精品解析：山东省枣庄市峄城区东方学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025学年春学期第一次质量检测八年级数学试题 一、本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 5. 不等式的解集在数轴上表示为（    ） A. B. C. D. 6. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（ ） A. 35cm B. 30cm C. 25cm D. 20cm 9. A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．在答题纸上填写最后结果． 11. 如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 _______度． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 13. 满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，在中，，是角平分线，点E、F是上的两点，，，则图中阴影部分的面积之和为 _____． 16. 如果不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为____． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸上写出必要的证明过程或演算步骤． 17. 解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 18. 求不等式的正整数解． 19. 如图，在等边三角形中，点在内，点在外，且，，请判断形状，并加以证明． 20. 定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： （1）______，当时，______； （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是______． 21. 已知关于、的二元一次方程组（为常数）. （1）若该方程组的解、满足，求的取值范围； （2）若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解. 22. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8． （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积． 23. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 24. 追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年春学期第一次质量检测八年级数学试题 一、本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故选：． 3. 如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴，故选项A、D结论正确，不符合题意； 又是的角平分线，， ∴，故选项B结论正确，不符合题意； 由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可． 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，根据一元一次不等式的性质求出的取值范围，再在数轴上表示出来即可得出答案，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 不等式的解集在数轴上表示如图所示：    故选：． 6. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 7. 如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 8. 如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（ ） A. 35cm B. 30cm C. 25cm D. 20cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：∵MN垂直平分线段AD， ∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm， ∵AB+BC+AC=15cm， ∴AB+BC+DC=15cm， ∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 9. A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，根据以上性质从而可得答案． 【详解】解： 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等， 建造一座公园，且三个小区到公园距离相等， 则公园最适当的建造位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点处． 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，掌握以上知识是解题的关键． 10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键． 以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图像写出解集即可． 【详解】解：∵一次函数与的图像交点为，且， ∴． 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分．在答题纸上填写最后结果． 11. 如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 _______度． 【答案】65 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 13. 满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是角平分线，点E、F是上的两点，，，则图中阴影部分的面积之和为 _____． 【答案】30 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，进一步即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，是角平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴阴影部分的面积． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16. 如果不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、根据数轴确定不等式的解集等知识点，正确确定解集是解题的关键． 分别根据解不等式和数轴确定解集，然后列方程求解即可． 【详解】解：解不等式可得： 由数轴上可得：不等式的解集为：，则 解得：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．在答题纸上写出必要的证明过程或演算步骤． 17. 解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 其解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 18. 求不等式的正整数解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 19. 如图，在等边三角形中，点在内，点在外，且，，请判断形状，并加以证明． 【答案】 解： 是等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】根据为等边三角形，得到，．根据可得到，由此可得，．进而可得，即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，得出是解题的关键． 【详解】略 20. 定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： （1）______，当时，______； （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是______． 【答案】（1）， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由定理可知：的值就是取和1的较小值，即；同理可得另一个式子的结果； （2）由定义列不等式解出即可； （3）根据图象可知：当，． 【小问1详解】 解：，当时，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由图象得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便． 21. 已知关于、的二元一次方程组（为常数）. （1）若该方程组的解、满足，求的取值范围； （2）若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解. 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）将方程组变为，利用得，代入不等式，解不等式即可求解； （2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，得的值，进而求得方程组的解． 【小问1详解】 解：二元一次方程组可变为：， 得：， ∵该方程组的解满足， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：二元一次方程组可变为：， 得： 解得， 将代入①得：， 解得：， ∵方程组的解均为正整数，且， ∴或或4或3， ∴或或或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键． 22. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8． （1）求DE的长； （2）求△ADB的面积． 【答案】（1）3；（2）15 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据三角形的面积公式求出DE； （2）根据三角形的面积公式计算． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10 又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E ∴DE=CD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE=6 ∴BE=AB－AE=4 BD=BC－CD=8－DE 在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2 即（8－DE）2=DE2+42 解得：DE=3 （2）S△ADB=×AB×DE=×10×3=15 【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 23. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本． （2）数学书最多还可以摆90本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． 【小问2详解】 设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 24. 追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①B；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $