精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年 七年级下学期第一次月考数学试卷

2025年春船山实验中学七年级第一次月考试测试卷（数学） 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元一次方程的是(　　) A. 1－＝3y－2 B. －2＝y C. 3x＋1＝2x D. 3x2＋1＝0 2. 若x=﹣3是方程x+a=4的解，则a的值是（　　） A. 7 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣7 3. 在解方程时，方程两边乘以12，去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 6. 下列等式变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若与是同类项，则（ ） A. B. C. D. 8. 王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ） A. B. C. D. 9. 某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为 A. 240元 B. 250元 C. 280元 D. 300元 10. 关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（　　） A. B. C. D. 二.填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 已知方程组，则的值为________． 12. 当_____时，代数式与的值互为相反数． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 14. 某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水量不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水量超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水________． 15. 要锻造出半径为，高为的圆柱形的零件毛坯，应截取半径为的圆钢_____cm． 16. 若“”是新规定的某种运算，，则中，m的值为______． 17. 一个三位数的十位数字比百位数字小4，且十位数字不为0，个位数字是十位数字的8倍，那么这个三位数是__________ 18. 设一列数中任意三个相邻数之和都是50，已知，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 解下列方程组： （1）； （2）． 21. 用方程解决问题：甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同．甲乙两人能否履行该合同？为什么？ 22. 在小学里我们学过循环小数，如可化成，如果我们要把化成分数，可以以下方法进行． 解：设，即 两边同乘以100，得 即 ∴ 解这个方程，得，即= 试用上面介绍的方法把化成分数． 23. 甲、乙两地的铁路比公路长40千米，汽车从甲地先开出，速度为60千米/时，开出0.5小时后，火车也从甲地开出，速度为80千米/时，结果汽车比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地铁路、公路各长多少千米? 24. 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 25. 如图1，有A、B两动点在线段上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段的某一端点重合则立即转身以同样的速度向的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒 （1）已知米，若B先从点M出发，当米时A从点M出发，A出发后经过 秒与B第一次重合； （2）已知米，若A、B同时从点M出发，经过 秒A与B第一次重合； （3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且米，设米，列方程求s． 26. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春船山实验中学七年级第一次月考试测试卷（数学） 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元一次方程的是(　　) A. 1－＝3y－2 B. －2＝y C. 3x＋1＝2x D. 3x2＋1＝0 【答案】C 【解析】 【详解】分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）． 详解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程； B、分母中含有未知数，不是整式，也不是一元一次方程； C、化简以后是：x+1=0，符合一元一次方程的定义； D、未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程. 故选C． 点睛：判断一个方程是否为一元一次方程关键看它是否同时具备：（1）只含有一个未知数，且未知数的次数为1；（2）分母里不含有字母．具备这两个条件即为一元一次方程，否则不是． 2. 若x=﹣3是方程x+a=4的解，则a的值是（　　） A. 7 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣7 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵x=﹣3是方程x+a=4的解，∴-3+a=4，移项得：a=4+3，a=7，故选A． 3. 在解方程时，方程两边乘以12，去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的性质去分母即可． 【详解】， 方程两边乘以12，去分母后，得到， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次方程的步骤，熟练掌握去分母是解题的关键． 4. 已知关于的一元一次方程，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可． 【详解】∵方程是一元一次方程 ∴， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键． 5. 已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x-1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解． 【详解】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是(x+1)cm，最小的边长是(x−1)cm. 则(x+1)+x+(x−1)=12， 解得：x=4， 则最短的边长是：4−1=3cm. 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的周长，适当的设三边长是关键． 6. 下列等式变形正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：若，当时，不一定成立，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 7. 若与是同类项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此解答． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查同类项的概念，解题的关键是正确理解同类项的概念，本题属于基础题型． 8. 王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了日历中数字的规律以及一元一次方程的应用．根据日历中数字的排列规律，设出其中一个数，表示出另外两个数，再根据三个数的和为45列出方程求解，判断是否符合日历数字特征． 【详解】、在日历中，同一列相邻两个数相差，设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，不是整数，不符合日历数字特征； 故选：． 9. 某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为 A. 240元 B. 250元 C. 280元 D. 300元 【答案】A 【解析】 【分析】由标价的八折得330×0.8，设进价为x元，则利润为（）元，根据利润率=利润÷进价，即可求解． 【详解】解：设进价为x元，则利润为，根据题意得： ， 解得：x＝240， 经检验：x＝240是原方程的解且符合题意， ∴这种商品每件的进价为240元． 故选：A 10. 关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含参数的方程恒成立问题．将原方程变形为关于a的方程，若该方程对a的任意值都成立，则a的系数与常数项均为0，由此可得到关于x，y的方程组，解方程组即可求得公共解． 将原方程变形为，进而可得出这些方程的公共解与关于，的二元一次方程组的解相同，解方程组即可得出结论． 【详解】解：， ， ． 所有这些方程的公共解与关于，的二元一次方程组的解相同， 解得：， 这个公共解是． 故选：A． 二.