专题2.1 不等式的性质与解法讲义-2026届高三数学一轮复习

2.1 不等式的性质与解法 1.实数大小与运算性质之间的关系 （1） ；；. （2） ； 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆 可乘性 的符号 同向可加性 同向 同向同正可乘性 同向，同正 同正可乘方性 同正 同正可开方性 同正 重要结论： ⑴倒数的法则与性质 ① ② ③ ④ ⑵有关分数的性质 若,则 ① ; ②. 1.【人教A版必修一 P43 习题2.1 T7】已知，，，则下述一定正确的是(    ) A. B. C. D. 2.【人教B版必修一P84复习参考题A组 T9】已知，则与的大小关系为          ． 考点一 不等式的性质及应用 【典例精讲】 例1.(2025·广东省·东莞市·期末考试) 若，且，则和的大小关系为          ． 例2.(2024·河北省·月考试卷)（多选）下列大小关系正确的是     ． A. B. C. D. 【方法储备】 比较两个数(式)的大小 ①作差(商)法：作差（作商）变形与0（与1）比较结论； ②单调性法：构造函数，将欲比较大小的数（式）视为函数值，通过函数的单调性比较大小； ③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量； ④赋值法：当两个式子比较大小时，可直接赋值. 【拓展提升】 练1-1(2025·浙江省·温州市调研)已知，，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2(2025·福建省·月考试卷)（多选）若，则(    ) A. B. C. D. 考点二 利用不等式的性质判断命题的真假 【典例精讲】  例3.(2025·四川省成都市·月考试卷)下列说法中，错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 例4. (2025·山东省·月考试卷)（多选） 已知，且，则(    ) A. B. C. 存在，使得 D. 【方法储备】 利用不等式性质判断命题真假 ①直接法：利用不等式的相关性质或函数的相关性质推理证明；举反例证明命题是错误的； ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 提醒：注意题目条件中变量的取值范围,必要时分类讨论. 【拓展提升】 练2-1(2025·河北省石家庄市·期中考试)如果，给出下列不等式： ；；；；；． 其中一定成立的不等式的序号是           ． 练2-2(2025·湖南省·单元测试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题正确的是(    ) A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 考点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例精讲】 例5.(2024·江苏省·苏州市·月考试卷)已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例6.(2025·河北省·石家庄市·模拟题)若实数、、，且，，则的取值范围是          ． 【方法储备】 1.在约束条件下求多变量函数式范围的步骤 已知，求的取值范围． ①设； ②根据恒等变形求得待定系数； ③再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 2.根据不等式的性质求取值范围的策略 (1)严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. (2)同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围. (3)建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 【拓展提升】 练3-1(2025·广东省·揭阳市·月考试卷) 已知实数，，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练3-2(2025·四川省·遂宁市·期中考试)实数满足，，则的取值范围是            1.(2025·湖南省怀化市·月考试卷)若，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 由的取值确定 2.(2025·广西壮族自治区·单元测试)已知，求的范围是            3.(2025·河北省石家庄市·期末考试)（多选） 根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是(     ) A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B. 用一架两臂不等长的天平秤黄金，先将的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金大于 C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于 D. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不论物品价格升降，每次购买这种物品的数量都是一定的；第二种是不论物品价格升降，每次购买这种物品所花的钱数都是一定的．若两次购买时价格不同，则用第二种方式购买更实惠 【答案解析】 1.【人教A版必修一 P43 习题2.1 T7 】 解：，，，故A错误， ，，故B错误， ，， ，， 又，，，故C正确， 设，，，，，则，，故D错误， 故选：． 2.【人教B版必修一 P84 复习参考题A组 T9 】 解：因为  ， 所以  ，故  ． 故答案为：  ． 例1. 解：， 则当时，，， 则， 当时，，， 则，． 综上，． 故答案为：． 例2. 解：对于，， 所以，故A正确； 对于，，所以，又，所以，故B正确； 对于，当时，函数与函数有个交点，， 作出和的图象，如图所示， 结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误； 对于，设，则， 令，则令，则． 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，即，化简得，故D正确． 故选ABD． 练1-1.解：，，则， 因为，故， 所以． 故选：． 练1-2.解：对于选项A：，所以，所以，整理得，故选项A错误． 对于选项B：由于为单调递增函数，故，故选项B正确． 对于选项C：当时，，，故，故选项C错误． 对于选项D：设，所以， 当时，，所以函数在时为单调增函数， 由于，所以， 即，故选项D正确． 故选：．  例3. 解：对，取，，则，故错误 对，由，，得，故正确 对，，由，，得，所以，故正确 对，由，又，所以，故正确， 故选A． 例4. 解：对于，，，所以， 故，故A正确； 对于，，，所以，可得， 同理可得，又因，所以， 故， 故利用基本不等式时等号取不到，故B正确； 对于，，， 由知，，又，若存在，使得 ， 可知，代入可得与已知相矛盾，故 C错误； 对于，将条件变形为， ， 由知，由知，所以，即，故 D正确． 故选：. 练2-1. 解：因为  ， 当，时，显然不成立，故错误； 根据函数在上单调递增，可知当时，，故正确； 当，时，显然不成立，故错误； 当时，显然不成立，故错误； 当，时，，故错误； ， 所以， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 由得，，不能同时取等号， 把以上三个式子相加得：， 即，故正确； 故答案为． 练2-2. 解：，不成立，比如，，此时， ，成立，，则，，即， ，不成立，，所以， ，不成立，若，则， 故选：． 例5. 解：． 设， 所以，解得：， 因为，， 所以， 因为单调递增，所以． 故选：． 例6. 解：解： 可得：，解得：， 把代入得：， 把，代入，得，即， 把代入，得，即， 把代入得，得，即，因为，，为非负数， 可得：解得：． 故答案为． 练3-1. 解：记点，设 则 故选B． 练3-2. 解：设  ， 则， 则  ，解得  ， 所以  ， 因为  ，  ， 所以  ，  ， 可得  ，即  的取值范围为  ． 故答案为：  ． 1.解：依题意， ， 又因为， 所以， 故选C． 2.解：因为， 所以，， 因此， 两式相加可得：， 又因为，所以， 所以， 故答案为． 3. 解：对于：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为， 因为，即， 即圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，故A正确； 对于：设左右臂长分别为，，， 则，则，所以，且， 所以顾客购得的黄金，故B正确； 对于：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立， 即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元，购， 第二次购物时的价格为元，购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为． 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以用第二种方式购买更实惠，故D正确． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$