专题2.1 认识有理数（知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.1 认识有理数 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：具有相反意义的量 2 知识点梳理02：正数、负数的定义 2 知识点梳理03：有理数 3 知识点梳理04：有理数的分类 3 知识点梳理05：相反数 3 知识点梳理06：绝对值的意义 3 知识点梳理07：绝对值的性质 4 知识点梳理08：比较有理数的大小 4 知识点梳理09：数轴（重点） 4 知识点梳理10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 4 知识点梳理11：数轴法比较有理数的大小 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：正负数的定义 5 考点2：相反意义的量 6 考点3：正负数的实际应用 7 考点4：有理数的定义 8 考点5：0的意义 9 考点6：有理数的分类 10 考点7：带”非”字的有理数 11 考点8：数轴的三要素及其画法 13 考点9：用数轴上的点表示有理数 14 考点10：利用数轴比较有理数的大小 15 考点11：数轴上两点之间的距离 17 考点12：数轴上点的平移（动点问题） 19 考点13：数轴上找原点 21 考点14：数轴上整点覆盖问题 22 考点15：数轴上的规律探究 23 考点16：相反数的定义 24 考点17：化简多重符号 25 考点18：相反数的应用 27 考点19：绝对值的几何意义 28 考点20：求一个数的绝对值 29 考点21：绝对值非负性 31 考点22：绝对值的其他应用 33 考点23：有理数大小比较 35 考点24：有理数大小比较的实际应用 35 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 42 知识点梳理01：具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点梳理02：正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点梳理03：有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点梳理04：有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点梳理05：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点梳理06：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点梳理07：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点梳理08：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点梳理09：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点梳理10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点梳理11：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【思路引导】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【规范解答】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：；负数有：． 【思路引导】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【规范解答】解：根据正数的定义可得正数有：； 根据负数的定义可得负数有：． 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【思路引导】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【规范解答】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【规范解答】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【规范解答】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【规范解答】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）把下面的有理数填入它所属于的集合的大括号内：，，，，，，，． 正数集合{______…}； 整数集合{______…}； 分数集合{______…}； 有理数集合{______…} 【答案】，，；，0，，；，，，；，，，0，，，，． 【思路引导】本题考查了正数、整数、分数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、整数、分数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】解：， 正数集合{，，；…}； 整数集合{，0，，；…}； 分数集合{，，，；…}； 有理数集合{，，，0，，，，；…} 故答案为：，，；，0，，；，，，；，，，0，，，，． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【规范解答】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 考点5：0的意义 【典例精讲】（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【规范解答】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【变式训练】（20-21七年级上·甘肃定西·期末）下列说法正确的有 （      ） ①0是绝对值最小的有理数；               ②－a是负数； ③任一个有理数的绝对值都是正数；       ④数轴上原点两侧的数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】根据绝对值，可判断①③，根据正负数可判断②，根据相反数，可判断④． 【规范解答】解：①|0|=0，任何非0的绝对值都大于0，故①正确； ②当a≤0时，-a是非负数，故②错误； ③0的绝对值是0，0无正负之分，故③错误； ④数轴上原点两侧的数符号相反，但不一定是互为相反数，此结论错误 正确的结论只有1个， 故选：A 【考点剖析】本题主要考查数轴，有理数，相反数，解题的关键是掌握有理数的有关概念、数轴的概念等知识点． 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，，，，，，，． (1)正数：__________________________； (2)非负整数：________________________； (3)整数：__________________________； (4)负分数：___________________________． 【答案】(1)6，2.4，，， (2)6，0， (3)6，，0，， (4)，，， 【思路引导】本题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）大于0的数叫正数； （2）非负整数包括正整数和零； （3）整数包括正整数、0、负整数； （4）在正数前面加“-”的分数． 【规范解答】（1）正数：6，2.4，，， （2）非负整数：6，0， （3）整数：6，，0，， （4）负分数：，，， 【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，，， (1)负数集合：｛                    …｝； (2)分数集合：｛                    …｝； (3)整数集合：｛                    …｝． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，0，2006，， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数，化简多重符号和计算绝对值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据负数小于0进行求解即； （2）根据分数包括正分数和负分数进行求解即可 （3）根据整数的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 负数集合：{，，} （2）解：分数集合：{，，，} （3）解：整数集合：{，0，2006，，} 考点7：带”非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      }； (2)分数集合{                                      }； (3)非正数集合{                                      }； (4)正有理数集合{                           }． 【答案】(1)0，11， (2)6.5， (3)，0， (4)6.5，，11 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键． 根据有理数的分类对各数进行归类即可． 【规范解答】（1）整数集合{0，11，…}； （2）分数集合{6.5，…}； （3）非正数集合{，0，…}； （4）正有理数集合{6.5，，11…}． 【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）现有数：，，，，，． (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数； (2)按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (3)这些数中非负数有______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了求绝对值，在数轴上表示有理数，运用数轴比较有理数的大小及有理数的分类． （1）先求出，再在数轴上表示有理数即可； （2）运用数轴比较有理数的大小，即可作答； （3）根据非负数的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：， 在数轴表示情况如下： （2）解：由（1）中数轴可得：； （3）解：这些数中非负数有：． 考点8：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：并用“”连接．，，， ．    【答案】数轴见解析， 【思路引导】根据数轴的定义补全即可；在数轴上标出各数，由右边点表示的数比左边点表示的数大进行比较即可求解． 【规范解答】解：如图所示：    在数轴上表示各数如下：    由数轴得： ． 【考点剖析】本题考查了数轴的定义，在数轴上标出数，利用数轴比较有理数大小，理解定义，掌握比较大小方法是解题的关键． 【变式训练】（22-23七年级上·重庆巴南·期中）请把下面的直线补充为完整的数轴，将下列各数表示在数轴上，并用“”符号把这些数连接起来． 0，，，， 【答案】补充为完整的数轴和各数表示图见解析， 【思路引导】先把数化简，再数轴上表示，再根据数轴上的点从左到右依次增大求解． 【规范解答】解：，，，， 补充为完整的数轴和各数在数轴上的位置如图所示： 用“”符号把这些数连接起来为： 【考点剖析】本题考查了有理数的大小比较：比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． 考点9：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【答案】(1)D， (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加法、减法、数轴；关键是能利用数轴准确表示有理数，并能列式计算 （1）根据点B表示的数和的值即可求出点D表示的数，进而求得原点的位置，然后根据A在点B左侧即可解答； （2）根据的长度即可求单位长度． 【规范解答】（1）解：点B表示的数为，， 点C表示的数为：，点D表示的数为：， ∴原点所在的位置是点处； 点A表示的数为：， 故答案为：，， （2）当点D表示的数是32，点B表示的数为． ， 相邻两点之间的距离， ． 【变式训练】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）在数轴上表示下列各数：，4，，2.5，0，并把它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】见解析 【思路引导】先明确各数在数轴上的位置，将其准确表示出来，再根据数轴上数的大小规律进行排序．本题主要考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的分布规律是解题的关键． 【规范解答】解：将、、、、在数轴上表示出来，如图， ∵数轴上左边的数小于右边的数 ∴． 考点10：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）画出数轴，在数轴上画出表示下列各数的点，并按照从大到小的顺序排列：，，，3 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 先化简数，再把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【规范解答】∵， ∴在数轴上表示下列各数如图所示： 数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得： ． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴结合移动方向，可得答案； （2）先表示表示的数，再表示各数，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意，得点C表示的数为0，点D表示的数为． 点C，D的位置如图①所示． （2）解：由题意可得：表示的数为， ∴点E的位置如图②所示． 用“<”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来为． 考点11：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【答案】(1) (2)3 (3)2 (4) 【思路引导】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键． （1）当在和2之间时，； （2）当在3和6之间时，的值最小； （3）当时，的值最小； （4）当时，取最小值． 【规范解答】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7， ∴当时，， ∵x是整数， ∴． 故答案为：； （2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和， 当时，的值最小， 最小值为：， 故答案为：3； （3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和， ∵x为整数， ∴当时，的值最小， ∴最小值为， 故答案为：2； （4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴最小值为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【思路引导】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【规范解答】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 考点12：数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 【答案】(1)①；②或 (2) (3) 【思路引导】本题考查了新概念“变换”、数轴上两点间的距离、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）①由，即可得出对应点表示的数；②设点表示的数为，则点表示的数为，由，解方程即可得； （2）由题意得，解方程即可得； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、，则，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：① ，，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表 示 的 数 为 ， 点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 即点表示的数为或， 故答案为：或； （2）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 考点13：数轴上找原点 【典例精讲】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的意义，由B是的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解． 【规范解答】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查相反数的定义、在数轴上表示点的位置、确定数轴的原点，根据相反数的定义和数轴的单位长度为1，可得数轴上的点A和点C表示的数分别为、2，再根据数轴上点B的位置求解即可． 【规范解答】解：∵数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等， ∴点A和点C表示的数互为相反数， ∵数轴的单位长度为1， ∴的中点是数轴的原点， ∴数轴上的点A和点C表示的数分别为、2， ∴数轴上的点B表示的数是， 故选：D． 考点14：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】根据题意，与的两点之间，表示整数点的有，解答即可． 本题考查了数轴上整数点问题，熟练掌握整数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得与的两点之间，表示整数点的有，有5个， 故选：C． 【变式训练】（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【思路引导】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【规范解答】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 考点15：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【思路引导】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【规范解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【规范解答】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 考点16：相反数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的是有理数的大小比较，解答此题的关键是熟知以下知识：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）根据“两个负数，绝对值大的其值反而小”比较即可； （2）先计算出绝对值，根据“正数大于一切负数”比较即可； （3）先化简即可求解． 【规范解答】（1）解：因为，，且，所以； （2），因为，所以； （3），，所以． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断即可． 【规范解答】解： 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数 的相反数是 故选：A． 考点17：化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，有理数的大小比较； （1）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （2）先化简各数，再根据负数小于正数比较大小即可； （3）先化简各数，再根据两个正数比较大小的方法比较即可； （4）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的反而小即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴，，而， ∴. 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来． ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴上表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴上的点表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【规范解答】解：，， 在数轴上标出如图， 根据数轴特点：． 考点18：相反数的应用 【典例精讲】如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【思路引导】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    【变式训练】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 【答案】2021 【思路引导】本题考查了相反数和绝对值的定义，根据题意可得，，或，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】根据题意，，或， ∴或， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2021． 考点19：绝对值的几何意义 【典例精讲】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）如图，这两个圈分别表示负数集合和整数集合． (1)把下面的有理数填入它所属的集合的圈内： ，，0，18.3，，，15，，； (2)在图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ (3)在（1）的有理数中，最大的负数是__________，绝对值最小的数是__________． 【答案】(1)见详解； (2)负整数； (3)，0． 【思路引导】（1）根据负数和整数的定义在圈中将数正确分类即可； （2）两个圈的重叠部分表示负整数集合； （3）先将（1）中所有负数比较大小，即可得出最大的负数．根据0的绝对值是0，可得绝对值最小的数是0． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：这两个圈的重叠部分表示负整数集合． （3）解： ， ∴（1）的有理数中，最大的负数是，绝对值最小的数是0． 故答案为：，0． 【考点剖析】本题考查了有理数的分类，有理数比较大小，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴的定义、绝对值的意义，掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义以及绝对值的意义得出点的绝对值的范围，然后比较范围即可解答． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是， 故选：A． 考点20：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）比较大小： （1） 0；         （2） ；         （3） ； （4） ；         （5） ；         （6） ． 【答案】 【思路引导】本题主要查了有理数的大小比较，绝对值的性质． （1）根据有理数的大小比较法则解答，即可； （2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （4）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （5）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （6）先将两个数进行化简，再根据有理数的大小比较法则解答，即可． 【规范解答】解：（1）根据正数大于0，0大于负数，则 ． 故答案为：． （2）∵，且， ∴； 故答案为：．        （3），且， ∴； 故答案为：． （4）∵，且， ∴； 故答案为：． （5）∵，且， ∴； 故答案为：． （6）∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，0，，，，， 整数集合：{______}， 分数集合：{______}， 正数集合：{______}， 负数集合：{______}． 【答案】详见解析 【思路引导】本题考查了整数，分数，正数，负数的概念．熟练掌握整数，分数，正数，负数的概念是解题的关键． 整数包括正整数、0、负整数；分数是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数；正数是大于0的数；负数是小于0的数．根据这些数的定义，对给定的数进行分类即可． 【规范解答】解：整数集合：， 分数集合：， 正数集合：， 负数集合： 考点21：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【思路引导】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【规范解答】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，1，5 (2) 【思路引导】此题考查相反数和绝对值的应用，数轴上两点的距离等知识，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，，，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5． （2）解：由题意可知：， ∴，，， ∴ ． 考点22：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)记为的排球最接近标准质量． 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【规范解答】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐；见解析 (2)3人 【思路引导】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：小璐的视力最差． ， 最小，与标准差的最多， 小璐的视力最差． （2）解：，，，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 考点23：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在，，，四个数中，最大的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，根据负数比较大小，绝对值大的反而小进行比较大小即可． 【规范解答】解：，，，， ∵， ∴， 故最大的数为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级上·天津东丽·期末）比较大小： 0.5．（填“”或“”） 【答案】 【思路引导】根据正数大于负数的原则来比较和的大小．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数大于负数是解题的关键． 【规范解答】解：∵是负数，是正数， ∴正数大于负数， ∴． 故答案为：． 考点24：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如下表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/ 其中最低气温最大的城市是（    ） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【答案】B 【思路引导】本题考查正负数的应用、有理数的大小比较，理解正负数的意义，根据负数比较大小，绝对值大的反而小得到所给数据的大小，进而可求解． 【规范解答】解：在所给数据中，由得， ∴最低气温最大的城市是大连， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 1．（2025·山东青岛·中考真题）的相反数为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了相反数的定义．直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【规范解答】解：的相反数为． 故选：B． 2．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【规范解答】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 3．（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，根据正负数表示一对相反意义的量，向前为正，则向后为负，进行判断即可． 【规范解答】解：向前运动记作，那么向后运动，记作； 故选：C． 4．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【规范解答】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上 记作，则零下 记作 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【规范解答】解：零上 记作，则零下 记作 ．， 故答案为：． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数的大小比较．根据有理数的大小比较法则解答即可． 【规范解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）在3，0，，这四个数中，最小的数是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数大小比较的方法解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴最小的数是． 故选D． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的坐标特征． 逐一判断即可． 【规范解答】解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）填空题． （1）如果温度上升记作，那么下降记作 ； （2）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示 元． 【答案】 支出 【思路引导】本题考查了正负数的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合温度上升记作，则下降记作，即可作答． （2）因为支出用负数表示，故元表示支出元，即可作答． 【规范解答】解：（1）如果温度上升记作，那么下降记作； 故答案为： （2）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示支出元． 故答案为：支出 5．（24-25七年级上·河南周口·开学考试）在，，，，五个数中，最大的是 ，正数有 个，负数有 个，和， 更接近． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，正负数概念，绝对值定义，根据有理数大小比较方法，正负数概念，绝对值定义逐一确定即可，掌握相关概念是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴最大的是，正数有，共个，负数有，共个， ∵， ∴更接近， 故答案为：，，，． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）数轴上表示和2的点之间的距离是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了数轴上两点间的距离公式的应用，数轴上两点间的距离等于这两点所表示数的差得绝对值．直接利用数轴上两点间的距离公式计算即可； 【规范解答】解：数轴上表示和2的点之间的距离是， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业），，是数轴上的三个点，点表示数3，且线段的长为4，为的中点．点C表示的数是多少？ 【答案】1或5 【思路引导】本题考查数轴上两点之间距离的计算，分点在点的左侧和右侧两种情况讨论即可解决问题． 【规范解答】解：分两种情况： ①当点在点的左侧时， 因为点表示数3，且线段的长为4， 所以点表示， 因为为的中点， 所以点表示的数是； ②当点在点的右侧时， 因为点表示数3，且线段的长为4， 所以点表示， 因为为的中点， 所以点表示的数是． 综上，点表示的数是1或5． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）我们已经学过比较两个正数的大小，那么怎样比较两个有理数的大小呢？ (1)任意写出两个正数，在数轴上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？ (2)和哪个温度高？与哪个温度高？和哪个温度高？这些关系在温度计上表现为怎样的情形？ 【答案】(1)见解析，较大的数的对应点在较小的数的对应点的右边 (2)温度高；温度高；温度高；温度越高，位置越往上 【思路引导】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）任意写出两个正数：1和2，再将它们表示的数轴上，然后根据数轴的性质即可得它们的位置关系； （2）找出两个温度中，数较大的即可得；由此即可得这些关系在温度计上表现为：温度越高，位置越往上． 【规范解答】（1）解：（1）任意写出两个正数：1和2， 在数轴上画出表示1和2的点如下： 较大的数与较小的数的对应点的位置关系是：较大的数的对应点在较小的数的对应点的右边． （2）解：在和中，温度高， 在与中，温度高， 在和中，温度高， 这些关系在温度计上表现为：温度越高，位置越往上． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】考查了有理数大小的比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． （1）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （2）先将化简，再根据负数都小于0即可得出结论； （3）先分别化简，根据负数与正数的特点即可得出结论； （4）根据负数比较大小的法则进行比较即可． 【规范解答】（1）解：因为，，且， 所以； （2）化简， 因为负数小于0，所以； （3）分别化简两数，得，， 因为正数都大于负数， 所以； （4）因为，， 从而， 所以． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【思路引导】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【规范解答】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 培优拔高 11．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值、正数和负数的应用，求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最大的数即可，掌握绝对值和正数和负数的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，，， ∴ ∴与标准差值最大的是， 故选：． 12．（24-25七年级上·北京·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数。因此，求一个数的相反数只需改变其符号。 【规范解答】解：的相反数是， 故选A． 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 14．（11-12七年级上·江苏·单元测试）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【规范解答】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【思路引导】（1）根据，，，得 解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【规范解答】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 16．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据数轴判断有理数的大小关系，绝对值的意义，根据数轴可知：，，，即可得出． 【规范解答】解：根据数轴可知：，，， 则， 故答案为： 17．（24-25七年级下·全国·假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…； 正整数集合：｛ ｝…； 分数集合：｛ ｝… 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数定义及其分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：；；． 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）画出数轴，并解答问题： (1)给出下列各数：5，，，1．请将它们在数轴上表示出来，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来． (2)在数轴上标出表示的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的点对应的数，并在数轴上表示出来． 【答案】(1)，见解析 (2)3或，见解析 【思路引导】（1）先在数轴上表示，再根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，计算即可． （2）先确定平移后的数，向右平移时，表示的数为；向左平移时，表示的数为，解答即可； 本题考查了数轴表示数，有理数的大小比较，点的平移，点表示数，熟练掌握平移，有理数的大小是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，数轴表示如下： 故． （2）解：根据题意，得点A表示的数是， 点A向右平移时，表示的数为；向左平移时，表示的数为， 画图如下： 19．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ； ； ， ， ， ， ， ． 正数集合{_________________…}； 负分数集合{_________________…}； 非负整数集合{_________________…}； 有理数集合{_________________…}． 【答案】；；；． 【思路引导】本题考查了正数、负分数、非负整数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、负分数、非负整数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】解：， 正数集合{…}； 负分数集合{…}； 非负整数集合{…}； 有理数集合{…}； 故答案为：；；；． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【思路引导】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【考点剖析】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识有理数 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：具有相反意义的量 2 知识点梳理02：正数、负数的定义 2 知识点梳理03：有理数 3 知识点梳理04：有理数的分类 3 知识点梳理05：相反数 3 知识点梳理06：绝对值的意义 3 知识点梳理07：绝对值的性质 4 知识点梳理08：比较有理数的大小 4 知识点梳理09：数轴（重点） 4 知识点梳理10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 4 知识点梳理11：数轴法比较有理数的大小 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：正负数的定义 5 考点2：相反意义的量 6 考点3：正负数的实际应用 6 考点4：有理数的定义 7 考点5：0的意义 7 考点6：有理数的分类 7 考点7：带”非”字的有理数 8 考点8：数轴的三要素及其画法 8 考点9：用数轴上的点表示有理数 9 考点10：利用数轴比较有理数的大小 10 考点11：数轴上两点之间的距离 10 考点12：数轴上点的平移（动点问题） 11 考点13：数轴上找原点 12 考点14：数轴上整点覆盖问题 12 考点15：数轴上的规律探究 13 考点16：相反数的定义 13 考点17：化简多重符号 14 考点18：相反数的应用 14 考点19：绝对值的几何意义 15 考点20：求一个数的绝对值 15 考点21：绝对值非负性 16 考点22：绝对值的其他应用 16 考点23：有理数大小比较 17 考点24：有理数大小比较的实际应用 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 20 知识点梳理01：具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 知识点梳理02：正数、负数的定义 1.正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 知识点梳理03：有理数 整数和分数统称为有理数，有理数都可以写成分数的形式。 特别提醒 1. 非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了.奇数和偶数也可以是负数 . 3. 自然数包括 0 和正整数 . 知识点梳理04：有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点梳理05：相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点梳理06：绝对值的意义 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点梳理07：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点梳理08：比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点梳理09：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 知识点梳理10：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 知识点梳理11：数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）把下面的有理数填入它所属于的集合的大括号内：，，，，，，，． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 有理数集合{ }； 【变式训练】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 考点5：0的意义 【典例精讲】（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（20-21七年级上·甘肃定西·期末）下列说法正确的有 （      ） ①0是绝对值最小的有理数；               ②－a是负数； ③任一个有理数的绝对值都是正数；       ④数轴上原点两侧的数互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，，，，，，，． (1)正数：__________________________； (2)非负整数：________________________； (3)整数：__________________________； (4)负分数：___________________________． 【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，，， (1)负数集合：｛                    ｝； (2)分数集合：｛                    ｝； (3)整数集合：｛                    ｝． 考点7：带”非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·期中）把下列各数填写在相应的集合中． 6.5，，0，11，， (1)整数集合{                                      }； (2)分数集合{                                      }； (3)非正数集合{                                      }； (4)正有理数集合{                           }． 【变式训练】（24-25七年级上·广东东莞·期中）现有数：，，，，，． (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数； (2)按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (3)这些数中非负数有______． 考点8：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：并用“”连接．，，， ．    【变式训练】（22-23七年级上·重庆巴南·期中）请把下面的直线补充为完整的数轴，将下列各数表示在数轴上，并用“”符号把这些数连接起来． 0，，，， 考点9：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【变式训练】（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）在数轴上表示下列各数：，4，，2.5，0，并把它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． 考点10：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·期末）画出数轴，在数轴上画出表示下列各数的点，并按照从大到小的顺序排列：，，，3 【变式训练】（24-25七年级上·全国·随堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 考点11：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)是所有符合成立条件的整数，则___________； (2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________； (3)当为整数时，的最小值为___________； (4)求的最小值． 【变式训练】（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 考点12：数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 考点13：数轴上找原点 【典例精讲】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴的单位长度为1，数轴上的点A和点C表示的数的绝对值相等，那么可以判断点B表示的数是（     ）    A． B． C． D． 考点14：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练】（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 考点15：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练】（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 考点16：相反数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小． (1)与； (2)与； (3)与． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 考点17：化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1) 和； (2)和； (2) 和； (4)和． 【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将各数连接起来． ，，，，，． 考点18：相反数的应用 【典例精讲】如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【变式训练】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 考点19：绝对值的几何意义 【典例精讲】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）如图，这两个圈分别表示负数集合和整数集合． (1)把下面的有理数填入它所属的集合的圈内： ，，0，18.3，，，15，，； (2)在图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ (3)在（1）的有理数中，最大的负数是__________，绝对值最小的数是__________． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 考点20：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）比较大小： （1） 0；         （2） ；         （3） ； （4） ；         （5） ；         （6） ． 【变式训练】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，0，，，，， 整数集合：{ }， 分数集合：{ }， 正数集合：{ }， 负数集合：{ }， 考点21：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 考点22：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 考点23：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）在，，，四个数中，最大的数是 ． 【变式训练】（24-25七年级上·天津东丽·期末）比较大小： 0.5．（填“”或“”） 考点24：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如下表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/ 其中最低气温最大的城市是（    ） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【变式训练】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 1．（2025·山东青岛·中考真题）的相反数为（   ） A． B．6 C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 3．（2025·贵州·中考真题）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（  ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上 记作，则零下 记作 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D．3 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）在3，0，，这四个数中，最小的数是（   ） A．3 B．0 C． D． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）填空题． （1）如果温度上升记作，那么下降记作 ； （2）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么元表示 元． 5．（24-25七年级上·河南周口·开学考试）在，，，，五个数中，最大的是 ，正数有 个，负数有 个，和， 更接近． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）数轴上表示和2的点之间的距离是 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业），，是数轴上的三个点，点表示数3，且线段的长为4，为的中点．点C表示的数是多少？ 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）我们已经学过比较两个正数的大小，那么怎样比较两个有理数的大小呢？ (1)任意写出两个正数，在数轴上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？ (2)和哪个温度高？与哪个温度高？和哪个温度高？这些关系在温度计上表现为怎样的情形？ 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2) 与0； (3)与； (4)与． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 培优拔高 11．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个足球中，质量与标准差值最大的是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·北京·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 14．（11-12七年级上·江苏·单元测试）数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 16．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，，的大小关系，用“”连接起来 ． 17．（24-25七年级下·全国·假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝； 正整数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝ 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）画出数轴，并解答问题： (1)给出下列各数：5，，，1．请将它们在数轴上表示出来，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来． (2)在数轴上标出表示的点A，写出将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的点对应的数，并在数轴上表示出来． 19．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ； ； ， ， ， ， ， ． 正数集合{_________________}； 负分数集合{_________________}； 非负整数集合{_________________}； 有理数集合{_________________}． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$