精品解析：广东省惠州市惠城区东升学校2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试数学试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与0.3 D. 与 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 今年初，温州市甲流患者增多，为抗击甲流，医务工作者了解到某甲流病毒的直径约为0.00009纳米，则0.00009纳米用科学记数法表示为（　　） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 6. 如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C，D四点均在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图，已知的面积为3，点D、E分别是边、的三等分点，则四边形的面积是_______． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________. 15. 如图所示，四边形是矩形，以为直径作半圆与相切于点E，再以点A为圆心，线段长为半径作弧，与交于点E．若，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 三、解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，是的对角线． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于，，于，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； （2）请补全条形统计图； （3）学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 20. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分、23题14分，共27分） 22. 【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与0.3 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，熟知相反数的定义是解答的关键． 先计算各选项中的数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】解：A．，错误； B．与相等，错误； C．与0.3不是相反数，错误； D．，与0.01互为相反数，正确． 故选D． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 今年初，温州市甲流患者增多，为抗击甲流，医务工作者了解到某甲流病毒的直径约为0.00009纳米，则0.00009纳米用科学记数法表示为（　　） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：0.00009纳米纳米． 故选A． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题的关键是熟知相关概念．将一列数从小到大排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】总计为45名同学，则处在最中间为第23位， 根据：， ∴中位数落在具有11人的4.7的范围内，故中位数为4.7． 故选：B． 6. 如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设井深为x尺，则绳子长度可以表示为：或，依题意即可求解． 【详解】解：设井深为x尺，依题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴，，， ∴， 故选：D． 9. 如图，点A，B，C，D四点均在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，继而得到，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零，理解相关知识是解答关键． 根据二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零列出不等式组来求解． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得且． 故答案为：且． 13. 如图，已知的面积为3，点D、E分别是边、的三等分点，则四边形的面积是_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角三角性的判定和性质． 根据题意可得，从而得到，再由相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是边、的三等分点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：24． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线，根据四边形为菱形得，即点O为的中点，根据点为的中点得为的中位线，即可得；掌握菱形的性质，三角形的中位线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴点O为的中点， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， 故答案为：4． 15. 如图所示，四边形是矩形，以为直径作半圆与相切于点E，再以点A为圆心，线段长为半径作弧，与交于点E．若，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据切线的性质和画图过程判断出，，求出，再利用计算即可得解． 【详解】解：由题意可知：，， ∴E为中点，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，矩形的性质，解题的关键是学会利用割补法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． 三、解答题（一）（本题共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，零指数幂，解一元二次方程，正确掌握相关计算的方法是解决问题的关键． （1）先计算算术平方根，立方根，零指数幂，再计算最终结果即可； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算，得到答案． 【详解】解：原式 当时，原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18. 如图，是的对角线． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于，，于，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 四边形是菱形，理由如下： 是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，菱形的判定，平行四边形的性质等．掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得，，再证，再依次证明四边形是平行四边形，菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； （2）请补全条形统计图； （3）学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 【答案】（1）40， （2） 补全条形统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可； （2）根据（1）的结果即可补全条形统计图； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）， A类型人数（人） 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， 故答案为40，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4. 根据题意，列表如下： 班级 1 2 3 4 1 2 3 4 如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种， 恰好选中2班和3班的概率是． 20. 如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵，以为直径作， ∴点D在上， 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）首先得点D在上，连接，则由得，由平分可得，进而得，即可得证； （2）由勾股定理求得的长，由余弦函数求得，进而得，在中，由余弦关系求得，在中，由余弦关系求得，由可求解； （3）易得及圆的半径，再求出，则阴影部分面积为的面积减去扇形的面积即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，三角函数，等边对等角，扇形面积等知识，证明切线是解题的关键． 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分、23题14分，共27分） 22. 【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】 【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【应用】 【解析】 【分析】探究：过点作的垂线交延长线于点，连接，证出，可得到，，即可判定出，得到，即可求解； 应用：过点作的垂线交延长线于点，证出，利用全等的性质证出四边形是正方形，再利用正方形的性质求解即可． 【详解】解：略 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴，， ∴． 【点睛】本题为圆综合题型，涉及到了圆的性质，圆周角定理，全等三角的判定即性质，正方形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解题意合理作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为，； （3）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、轴对称的性质等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据对称性得到，则矩形的周长为，即可求出答案； （3）设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且,即，且，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 设点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M和点F关于直线对称， ∴， ∴矩形的周长为， 即的最大值为，此时，即； 【小问3详解】 存在， 设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且, 即，且， 解得，， ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $