6.4 实践与探索（14大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组 6.4 实践与探索（14大题型提分练） 知识点一 、 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 知识点二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点三、二元一次方程（组）应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）有这样一个数学趣味故事：“老头提篮去赶集，一共花去七十七，满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼，买好未曾问单价，只因回家心发急，道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，有劳各位高材生，帮帮算算此难题．”若设每斤肉元，每斤鱼元，根据此故事可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）将5角和1元的硬币数枚，凑成3元钱，其中1元和5角的硬币各需多少枚？ 解：设5角和1元的硬币分别为x枚，y枚，得方程：． 你认为上述方程对吗？你是怎么列方程求解的？ 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 4．（22-23七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 5．（21-22八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    题型三 方案问题(二元一次方程组的应用) 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某小组分若干本书，若每人分一本，则余一本，若每人分给本，则缺本，那么共有图书（　　） A．本 B．本 C．本 D．本 2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 4．（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元； （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 5．（2024九年级上·全国·专题练习）得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 题型四 行程问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 2．（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 3．（2025七年级下·全国·专题练习）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 4．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走千米，千米，则可列出方程组 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 题型五 工程问题(二元一次方程组的应用) 1．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 3．（23-24七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 题型六 数字问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（   ） A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ． 5．（22-23七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 题型七 年龄问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 4．（22-23七年级下·江西上饶·期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 5．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 题型八 分配问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 5．（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 题型九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）买2千克荔枝和3千克桂圆，共付40元．已知2千克荔枝的价钱等于1千克桂圆的价钱．荔枝每千克 元，桂圆每千克 元．    4．（2024·四川自贡·模拟预测）A、B两种商品售价共为960元，若A打8折，B打9折出售后共售814元，求打折前A、B售价分别为 ． 5．（24-25七年级上·湖南郴州·期末）为了喜迎新春，某水果店用4000元购进水果礼盒和坚果礼盒共90盒，这两种礼盒的进价、标价如下表所示． 类型/价格 水果礼盒 坚果礼盒 进价（元/盒） 40 60 标价（元/盒） 60 90 (1)水果礼盒和坚果礼盒各购进多少盒？ (2)为回馈客户，该水果店计划将每个水果礼盒和坚果礼盒都打八折出售，求售完这批水果礼盒和坚果礼盒水果店共盈利多少元？ 题型十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 2．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 4．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有 名环卫工人． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 题型十一 几何问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状与大小完全相同的小长方形花圃，则花圃（阴影部分）的面积为 ． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 题型十二 图表信息题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级上·天津·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 2．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 3．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 4．（23-24七年级下·青海西宁·期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是 ． 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 题型十三 古代问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某船往返两地，顺流时每小时航行，逆流时每小时航行，则水流速度是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）用含药和的两种防腐药水，配制的防腐药水，两种药水各需要 千克． 4．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）买2条毛巾，3块肥皂，要付18元；买3条毛巾，2块肥皂，要付19元（毛巾，肥皂都分别是同一品种的）．那么买1条毛巾，1块肥皂要付 元． 5．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）某中学在近日组织师生共900人举行以“亲近自然，收获快乐”为主题的秋游活动，为此学校决定到野生动物园游览．为确保师生活动安全（如校车等安全），学校、旅行社和相关部分充分协商决定，本次秋游费用为：教师每人120元，学生每人100元．该学校共花费91200元，请问在这次秋游活动中，教师和学生各有多少人？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·传统文化  中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱?如果设每斤肉元，每斤鱼元，那么可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）为丰富小区居民的业余文化生活，某社区计划出资600元全部用于采购甲、乙、丙三种图书．甲种图书每本40元，乙种图书每本30元，丙种图书每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），则此次采购的方案有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 4．（21-22七年级下·河南新乡·期中）小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    7．（2025七年级下·全国·专题练习）某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 min从起点开出一辆． 8．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在的方格内，填写了一些含x，y的式子和数，其中各行各列和对角线上的三个数之和都相等，则 ． 5 4 7 9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 10．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积 ． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 12．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 13．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 14．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组 6.4 实践与探索（14大题型提分练） 知识点一 、 二元一次方程的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 知识点二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 知识点三、二元一次方程（组）应用类型 类型一：鸡兔同笼问题 类型二：牛羊值金问题 类型三：几何问题 类型四：球赛积分问题 类型五：盈不足问题 类型六：经济问题 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）有这样一个数学趣味故事：“老头提篮去赶集，一共花去七十七，满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼，买好未曾问单价，只因回家心发急，道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，有劳各位高材生，帮帮算算此难题．”