11.5《二次根式及其性质》——认识二次根式 课件 2025--2026学年北京版八年级数学上册

该初中数学课件围绕二次根式的定义、有意义条件及性质展开，以平方根和算术平方根复习为起点，通过正方形边长、长方形宽等实际问题引出带根号式子，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理意识，通过判断二次根式、求字母取值范围等例题，以及非负数和的典例精析，培养学生符号意识。采用对比归纳性质，课堂小结引导自主梳理，学生能提升数学应用能力，教师可高效落实教学目标。

11.5二次根式及其性质 —— 认识二次根式 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． 图 图 被开方数(式)大于 0 不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根. 问题1 这些式子还有什么共同特征？ 含有“ ”，根指数是 2 问题2 是否存在 ，为什么呢？ 3 S 65 0 a a a a a 那对于形如 的式子我们怎么去定义它呢？ 注意：a 可以是数，也可以是式. 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？ 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外在特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数(式) a≥0 二次根式的定义 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。 定义： 二次根式应满足条件：1、含有二次根号“ ” 2、被开方数为非负数 例1：下列式子中哪些一定是二次根式？ 1、二次根式是“形式定义”，判断时只看初始形式。 2、形如“ ”也是二次根式。 例 ：下列各式满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 练习二 下列各式满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 当堂练习 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______． 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？ 5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意得， ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 探究： 观察下列各式的特点，你有什么发现？请与同学交流。 二次根式的性质2： 探究： 观察下列各式的特点，你有什么发现？请与同学交流。 3 2 二次根式的性质3： 不同点 表示的意义 非负数a的算术平方根的平方 数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先开平方，再平方 先平方，再开平方 a的取值范围 a为非负数 a为全体实数 结果的表达形式 相同点 的结果都是非负数 的异同 课堂小结 你学到了哪些内容？收获了什么？ 思维进阶 已知 ，求 的值。 如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0. 结论： 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 二次根式的双重非负性 二次根式 抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集 我们把形如___________的式子叫做二次根式 课堂小结 非负数 二次根式 中，____________ a≥0且 ≥0 $$