第19讲 数列的概念及其表示　讲义——2026届高三数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破

第19讲 数列的概念及其表示 内容预览 知识清单 知识点01.数列的有关概念 知识点02.数列的分类 知识点03.数列与函数的关系 知识点04.两个常用结论 知识点05.数列的函数性质 题型讲解 题型一：由an与Sn的关系求通项公式 题型二：由数列的递推关系求通项公式（累加法） 题型三：由数列的递推关系求通项公式（累乘法） 题型四：数列的性质（数列的单调性） 题型五：数列的性质（数列的周期性） 题型六：数列的性质（数列的最值） 好题必刷 知识清单 知识点01.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 知识点02.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点03.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 知识点04.两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 知识点05.数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 题型方法 【题型一】 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式3】（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【题型二】 由数列的递推关系求通项公式（累加法） 【例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则的值为 . 【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 【题型三】 由数列的递推关系求通项公式（累乘法） 【例3】（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【变式4】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【题型四】 数列的性质（数列的单调性） 【例4】（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ． 【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【变式4】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若对，都有，则称与为“k级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的个数． 【题型五】 数列的性质（数列的周期性） 【例5】（2025·重庆·三模）已知，则数列前2025项的第1百分位数是（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列满足，，，则的个位数字是 ． 【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）数列满足，若，则 ． 【变式4】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【题型六】 数列的性质（数列的最值） 【例6】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【变式1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏·三模）已知数列满足，，.设，若不等式对于任意都成立，则正数的最大值为 . 【变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·山东泰安·模拟预测）定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．无法判断大小 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 7．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·海南海口·模拟预测）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 10．（2025·福建泉州·模拟预测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 三、填空题 11．（2025·湖北黄石·模拟预测）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则整数的最大值为 . 12．（2025·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则 . 13．（2025·全国·二模）已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为 ；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 . 四、解答题 14．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 15．（2025·湖北·三模）若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列在椭圆上，则称为“下蛋点列”．已知抛物线的焦点为，数列满足，点在抛物线C上． (1)求，． (2)若，记，． ①证明：； ②若点列是“下蛋点列”，请判断是否恒为偶数，并说明理由． 16．（2025·福建福州·模拟预测）记为正整数，的最大公约数，正整数数列满足. (1)求时，求，； (2)当时，求所有满足的正整数； (3)当时，证明：不存在满足的正整数. 17．（2025·甘肃白银·模拟预测）设和是整数数列，若对于任意，都有，我们就称数列和为一组耦合数列. (1)若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； (2)若数列和为一组耦合数列，证明：； (3)若数列和为一组耦合数列，探究是否存在，使得对于某个，从，，…，中任取一个数，这个数是c的概率大于.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例. 18．（2025·广东广州·三模）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 19．（2025·湖南·模拟预测）已知正整数，定义聚合数列如下：设已知，此后每一项取值为其前项平均数的相反数，即，其中. (1)对于聚合数列，若，求； (2)对于聚合数列，记为中的最大值，求证： （i）若的正负不全相同，则存在实数，使得且； （ii）存在正整数，使得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 数列的概念及其表示 内容预览 知识清单 知识点01.数列的有关概念 知识点02.数列的分类 知识点03.数列与函数的关系 知识点04.两个常用结论 知识点05.数列的函数性质 题型讲解 题型一：由an与Sn的关系求通项公式 题型二：由数列的递推关系求通项公式（累加法） 题型三：由数列的递推关系求通项公式（累乘法） 题型四：数列的性质（数列的单调性） 题型五：数列的性质（数列的周期性） 题型六：数列的性质（数列的最值） 好题必刷 知识清单 知识点01.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 知识点02.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点03.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 知识点04.两个常用结论 (1)若数列{an}的前n项和为Sn，则an= (2)在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则n≥2，n∈N*. 知识点05.数列的函数性质 由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质： (1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an). (2)周期性——若an+k=an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 题型方法 【题型一】 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、前n项和与通项关系、利用an与sn关系求通项或项 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（    ） A．2 B．10 C．11 D．56 【答案】A 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】令 ，可得，再利用求解即可. 【详解】中，令 ， 即， 所以 ， 故选：A. 【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 【变式3】（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 【题型二】 由数列的递推关系求通项公式（累加法） 【例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 【变式1】（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则的值为 . 【答案】1 【知识点】累加法求数列通项 【分析】根据题意利用累加法运算求解. 【详解】因为，可知， 可得，，，， 各式相加可得，即，所以. 故答案为：1. 【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】数列新定义、组合数的性质及应用、累加法求数列通项 【分析】（1）结合等差数列的定义及题设定义求证即可； （2）结合已知设，结合累加法得到，，进而结合组合数公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 则是一阶等差数列，数列为二阶等差数列 （2）因为是“三阶等差数列”，所以是“二阶等差数列”， 设，所以是“一阶等差数列”． 由题意得，，，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有： ， 满足上式，所以 ， 因为满足上式， . 【题型三】 由数列的递推关系求通项公式（累乘法） 【例3】（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、排列数的计算、累乘法求数列通项 【分析】根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果. 【详解】由可得， 即，因此； 因此， 可得， 所以. 故选：B 【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 【变式2】数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 【变式4】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【答案】(1)或 (2)（i）或；（ii）证明见解析 【知识点】数列新定义、累乘法求数列通项、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值. （2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值. （ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题. 【详解】（1）由题知，， 解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，… 以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项， 则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则， 累乘整理，得， 所以时，. 当时，符合上述不等式， 所以，结论得证. 【题型四】 数列的性质（数列的单调性） 【例4】（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由题可得，然后讨论与4的大小可得答案. 【详解】因为，所以. 若，则，不符合题意. 若，则为等比数列，所以. 当时，为单调递减数列，不符合题意； 当时，为单调递增数列，符合题意. 综上，. 【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据的前项和为，为递增数列，可知数列从第二项开始要为正数，然后即可求范围. 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】利用关系得，且得，结合数列的单调性求参数范围. 【详解】由题设， 又各项均不为零，则， 由，则， 又为递增数列，则， 而，即，则， 综上，，即的取值范围是. 故答案为： 【变式4】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若对，都有，则称与为“k级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的个数． 【答案】(1)与是“2级相邻数列” (2) (3) 【知识点】数列新定义、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，求出数列的通项为，数列的通项为，计算即可； （2）分别把与的通项代入，得，构造函数，根据函数单调性求解即可； （3）根据条件集合有共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的 . 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，也成立，所以， 所以， 所以， 所以， 所以与是“2级相邻数列” （2）由， 所以， 又与为“4级相邻数列”，所以，得，又 令，得， 所以单调递减，所以的最大值为，且， 所以， （3）因为与为“1级相邻数列”，所以 当时，有2种不同选择；时，有3种不同选择；时，有3种不同选择，时，有2中不同选择. 由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，所以有共6种不同的情况. 当M＝{1，2}时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）；也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）；还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）. 1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有种不同的情况， 贡献个不同的数列； 同样时也各贡献528个不同的数列； 时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）；也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）；还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列），贡献个不同的数列； 时贡献个不同的数列； 共计有个不同的数列； 即满足条件的数列的个数为3470． 【点睛】思路点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关. 【题型五】 数列的性质（数列的周期性） 【例5】（2025·重庆·三模）已知，则数列前2025项的第1百分位数是（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】总体百分位数的估计、数列周期性的应用 【分析】所求为数列的前2025项从小到达排列后的第21项，由此即可求解. 【详解】因为，故所求为数列的前2025项从小到达排列后的第21项， 当时，， 当时，， 故数列的前2025项有个，个， 所以数列的前2025项从小到达排列后的第21项为. 故选：A. 【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用 【分析】首先令求出m的值，再求出数列的周期，结合周期即可求得，则答案可求. 【详解】令可得， 代入数据得：，解得， 所以， 令，解得，令，解得，令，解得，， 可得数列的周期为3，则， 故选：D. 【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列满足，，，则的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】设数列各项的个位数字构成数列，利用列举法可得出数列是周期为的周期数列，即可得解. 【详解】设数列各项的个位数字构成数列， 因为斐波那契数列满足，，， 则，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 由上可知，，即数列是周期为的周期数列， 因为，故的个位数字是. 故答案为：. 【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）数列满足，若，则 ． 【答案】 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据题意，由递推公式代入计算可得数列是以4为周期的周期数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，则， 不妨取，． 由，可得，， ，， 可发现数列是以4为周期的周期数列． ，所以， 则． 故答案为： 【变式4】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列中，若，记被（为大于1的正整数）除所得余数为，称数列为数列的“模数列”.若存在最小的正整数，使得由构成的集合为，则称为数列的“覆盖周期”.已知数列的前项和为，且. (1)求证：是等差数列； (2)若，数列的公差为的“模4数列”为，求的前50项的和； (3)若，数列的“模6数列”为，求出使数列的“覆盖周期”的数列的公差的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【知识点】数列新定义、由递推关系证明数列是等差数列、数列周期性的应用 【分析】（1）先根据已知两个等式相减，利用得到与关系①；同理推出与关系②；①②相减得出，再代入验证，从而证明是等差数列. （2）先由和公差求出表达式，再分别算出、、、对应的值，根据，用12组的和加上、的值得到结果. （3）已知和表达式，结合范围和正整数条件，分别取，算出和的值，找出满足的. 【详解】（1）已知，. 两式相减： 因为，所以 ① 同理可得 ② ① ②得：，即. 在中令，得， 化简得，所以是等差数列. （2）已知，公差为，则. 分别计算，；，；，；，. ，所以前50项和为. （3）已知等差数列首项，可得，且，，即可能取值为，，，，. 下面我们对的每一个可能取值进行分析： 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 假设是除以的余数，那么的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 由通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，数列的周期为，不满足周期的条件. 当时： 根据通项公式，可得的值依次为. 的值依次为，之后数列会重复出现这个数，即周期，满足题意. 综上，符合条件的的值为或. 【题型六】 数列的性质（数列的最值） 【例6】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 【变式1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项、确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项. 【详解】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得. 所以，. 故选：B 【变式2】（2025·江苏·三模）已知数列满足，，.设，若不等式对于任意都成立，则正数的最大值为 . 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题、确定数列中的最大（小）项 【分析】由已知等式变形得出，可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，可求出的表达式，由参变量分离法得，令，分析数列的单调性，求出的最小项的值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为数列满足，，， 则，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故， 由， 可得， 令， 所以， ， 对任意的，，故，则，故数列为递增数列， 所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用等差数列通项求出，再利用前项和与第项的关系求出. （2）由（1）求出，再作差判断单调性求出最小值. 【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时，，由，得满足上式， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得，则， 当，时，，当，时，， 所以当时，的最小值为. 好题必刷 一、单选题 1．（2025·山东泰安·模拟预测）定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解. 【详解】， ， 两式相减得，所以. 故选：D. 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．无法判断大小 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用递推关系可得，又可得，进而可得，可求. 【详解】因为，所以， 由，可得， 又， 所以， 所以. 故选：B. 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数 【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 4．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、计算古典概型问题的概率 【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案. 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，，则使得成立的最小自然数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式 【分析】化简递推关系可得，证明数列为常数数列，由此求出，进而求解即可.. 【详解】由，则， 所以，则数列为常数列， 又，则，即，为递增数列， 因为，， 所以使得成立的最小自然数为8. 故选：D. 6．（2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项、数列新定义 【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． 7．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD. 【详解】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 8．（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】根据定义，即，再利用累乘，平方后再由根据递推关系可得答案. 【详解】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·海南海口·模拟预测）若数列满足：，已知，则（   ） A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】ABD 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】本题考查数列的递推关系，由数列的递推式求出数列的前4项，再求和即可． 【详解】解：由题意可知，当为偶数时，；当为奇数时，， 因为，所以，则或， 若，则或， 所以或； 当时，则，所以， 综上所述，的所有可能取值为14，15，18． 故选：ABD． 10．（2025·福建泉州·模拟预测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 【答案】BD 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】根据题设递推关系写出前8项并求判断A、B；列举出相关项判断的奇偶性及数列的周期性，并得到相关递推关系判断C、D. 【详解】由题设，， ，，故A错误； 由上分析，，故B正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数， 1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误； 由，，，…，，且，, 所以，又， 故，故D正确． 故选：BD. 三、填空题 11．（2025·湖北黄石·模拟预测）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则整数的最大值为 . 【答案】7 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用，推断数列即可求解. 【详解】当时，或或， 当时，若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 所以当时，， 所以要涉及最多的不同的项数列可以为：， 所以整数的最大值为7. 故答案为：7. 12．（2025·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则 . 【答案】609 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由题意知路线数满足斐波那契递推，从而计算得到结果. 【详解】由题意知，，，，，，…， （且）， 所以路线数满足斐波那契递推，则前14项分别为 则，，，，. 则. 故答案为：609. 13．（2025·全国·二模）已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为 ；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 . 【答案】 6 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】对于①：当时，分、讨论可得答案；对于②：当时，根据容斥原理可得答案. 【详解】对于①：当时，数列共有种可能.需满足， 分情况讨论： ：可取0，1，2，对应，共3种； ：可取0，1，共2种； ：可取0，共1种； 总数为. 对于②：当时，数列共有种可能. 需满足存在至少一个三元组满足条件： 计算满足前三个条件的数列数目：前三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算满足后三个条件的数列数目：后三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算同时满足两个条件的数列数目：需满足，，有4种可能. 根据容斥原理，总数为，所以概率为. 故答案为：6；. 四、解答题 14．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、递推法求概率、独立重复试验的概率问题、构造法求数列通项 【分析】（1）计算出小球落入袋、袋的概率，可得出的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得、的值； （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入A袋中（分），由此可得出，推导出数列为常数列，可得出，进而推导出为等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式. 【详解】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋， 故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况： 得到分后的一次游戏小球落入袋中（分）， 或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（分）， 故， 故为常数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 15．（2025·湖北·三模）若圆锥曲线上的点列经过一系列变换后得到的点列在椭圆上，则称为“下蛋点列”．已知抛物线的焦点为，数列满足，点在抛物线C上． (1)求，． (2)若，记，． ①证明：； ②若点列是“下蛋点列”，请判断是否恒为偶数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①证明见解析 ；②恒为偶数，理由见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）先由焦点坐标求出抛物线方程，再由点在抛物线C上，得到，由依次可求得，的值； （2）①由，再结合累乘法证明；②由，变形得，从而，结合累加法化简得到，又，从而得证. 【详解】（1）因为焦点为，所以，抛物线方程为， 点在抛物线C上， 故，故， 于是，． （2）由（1）可知， ①． 累乘得． 又，故． ②由题可知，点列是“下蛋点列”，因此先找和的关系． 因为，， 所以， 累加得， 又，故， 结合，故，即， 因此恒为偶数． 16．（2025·福建福州·模拟预测）记为正整数，的最大公约数，正整数数列满足. (1)求时，求，； (2)当时，求所有满足的正整数； (3)当时，证明：不存在满足的正整数. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）根据题目中最大公约数的定义求解即可， （2）利用引理对于正整数，有.并用数学归纳法证明这个引理，并用这个引理结合题目含义得到对于正整数，.即时，不存在满足的正整数从而得到当且仅当满足. （3）先假设存在正整数满足，利用引理：当时，，并用数学归纳法证明这个引理，并用这个引理得到，所以和或，利用这两种情况得到和进而得到矛盾从而证明出不存在满足的正整数. 【详解】（1）当时，因为 所以，. （2）因为 从而满足题意. 引理1：对于正整数，有. 当时，成立. 假设当时，成立； 当时， 从而当时也成立，即引理1得证. 所以对于正整数，有 回到原题，由引理1知：对于正整数，. 即时，不存在满足的正整数 综上所述，当且仅当满足. （3）当时，. 若，则；若，则. 所以，若存在正整数满足，则 假设存在正整数满足，记，则. 引理2：当时，. 当时，成立；当时，成立. 假设当时，成立； 当时， 从而得到，考虑到的最小性，等号不能成立. 所以，从而当时也成立，即引理2得证. 回到原题，显然是严格递增数列，因为，所以. 由引理2可知：，所以. 类似地，可以得到或 当时， 与矛盾 当时， 与矛盾 综上所述，不存在满足的正整数. 17．（2025·甘肃白银·模拟预测）设和是整数数列，若对于任意，都有，我们就称数列和为一组耦合数列. (1)若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； (2)若数列和为一组耦合数列，证明：； (3)若数列和为一组耦合数列，探究是否存在，使得对于某个，从，，…，中任取一个数，这个数是c的概率大于.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例. 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】（1）由耦合数列的性质求解即可； （2）将变形为，再化简可证明； （3）由可知，令，求出从，，…，中任取一个数，这个数是的概率，即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以 ， 即或， 又因为，即，. （2）因为， 所以 . （3）由（2）知，， 因为和是整数数列， 则，使得对于某个，，有， 此时 ， 所以，取此， 则， 令，则到中至少有个等于， 则从，，…，中任取一个数，这个数是的概率大于， 故存在. 18．（2025·广东广州·三模）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】向量垂直的坐标表示、由递推数列研究数列的有关性质、集合新定义 【分析】（1）根据“伴随向量集”的概念写出集合，再根据“好集”的概念判断集合是否为“好集”. （2）先取，根据“好集”的概念，可证明；在利用反证法，证明. （3）根据“好集”的概念，探索集合中元素的构成，得到数列的结构特点，再求. 【详解】（1）根据“伴随向量集”的定义可得： . 因为，，，，，， 所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”. （2）取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即. 因为，所以. 因为，所以存在，或，. 所以. 假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得. 因为，所以异号. 若，则，而，，所以不可能成立； 若，则，而，，所以不可能成立. 故假设错误，即. 又，且，所以. （3）有限集为“好集”，且，，所以. 取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号. 若，则，因为，，所以； 若，则，因为，，所以该式不成立. 类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中. 由. 19．（2025·湖南·模拟预测）已知正整数，定义聚合数列如下：设已知，此后每一项取值为其前项平均数的相反数，即，其中. (1)对于聚合数列，若，求； (2)对于聚合数列，记为中的最大值，求证： （i）若的正负不全相同，则存在实数，使得且； （ii）存在正整数，使得. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】（1）由聚合数列的定义求解即可； （2）（i）只需考虑不为0的情形，取，其中，，结合聚合数列的定义即可得证；（ii）只需考虑，根据聚合数列的定义证明，对任意成立，是固定的小于1的正实数，进一步即可得证. 【详解】（1） （2）（i）只需考虑不为0的情形，否则命题不证自明. 记，不妨设与异号，则， 从而. 根据聚合数列定义，与异号，所以的符号不完全相同， 得到 其中，，取，即二者中的最大值符合要求. （ii）只需考虑，否则命题自证. 若的正负不完全相同，重复使用（Ⅰ）中的步骤 . 设，则，对任意成立. 如果全正或全负，则根据聚合数列的定义，与不同号，此时的正负不完全相同， 可将视为第一项再进行上面的过程，根据聚合数列的定义，显然有. 重复上面的过程可证，对任意成立. 故在最开始便可不不妨设的正负不完全相同.在此基础上再考虑， 亦可不不妨设其正负不完全相同（否则只需要考虑）. 可以得到，对任意成立.是固定的小于1的正实数. 取足够大的正整数满足，从而，则，证毕. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$