精品解析：广东省揭阳市惠来县溪西中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度八年级第二学期数学第一次月考试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列各式中，不是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，3，5 3. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A. 的平分线和线段的交点处 B. 的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C. 的平分线和线段的交点处 D. 的平分线和线段的垂直平分线的交点处 5. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则△BCE的面积等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 8. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ） A. 四边形的四个角都是直角 B. 四边形的四个角都是锐角 C. 四边形的四个角都是钝角 D. 四边形的四个角都是钝角或直角 9. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A. 70° B. 120° C. 125° D. 130° 10. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共15分） 11. 用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”：________． 12. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 13. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是_． 14. 如图，已知平分，，，，则的长为______． 15. 如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式 （2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来 17. 若不等式的最小整数解是方程的解，求的值． 18. 已知△ABC中，AB＜BC． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点P（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，AC＝5，BC＝10．求△APC的周长． 19. 若，求当时，m的取值范围． 20. 如图所示，在四边形中，为的中点，连结，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证： 21. 如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若的面积为8，，求的长． 22. 某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案．印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示． （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是__________，乙种收费方式的函数关系式是__________． （2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算． 23. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度八年级第二学期数学第一次月考试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列各式中，不是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有B选项中的式子不是不等式， 故选：B． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，3，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理，即可判断． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行计算，即可选出正确答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项错误； B、，则成立，故此选项正确； C、，则，故此选项错误； D、当时，则，故此选项错误； 故选：B． 4. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A. 的平分线和线段的交点处 B. 的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C. 的平分线和线段的交点处 D. 的平分线和线段的垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与垂直平分线的性质，根据题意可得发射塔必须建在线段的垂直平分线上，且在的平分线上，即可求解． 【详解】解：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上， ∴发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处． 答案：B． 5. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再确定正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的正整数解为：，只有1个； 故选A． 【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解．正确的求出不等式的解集，是解题的关键． 6. 如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．根据图形，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可知，交点 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故选：A． 7. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则△BCE的面积等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得：点E到BC的距离为4，则三角形的面积=8×4÷2=16. 【详解】解：如图： 过E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=8， ∴DE=EF=4， ∵BC=8， ∴×BC×EF=×8×4=16， 故选B． 8. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ） A. 四边形的四个角都是直角 B. 四边形的四个角都是锐角 C. 四边形的四个角都是钝角 D. 四边形的四个角都是钝角或直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”， 可先假设四边形的四个角都是锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 9. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（ ） A. 70° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数． 【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键． 10. 已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）， 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE． ∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE．本结论正确． ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ABD+∠DBC=45°， ∴∠ACE+∠DBC=45°． ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD⊥CE．本结论正确． ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∴∠ABD+∠DBC=45°． ∵∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确． ④∵BD⊥CE， ∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2． ∵△ADE为等腰直角三角形， ∴DE=AD，即DE2=2AD2． ∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2． 而BD2≠2AB2，本结论错误． 综上所述，正确的个数为3个． 故选C． 二、填空题（共15分） 11. 用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义， 根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答； 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 12. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出m的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是； 故答案为：3（答案不唯一） 13. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为600元、标价为1100元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最低折扣是_． 【答案】6折． 【解析】 【分析】利润率不低于10%，即利润要大于或等于：600×10%元，设打x折，则售价是110x元．根据利润率不低于10%就可以列出不等式，求出x的范围． 【详解】设可以打x折， 1100×﹣600≥600×10%， 解得x≥6，即最低折扣是6折． 故答案为6折． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率是解题的关键． 14. 如图，已知平分，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵平分，，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】作点M关于的对称点，连接，则，，当 N，P，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点M关于的对称点，连接，则， ∵是的角平分线， ∴点落在上， ∴， ∴， 当 N，P，在同一直线上，且时， 的最小值等于垂线段的长， 此时，中， ，， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（共75分） 16. （1）解不等式 （2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】（1）；（2），表示解集见解析． 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，化系数为1即可求解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1）， 去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ． （2） 解不等式①，得 ， 解不等式②，得： ， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 所以，这个不等式组的解集是： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17. 若不等式的最小整数解是方程的解，求的值． 【答案】-6. 【解析】 【分析】本题解不等式的步骤，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，解不等式求出x的范围，从而得出不等式的最小整数解，代入方程求得a的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 则该不等式的最小整数解为， 根据题意，将代入方程，得：， 解得：， 则原式． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次方程及代数式的求值，正确求出每一个不等式解集是基础得出a的值是解答此题的关键． 18. 已知△ABC中，AB＜BC． （1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点P（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，AC＝5，BC＝10．求△APC的周长． 【答案】（1）如图，点P为所作；见解析；（2）△APC的周长为15． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作AB的垂直平分线可得到点P； （2）根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，然后利用等线段代换得到△APC的周长＝AC＋BC＝15． 【详解】（1）如图，点P为所作； （2）由作法得AP＝BP， 所以△APC的周长＝AC+PC+AP＝AC+PC+BP＝AC+BC＝15． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 19. 若，求当时，m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】解答本题的关键是根据非负数是性质准确列出方程组．根据非负数的性质，列出方程组，解出的值，然后根据来求m的取值范围． 【详解】解答：解：根据题意，得 ， 解方程组，得 ， ∵， ∴， 不等式的两边同时加，得 不等式的两边同时乘以，得 ∴当时，m的取值范围是． 故答案为： 20. 如图所示，在四边形中，为的中点，连结，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求证： 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，进行边的等量代换以及运算，得是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 则是等腰三角形 ∵， ∴， 21. 如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若的面积为8，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）5 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 22. 某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案．印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示． （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是__________，乙种收费方式的函数关系式是__________． （2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算． 【答案】（1）y=0.11x+6；y=0.12x（2）当100≤x<300时，选择乙种印刷方式较合算；当x=300时，选择甲、乙两种印刷方式都可以；当300<x≤450时，选择甲种印刷方式较合算． 【解析】 【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论； （2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式． 【详解】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得 ，12=100k1， 解得：，k1=0.12， ∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）； （2）由题意，得 当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300； 当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300； 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300； ∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算； 当x=300时，甲、乙两种方式一样合算； 当300＜x≤450时，选择甲种方式合算． 答：印制100～300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算． 【点睛】1．待定系数法求一次函数解析式；2．一次函数的应用． 23. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】（1） （2），16，5 （3）5或11 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． 答：的长为． 【小问2详解】 在中，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，16，5． 【小问3详解】 ①点P在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $