东省·期末考试)（多选）下列说法正确的有(    ) A. 若，则的最大值是 B. 若，，都是正数，且，则的最小值是 C. 若，，，则的最小值是 D. 若实数，满足，则的最大值是 3.(2025·河北省保定市·月考试卷)近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展出具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用万购进一批盲盒生产线，每年可有万的总收入，已知生产此盲盒年为正整数所用的各种费用总计为万元． 该公司第几年首次盈利总收入超过总支出，今年为第一年？ 该公司第几年年平均利润最大？最大是多少？ 【答案解析】 1.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T1】 解：因为，所以， 所以函数， 当且仅当即时取等号． 故选A． 2.【人教A版必修一 P48 习题2.2 T4】 证明：因为，，都是正数， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以； ， 当且仅当时等号成立．． 例1. 解：，且， 对于，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故错误 对于，， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故正确 对于，，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于，， 利用二次函数的性质知，当时，取得最小值，无最大值， 所以， 所以，的最小值为，故错误． 故选BC． 例2. 解：对于选项A因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选项 A正确； 对于选项B因为， 等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项 B错误； 对于选项C因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故选项 C正确； 对于选项D由得，故，当且仅当时取等号，故选项 D错误． 故选AC． 练1-1. 解：对于：因为，，，所以，即， 解得当时取等号，故A正确； 对于：由，得， 所以(当，时取等号，故B正确； 对于：由选项可得当时取等号，故C错误； 对于：由选项可得，又由知， 所以，所以当时取等号，故D错误． 故选：． 练1-2. 解：若时，显然不成立， 故，由，得， 由于，则 ，解得 ， 则 ， 当且仅当时，取等号， 故的最小值是．故选B． 练1-3. 解：，，， ， 当且仅当， 即， 即，或，时取“”； 上式的最小值为．故答案为：． 例3. 解：根据题意，，则， 又由， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为， 因为恒成立，又由，则的最大值为 故答案为． 例4. 解：由于，则， ， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取得最小值． 则不等式有解，可转化为成立， 即，解得或． 故选A． 练2-1. 解：在中，，所以，即， 所以，即， 又，即，所以，且， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时有最小值， 因为不等式恒成立，所以 ，解得， 则实数的取值范围为．故选A． 练2-2. 解：因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 由于，，则令，则，对于恒成立， 由对勾函数性质可知函数在上单调递减， 所以的最大值为，此时，所以，即， 所以的取值范围是． 故选A． 例5. 解：如图所示： 设，由矩形的周长为，可知，且， 设，则， ，，， ，． 在中，由勾股定理得：  ， 即， 解得， 所以， 所以的面积为： 所以， 当且仅当时，取得等号， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选B． 练3-1. 解：设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量千克与女社员的平均损耗蔬菜量千克之和的最小值为． 故选：． 练3-2. 解：设上山路程为， 则甲上、下山所用时间为，乙上、下山所用时间为， 甲、乙两人上、下山所用时间之比为． 且，， ，， ， 乙上、下山所用时间最少． 故答案为，乙． 例6. 解：， ，设，则由题意得 ，即因为， 即，当且仅当，即时等号成立， 解得，所以的取值范围是．   例7. 解：因为在中，， 所以由余弦定理得，，化简得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当，时取得最大值， 则的最大值为． 故选：． 练4-1. 解：，易知， 由， 得 ， 当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值是． 故答案为：． 练4-2. 解：因为正实数，满足， 可得， 当且仅当时，取等号， 即得，解得或， 又，所以， 即的最小值为． 故答案为：． 1.解：由题意得， ， ． 又，，三点共线，，即， 又，均是正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立．故最小值为． 故选B． 2.解：对于，因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即，等号成立，此时有最大值，故A正确 对于，若，，都是正数，且，即，，， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是，故B正确； 对于，因为，，所以，即， 因为，所以， 所以，整理得， 解得舍去或， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C错误 对于，已知，则，，不妨设， 设，，则，，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故D正确． 故选ABD． 3.解：设利润为万元，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利． 首先， 由得年平均利润万元， 当且仅当，即万元时等号成立， 故该公司第年年平均利润最大，为万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$