填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 已知方程组，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的简便运算，熟练掌握通过方程相减直接构造出所求代数式（）的方法是解题的关键． 本题可通过观察方程组中两个方程的特点，用第一个方程减去第二个方程，直接得到的值，无需单独求出和． 【详解】解： ①②得： 故答案为： ． 12. 当_____时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的步骤是解题的关键． 利用相反数的定义列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴当时，代数式与的值互为相反数， 故答案为：． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴把代入，得 ∴， 故答案为：． 14. 某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水量不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水量超过20 m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水________． 【答案】28 m3 【解析】 【详解】∵64>40， ∴小明家用水超过20m3， 设用水量为xm3，则40+3（x-20）=64， 解得x=28， 15. 要锻造出半径为，高为的圆柱形的零件毛坯，应截取半径为的圆钢_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，列出方程，再求解．根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程，求解． 【详解】解：设应截取直径的圆钢， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 16. 若“”是新规定的某种运算，，则中，m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 一个三位数的十位数字比百位数字小4，且十位数字不为0，个位数字是十位数字的8倍，那么这个三位数是__________ 【答案】518 【解析】 【分析】本题考查有理数，根据个位数字是十位数字(不为0)的8倍，可得十位数字为1，进而即可求解 【详解】解：∵个位数字是十位数字(不为0)的8倍， ∴十位数字为1，个位数字为8， 又∵十位数字比百位数字小4，从而可得百位数字为5， ∴这个三位数是518. 18. 设一列数中任意三个相邻数之和都是50，已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了与规律探索，解题的关键是能够找出与运算有关的规律并求解．根据题意求出的值，可得（n为正整数），即可求出答案． 【详解】∵一列数中任意三个相邻数之和都是， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为: . 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程， （1）根据步骤“移项、合并同类项、系数化为”求解即可； （2）根据步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为”求解即可； 解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 【小问2详解】 ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 20. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）由①②解得，再把代入①，求出的值即可； （2）由①②解得，再把把代入②，求出的值即可； 掌握解二元一次方程的方法（代入消元法、加减消元法）并能根据具体情况选用适当的方法求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 ， ①②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 21. 用方程解决问题：甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同．甲乙两人能否履行该合同？为什么？ 【答案】甲乙两人能履行该合同， 设甲乙合作x天完成工程，则， 解得x=12， ∵12<15， ∴甲乙两人能履行该合同． 【解析】 【分析】设甲乙合作x天完成工程，列方程，求解与15比较即可得到答案． 【详解】解：略． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意建立等量关系是解题的关键． 22. 在小学里我们学过循环小数，如可化成，如果我们要把化成分数，可以以下方法进行． 解：设，即 两边同乘以100，得 即 ∴ 解这个方程，得，即= 试用上面介绍的方法把化成分数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，据题目中所给的运算方法，类比计算即可． 【详解】解：设，即， 两边同时乘以1000，得， 即， ∴， 解这个方程得： ， 即 ． 23. 甲、乙两地的铁路比公路长40千米，汽车从甲地先开出，速度为60千米/时，开出0.5小时后，火车也从甲地开出，速度为80千米/时，结果汽车比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地铁路、公路各长多少千米? 【答案】甲、乙两地的公路长480千米，铁路长520千米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设甲、乙两地的公路长x千米，则铁路长千米，根据时间路程速度结合乘火车比乘汽车少用小时，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙两地的公路长x千米，则铁路长千米， 依题意，得： 解得：， ∴． 答：甲、乙两地的公路长480千米，铁路长520千米． 24. 在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？并说明理由． 【答案】（1）8个成人，4个学生 （2）购团体票更省钱，理由： 如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元）， ， 购团体票更省钱． 答：购团体票更省钱． 【解析】 【分析】（1）设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买16张团体票的总钱数，与350比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设成人人数为，则学生人数为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用． 25. 如图1，有A、B两动点在线段上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段的某一端点重合则立即转身以同样的速度向的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒 （1）已知米，若B先从点M出发，当米时A从点M出发，A出发后经过 秒与B第一次重合； （2）已知米，若A、B同时从点M出发，经过 秒A与B第一次重合； （3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且米，设米，列方程求s． 【答案】（1）A出发后经过5秒与B第一次重合； （2）经过40秒A与B第一次重合； （3）米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合，根据等量关系：路程差=速度差×时间，列出方程求解即可； （2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和=速度和×时间，列出方程求解即可； （3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共走了4个MN，可得，， 根据米，列出方程求解即可． 【小问1详解】 设A出发后经过x秒与B第一次重合，依题意有 ， 解得． 答：A出发后经过10秒与B第一次重合； 【小问2详解】 设经过y秒A与B第一次重合，依题意有 ， 解得． 答：经过80秒A与B第一次重合； 【小问3详解】 由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个，第二次重合共走了4个，可得，， 依题意有：， 解得． 答：米． 26. 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． （1）方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； （2）若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； （3）未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】（1）具有， 理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， （2）或 （3）具有“友好关系”，， 【解析】 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $