3.2 代数式的概念 学案 2025-2026学年苏科（2024）版数学七年级上册

第三章 代数式 专辑内容更完整、更精彩 3.2 代数式的概念 （带答案） 一、教学目标 1. 理解代数式的定义，能区分代数式与算式 2. 掌握代数式的书写规范，能按要求列出代数式，会求代数式的值； 3. 会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数； 4. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系． 二、知识点 1、代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.例如：16n，2a+3b，34，（a+b）2，π等式子 2、列代数式：在解决实际问题时，把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，称作‘列出代数式’。例如：一正方形的边长是a cm，则周长是_4a_cm. 3、易错点：带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等 都不是代数式 4.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 三、整式 1.单项式 （1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释： ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式 (1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上． (2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释： ①多项式的每一项包括它前面的符号． ②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． (3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释： ①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． (4)升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为 -5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4． 要点诠释： ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 要点诠释： （1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式（实际是分式），但是代数式． 四、代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写. 五、数学思想方法：从具体到抽象的转化思想，数学建模思想 注意事项： · ① π是常数不是字母，πr²是单项式 · ② 单项式系数包括前面的符号，如-3x²的系数是-3 · ③ 多项式次数只看最高次项，如x³+2x-1是三次多项式 · ④ 分母含字母的式子（如1/x）不是整式 · ⑤ 书写时数字在前字母在后（如2ab而不是a2b） · ⑥ 同一问题中不同量用不同字母表示 六、【典型例题】 例题1 下列式子中，不属于代数式的是（ ） A．a+3 B．mn2 C． D．x＞y 【答案】D． 【解析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“=”、“≠”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可． A、是代数式，故本选项错误； B、是代数式，故本选项错误； C、是代数式，故本选项错误； D、不是代数式，故本选项正确； 故选D． 例题2 （1）x的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 . （2）甲4小时打x个字，乙3小时打y个字，甲乙两人每小时共打 个字． 【答案】（1） （2）（） 例题3 下列说法正确的是（       ） A. 单项式的次数是1 B. 多项式的常数项是5 C. 单项式的系数是 D. 是三次三项式 【答案】D 【解析】 A．单项式的次数是2，说法错误，不符合题意； B．多项式的常数项是，说法错误，不符合题意； C．单项式的系数是，说法错误，不符合题意； D．是三次三项式，说法正确，符合题意． 例题4 指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a-3，，， 【答案与解析】 ，，，，，，是单项式，其中 的系数是，次数是3； 的系数是-1，次数是1； 的系数是，次数是4； 的系数是，次数是4； 为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，即，次数为0； 的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3； 只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3． 例题5 已知多项式． (1)求多项式各项的系数和次数． (2)如果多项式是七次五项式，求m的值． 【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0． (2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2． 例题6 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？ （1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1 （2）10x+y3﹣0.5． 【答案与解析】 （1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1 是四次六项式，最高次项是﹣3x3y， 最高次项的系数是﹣3， 常数项是1； （2）10x+y3﹣0.5， 是三次三项式，最高次项是y3， 最高次项的系数是1， 常数项是﹣0.5． 例题7 多项式3x|m|y²+(m+1)xy+1是三次三项式，则m=______ 【答案】1 【解析】解题三步法： 1. 次数要求：最高项次数=3 → |m|+2=3 →m=1或-1 2. 项数要求：m+1≠0（保证xy项存在） 3. 解方程：m=1（m=-1不满足项数要求） 例题8 下列代数式：，其中单项式是_______________，多项式是_______________. 【答案】①②③，④⑥ 例题9 如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　） A．29 B．32 C．37 D．46 【答案】C 【解析】本题考查用代数式表示图形的规律，观察图中铜币的数量增加规律可以发现：第n个图形总是比前一个图形增加n个铜币，根据此规律即可求出第n个图形的铜币数量代数式，再将代入即可求解． 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， …… 第n个图案需要铜币的个数为， 第8个图案需要铜币的个数为， 故选C． 例题10 苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（    ）根小木棒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加根据此可求解． 【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：， 第个图形中木棒的根数为：， 第个图形中木棒的根数为：， …， ∴第n图形中木棒的根数为：， 故选：D． 例题11 为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费． （1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？ （2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？ 【答案与解析】（1）当a≤140时，电费为0.43a元； 当a＞140时，电费为：元. （2）因为用电量为150度，大于140度， 因此把a＝150代入代数式，得 （元）. 因此，该缴电费65.9元. 例题12 一堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b块，共铺了n层，共铺石块 块？当a＝20，b＝40，n＝17时，堤坝的这个截面铺石块 块？ 【答案】（a＋b）n，510块. 例题13 多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数． 【答案与解析】 例题14 已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值． 【答案与解析】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可 原式=﹣2（x2﹣5x）+5， ∵x2﹣5x=6， ∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7． 学科网（北京）股份有限公司 $$