若设每斤肉元，每斤鱼元，根据此故事可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据：“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，”列方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 2．（2024·湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程是含有未知数的等式，解决本题的关键是找到相等关系，根据相等关系列出方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 根据“若每人出钱，还差钱”，可列方程； 根据“若每人出钱，多余钱”,可列方程； 所以可得：， 故选：C． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程组是解题的关键． 依据题意列出方程组即可． 【详解】解：依据题意可列方程组如下： ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）将5角和1元的硬币数枚，凑成3元钱，其中1元和5角的硬币各需多少枚？ 解：设5角和1元的硬币分别为x枚，y枚，得方程：． 你认为上述方程对吗？你是怎么列方程求解的？ 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是统一单位． 设5角和1元的硬币分别为x枚，y枚，根据5角元，共有3元，列出方程即可． 【详解】解：上述方程不对， 设5角和1元的硬币分别为x枚，y枚， ∵5角元， ∴可列方程为：． 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 3．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 4．（22-23七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【答案】，， 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 5．（21-22八年级上·陕西铜川·阶段练习）如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 题型三 方案问题(二元一次方程组的应用) 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某小组分若干本书，若每人分一本，则余一本，若每人分给本，则缺本，那么共有图书（　　） A．本 B．本 C．本 D．本 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设人数为x,图书为y,根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为x人，图书为y本，根据题意可得： ， 解得，， 所以，共有图书5本， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，整除性等知识点，根据题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键． 设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组，然后根据的整除性即可排除错误答案，得出正确答案． 【详解】解：设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组如下： ， 由得：， 将代入，得：， 解得：， 、都是正整数， 必须能被整除， 由此可知，选项、、不符合题意，选项符合题意， 此时，的确是二元一次方程组的一个正整数解， 故选：． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排） 【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即可． 【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则 ， 那么，可能解或． 故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）． 4．（23-24八年级上·重庆荣昌·开学考试）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： （1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元； （2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 【答案】 1650 6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程即可得到答案； （2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程组，求解即可； ②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有，列出方程求出答案即可． 【详解】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元； 设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为， 打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有， 由题意得： 整理得：， a、b均为正整数， 或， ， ， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 【答案】无人机10台，无人配送车20台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台， 根据题意，得， 解得， 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车20台． 题型四 行程问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 【详解】解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，根据第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得：， 解得：， ∴甲的骑行速度为． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南鹤壁·期中）甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走千米，千米，则可列出方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意直接列出方程组即可． 【详解】解：设甲、乙两人每小时分别走千米、千米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组解决行程问题，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【答案】11分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟，根据小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：4.8千米时米分，12千米时米分， 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟， 由题意得：， 解得：， 答：小明在上坡路上用了11分钟． 题型五 工程问题(二元一次方程组的应用) 1．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车 皮数量/节 所用汽车 数量/辆 运输物资 总量/吨 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 则每节火车车皮和每辆汽车平均分别装物资的吨数是（　　） A．40，5 B．50，6 C．50，4 D．45，7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨，根据表格列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每节火车车皮平均装物资x吨，每辆汽车平均装物资y吨． 根据题意，得，解得：； 答：每节火车车皮平均装物资50吨，每辆汽车平均装物资6吨． 故选B 3．（23-24七年级下·四川德阳·期末）市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【详解】解：设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： 解得 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 题型六 数字问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据题意列举出符合条件的数字即可解得． 【详解】解：一个两位数，个位上的数字和十位上的数字合起来是5，这样的两位数有：50，14，41，23，32． 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·开学考试）如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（   ） A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设甲数为x，乙数为y，甲数的小数点向左移动两位变为，根据甲数的小数点向左移动两位就比乙数少列出等式，进行运算即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得： ， 解得：， 即甲数为乙数的40倍， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：20． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可． 【详解】设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得： ， 解得：， 则原两位数为． 故答案为： 5．（22-23七年级下·山东东营·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】72 【分析】设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则根据“得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9”列出方程组，通过解方程组来求原来的两位数．本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 题型七 年龄问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（    ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解． 【详解】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即 由此可得，， ∴，即甲比乙大5岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 4．（22-23七年级下·江西上饶·期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 【答案】26 【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁， 依题意得：， 解得：． 故答案为：26． 【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键． 5．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 题型八 分配问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意有：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·海南海口·期中）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 5．（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 题型九 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数，依题意得，，即，然后求解作答即可． 【详解】解：设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数， 依题意得，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，共有3种购买的方案， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意列得，求解即可 【详解】解：设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， ， 解得， ∴购买一支笔8元，一本笔记本4元， 购买一支笔和一本笔记本应共付（元） 故选：B 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）买2千克荔枝和3千克桂圆，共付40元．已知2千克荔枝的价钱等于1千克桂圆的价钱．荔枝每千克 元，桂圆每千克 元．    【答案】 5 10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设荔枝每千克元，桂圆每千克元，根据买2千克荔枝和3千克桂圆，共付40元．2千克荔枝的价钱等于1千克桂圆的价钱．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设荔枝每千克元，桂圆每千克元， 由题意得：， 解得：， 即荔枝每千克5元，桂圆每千克10元， 故答案为：5，10． 4．（2024·四川自贡·模拟预测）A、B两种商品售价共为960元，若A打8折，B打9折出售后共售814元，求打折前A、B售价分别为 ． 【答案】500元，460元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设打折前A、B售价分别为x，y元，根据题意列二元一次方程组即可． 【详解】设打折前A、B售价分别为x，y元 由题意得：，解得： ∴打折前A、B售价分别为500元，460元 故答案为：500，460． 5．（24-25七年级上·湖南郴州·期末）为了喜迎新春，某水果店用4000元购进水果礼盒和坚果礼盒共90盒，这两种礼盒的进价、标价如下表所示． 类型/价格 水果礼盒 坚果礼盒 进价（元/盒） 40 60 标价（元/盒） 60 90 (1)水果礼盒和坚果礼盒各购进多少盒？ (2)为回馈客户，该水果店计划将每个水果礼盒和坚果礼盒都打八折出售，求售完这批水果礼盒和坚果礼盒水果店共盈利多少元？ 【答案】(1)水果礼盒和坚果礼盒各购进70，20盒 (2)800元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）有两个等量关系：水果礼盒数+坚果礼盒数，购买水果礼盒钱数购买坚果礼盒钱数． （2）根据利润售价进价，知水果店共获利水果礼盒利润坚果礼盒利润． 【详解】（1）解：设水果礼盒和坚果礼盒各购进盒， 则由题意得：， 解得：， 答：水果礼盒和坚果礼盒各购进盒； （2）解：（元） 答：共盈利800元． 题型十 和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 2．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：C 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 【答案】67 【分析】设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，由题意，得： ， 解得：； ∴到云水涧旅游的人数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 4．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有 名环卫工人． 【答案】8 【分析】设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，根据“如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？ 【答案】该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米 【分析】本题主要考查了干元一次方程组的应用．熟练掌握终止量与起始量和增加量的关系，是解题的关键． 设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米，根据现在的林木总蓄积比原来增加了1073万立方米：现在的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，列出关于x、y的二 元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该林场原来和现在林木总蓄积分别为x万立方米和y万立方米， 根据题意可列方程组为， 解得， 故该林场原来林木总蓄积为31万立方米，现在林木总蓄积为1104万立方米． 题型十一 几何问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图形间的关系列方程组求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得 则每个小长方形的面积为． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：. 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，表示出大长方形长和宽是解题的关键．设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，再根据长方形的长为，宽为，得到方程组解出a、b，即可求出结论． 【详解】解：设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，则正方形②的边长为， 长方形的长为，宽为， ， 解得：， 则③号正方形的边长为， 故答案为：． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个形状与大小完全相同的小长方形花圃，则花圃（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．由图形可看出：小长方形的二个长一个宽，小长方形的二个宽一个长，设小长方形花圃的长和宽，列出方程组， 解这个方程组即可得到小长方形花圃的长和宽，再求解其面积即可． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 由题意得， 解得， 即长方形花圃的长为，宽为， 故其面积为， 则花圃（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 【答案】大长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，利用长方形的周长计算公式及对边相等，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入，中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ，． 答：大长方形的长为，宽为． 题型十二 图表信息题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级上·天津·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得： ， 解得：， ， 故选择：A 2．（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 3．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【答案】32分 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可． 【详解】解：设大圈内，小圈内得分分别为，分， 依题意得：， 解这个方程组得：， 答：小方、小军一次各得5分、9分， 则小红的得分是（分）． 故答案为：32分． 4．（23-24七年级下·青海西宁·期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用；根据题意列出关于a与b的二元一次方程组，解方程组即可求得a的值． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 故； 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 题型十三 古代问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意直接列出方程组即可． 【详解】解∶根据题意，得，即， 故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据每人出钱，会多出钱，可得方程，根据每人出钱，又差钱，可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 由题意得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14； 第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31， 所以可列方程为． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·开学考试）《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 【答案】11 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意“每人6两少6两，每人半斤多半斤”可以列出相应的方程组，从而得出答案． 【详解】解：设共有x人，y两银子，则可列方程组为： ， 解得： 故答案为：11． 5．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 题型十四 其他问题(二元一次方程组的应用) 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得： 解得： 个碗叠成一列高度为， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某船往返两地，顺流时每小时航行，逆流时每小时航行，则水流速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．直接根据题意结合静水速度水速度顺水速度，静水速度水速度逆水速度，进而列出方程组，求出答案． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流的速度为．根据题意可得： ， 解得： 答：水流的速度为． 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）用含药和的两种防腐药水，配制的防腐药水，两种药水各需要 千克． 【答案】10，8 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找到等量关系列式，解二元一次方程组是解决本题的关键．设取含药的药水，含药的药水．根据等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设取含药的药水，含药的药水， 根据题意，得， 解得， ∴设取含药的药水，含药的药水， 故答案为：10，8． 4．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）买2条毛巾，3块肥皂，要付18元；买3条毛巾，2块肥皂，要付19元（毛巾，肥皂都分别是同一品种的）．那么买1条毛巾，1块肥皂要付 元． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意、列出二元一次方程组成为解题的关键． 设买1条毛巾要付x元，1块肥皂要付y元，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设买1条毛巾要付x元，1块肥皂要付y元， 根据题意得， 得：，解得： ∴买1条毛巾，1块肥皂要付元． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）某中学在近日组织师生共900人举行以“亲近自然，收获快乐”为主题的秋游活动，为此学校决定到野生动物园游览．为确保师生活动安全（如校车等安全），学校、旅行社和相关部分充分协商决定，本次秋游费用为：教师每人120元，学生每人100元．该学校共花费91200元，请问在这次秋游活动中，教师和学生各有多少人？ 【答案】在这次秋游活动中，教师有60人，学生有840人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设在这次秋游活动中，教师有人，学生有人，根据师生总人数、总花费建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设在这次秋游活动中，教师有人，学生有人， 由题意得：， 解得， 答：在这次秋游活动中，教师有60人，学生有840人． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·传统文化  中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱?如果设每斤肉元，每斤鱼元，那么可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据老头用77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数列出方程组即可得． 【详解】解：由题意，列二元一次方程组为， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）为丰富小区居民的业余文化生活，某社区计划出资600元全部用于采购甲、乙、丙三种图书．甲种图书每本40元，乙种图书每本30元，丙种图书每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），则此次采购的方案有（   ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【解析】略 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案． 【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元， ∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元， ∴， 解得， ∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元， ∵（元）， ∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元； 故选：C． 4．（21-22七年级下·河南新乡·期中）小青的爸爸到网上购买北京2022年冬奥会会徽和吉祥物冰墩墩徽章组合套装奥运纪念品，第一次他购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；因为大家都很喜爱该纪念品，于是第二次他购买了5件该奥运纪念品，且快递费与第一次购买时的相同，共付款510元，则两次的快递费一共为（    ） A．15元 B．30元 C．45元 D．60元 【答案】B 【分析】设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据购买了2件该奥运纪念品，加上快递费共付款213元；购买了5件该奥运纪念品，加快递费共付款510元；分别为等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设1件该奥运纪念品价格为x元，每次快递费为y元，根据题意，得 ，解得：， 两次的快递费一共为2y=2×15=30(元), 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，列出方程组是解题的关键． 5．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，然后根据题意列二元一次方程组，解出的值后，再根据个纸杯整齐叠放在一起时列式代数即可． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意得：， 解得， 则当个纸杯整齐叠放在一起时可得：． 故选D． 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 min从起点开出一辆． 【答案】 【分析】本题考查了相遇问题和追及问题，每分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车分走的路程行人分走的路程两辆电车相间隔的路程；每分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车分走的路程行人4分走的路程两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间电车的速度． 【详解】解：设电车的每分走米，行人每分走米，电车每隔a分钟从起点开出一辆， 根据题意可得：， 得：， 可得：， 解得：． 故答案为： ． 8．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在的方格内，填写了一些含x，y的式子和数，其中各行各列和对角线上的三个数之和都相等，则 ． 5 4 7 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系.通过题意列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，得.解得. 则 故答案为： 9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两． 【答案】 / / 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可． 【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两， 由题意得，，整理得：， 解得：， 则每只雀有两，每只燕有两． 故答案为：，． 10．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；先判断，且，为正整数，再分，，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴两个部门的人数和超过人， ∴，且，为正整数， 当时， ∴， ∴①， ∵， 当两部门的人都小于人时，不是整数，不符合题意； ∴，， ∴②， 联立①②可得： ，不符合题意， 当时， ∴， ∴③， ∵， 当，， ∴④， 联立③④可得：， ∴， 当，时， ∴，此时不符合题意，舍去， 当时，则， ∴⑤， 联立③⑤可得：，不符合题意，舍去， 综上：， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 12．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 13．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 14．（2022八年级上·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$