精品解析：福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年下学期八年级3月月考数学试题

宁德培文学校初中部2024-2025第二学期3月达标训练 八年级数学学科试卷 分值：150分 时间：120分钟 说明： 1．答卷前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、座位号，填写在试卷相应位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色字迹钢笔或签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液（不按以上要求作答的答案无效）． 3．必须保持答题卷的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. 4＞1 B. 3x–2<4 C. <2 D. 4x–3<2y–7 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的概念，从未知数的次数、个数及不等式两边的代数式是否为整式的角度来解答． 【详解】A、不含未知数，错误； B、符合一元一次不等式的定义，正确； C、分母含未知数，错误； D、含有两个未知数，错误． 故选B． 2. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确理解在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．由图可知不等式解集表示的范围是大于等于-2而小于3的所有实数，即得答案． 【详解】该数轴表示的不等式的解集为． 故答案为：． 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 4. 如图，点P是的平分线上一点，于点E．已知，则点P到的距离是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点P作于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得． 【详解】解：如图，过点P作于F， ∵是的平分线，， ∴． ∴点P到的距离是3． 故选：C． 5. 如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a-b＜0 B. C. -2b＞-2a D. -1+3a＜-1+3b 【答案】C 【解析】 【分析】不等式两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：如果a＞b，则a-b＞0，故A选项错误； 如果a＞b，则，故B 选项错误； 如果a＞b，则-2b＞-2a，故C选项正确； 如果a＞b，则-1+3a＞-1+3b，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查是不等式的性质，掌握不等式的三个性质以及正确的应用是解题的关键． 6. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形的三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 7. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 没有内角大于 B. 有一个内角大于 C. 有两个内角大于 D. 三个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时， 应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于． 故选：D． 8. 若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集与解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3． 根据不等式的基本性质3求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 则， ∴m可以等于0，不能为2，4，6． 故选：A． 9. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键． 设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选D． 10. 如图所示，在中，是的中点，点分别在边上，且，下列正确结论的个数（    ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质证明可判定①，利用全等三角形的性质，结合线段的和差计算可判定②，根据是变化的，而为定值判定③，根据三角形的外角性质，结合角的和差计算判定④． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， 故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵是变化的， 而为定值， 故③错误 ∴， ． ∴，故④正确． 正确的有： ①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. “x与3的和不大于1”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】x与3的和表示为，不大于1即小于等于1，由此列出不等式即可． 【详解】解：“x与3的和不大于1”用不等式表示为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，正确选择不等号． 12. 在△ABC中，AB=AC，∠B＝60°，BC=2cm，则AC=________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】由在△ABC中，AB=BC=6，∠B=60°，可判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2cm． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形定理的应用是解此题的关键． 13. 点在第二象限，则a的取值范围为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系各象限内的点的坐标的符号特征．掌握平面直角坐标系第一象限内的点的符号特征为，第二象限内的点的符号特征为，第三象限内的点的符号特征为，第四象限内的点的符号特征为是解题关键．根据第二象限内的点的符号特征求解即可． 【详解】解：∵点第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，已知直线，直线与直线a，b分别交于点，交直线于点．若，则__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，由两直线平行，内错角相等可得，由垂线的定义可得，最后由进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ， ， 故答案为：． 15. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于__． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质定理，求得BE＝AE＝6cm，∠EAB＝∠B＝15°，利用三角形内角和分别求得∠BAC、∠AEC的度数，再在Rt△AEC中，应用30°角的性质求得线段长度． 【详解】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°， ∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∵DE垂直平分AB，BE＝6cm， ∴BE＝AE＝6cm， ∴∠EAB＝∠B＝15°， ∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°， ∵∠C＝90°， ∴∠AEC＝30°， ∴ACAE6cm＝3cm， 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、三角形内角和定理，熟练掌握性质并应用是关键． 16. 若不等式组的解集为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，即可求得a，b的值． 【详解】解：由，解得：， 由，解得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ∴，解得：，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 由①得， ， 由②得， ， 在数轴上表示为 故答案为：． 19. 如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，由推出，再利用证明全等即可，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 20. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点， （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作垂直平分即可； （2）先利用线段垂直平分线的性质得到，则，再证明平分，然后根据角平分线的性质定理可得到结论； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴． 21. 黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元； （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1) A种树每棵100元，B种树每棵80元；(2) 当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元． 【解析】 【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答； （2）设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为（100-x）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得x的取值范围，结合实际付款总金额=0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答． 【详解】解：（1）设A种树木每棵x元，B种树木每棵y元，根据题意，得 ，解得 ， 答：A种树木每棵100元，B种树木每棵80元． （2）设购买A种树木x棵，则B种树木（100－x）棵，则x≥3（100－x）．解得x≥75． 又100－x≥0，解得x≤100．∴75≤x≤100． 设实际付款总额是y元，则y＝0.9[100x＋80（100－x）]． 即y＝18x＋7 200． ∵18＞0，y随x增大而增大，∴当x＝75时，y最小为18×75＋7 200＝8 550（元）． 答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，为8 550元． 22. 如图平分，点C在射线上，，点D在射线上． （1）求证：． （2）若，，求长的最小值． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定、垂线段最短，掌握相关性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据平分，，可得，，因此，即可得出答案； （2）过点C作交于点E，由（1）知，在中， ，可得，当时，长的最小，此时四边形为矩形，因此． 小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 过点C作交于点E， ， 由（1）知， 在中，， ， 当时，长的最小， 又， 此时四边形为矩形， ． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与直线：相交于点． （1）直接写出直线的表达式 ； （2）若，直接写出x的取值范围 ； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标 ． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将点代入，确定点B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合图象解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到，此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：点P的坐标为或或或． 24. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【小问1详解】 ①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； 【小问3详解】 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德培文学校初中部2024-2025第二学期3月达标训练 八年级数学学科试卷 分值：150分 时间：120分钟 说明： 1．答卷前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、座位号，填写在试卷相应位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色字迹钢笔或签字笔作答，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液（不按以上要求作答的答案无效）． 3．必须保持答题卷的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. 4＞1 B. 3x–2<4 C. <2 D. 4x–3<2y–7 2. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是的平分线上一点，于点E．已知，则点P到的距离是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 5. 如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a-b＜0 B. C. -2b＞-2a D. -1+3a＜-1+3b 6. 到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点 C. 三角形的三条高线的交点 D. 三角形的三条中线的交点 7. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 没有内角大于 B. 有一个内角大于 C. 有两个内角大于 D. 三个内角都大于 8. 若关于x的不等式的解集为，则m的值可以取（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 9. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在中，是中点，点分别在边上，且，下列正确结论的个数（    ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. “x与3的和不大于1”用不等式表示为________． 12. 在△ABC中，AB=AC，∠B＝60°，BC=2cm，则AC=________cm． 13. 点在第二象限，则a的取值范围为________ ． 14. 如图，已知直线，直线与直线a，b分别交于点，交直线于点．若，则__________． 15. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于__． 16. 若不等式组的解集为，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式：． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 20. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 21. 黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元． （1）求A种，B种树木每棵各多少元； （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 22. 如图平分，点C在射线上，，点D在射线上． （1）求证：． （2）若，，求长的最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与直线：相交于点． （1）直接写出直线的表达式 ； （2）若，直接写出x的取值范围 ； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标 ． 24. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样关系，并说明理由． 25. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组“关联方程”是___________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$