11.4《无理数与实数》认识无理数 课件 2025--2026学年北京版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“认识无理数”，通过两个边长为1的小正方形剪拼大正方形的拼图活动导入，从有理数复习出发，引导学生探究大正方形边长a是否为有理数，搭建从有理数到无理数的认知支架，帮助理解无理数产生的实际背景。 其亮点是通过拼图、画线段、估算等实践活动，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识），如“数”“形”结合分析a非整数非分数，用无限逼近法估算a值。小结明确有理数判断方法，结合勾股定理实例巩固，学生能提升探究能力，教师可借助丰富活动实施直观教学。

11.4无理数与实数 ——认识无理数 情境引入 准备好了吗？一起去探索吧！ 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由； 3.通过实践活动，体会到无理数在现实生活中大量存在； 4.感受无理数的广泛性，提高学生学习的自主性. 重点 难点 学习目标 数和 数统称为有理数. 分数分为 . 整数分为_____________________. 整 分 正整数、0、负整数 正分数、负分数 什么是有理数？ 有理数是如何分类的呢？ 复习回顾 探究 活动一 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 1 1 1 探究 活动一 问题1：设大正方形的边长为a，则a满足 什么条件？ 追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？ 因为S大正方形=2，所以a2=2. 从“数”的角度： 因为 a2=2, 而12=1, 22=4 所以 12<a2<22 , 所以 1< a< 2，a不是整数 探究 活动一 取出一个三角形 从“形”的角度： 在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系： AC-BC< a<AC+BC 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 B A C C A B 发现：分数都可以写成 有限小数或无限循环小数 发现：整数也可以写成 小数点后是0的小数 归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数 的形式；反之任何有限小数或者无限循环小数都是有理数. ， 画一画（1） 在下面的正方形网格中，画出一条长度 是有理数的线段和一条长度不是有理数的线段 面积为2的正方形的边长a究竟是多少？ 1<a<2 估算无理数的方法一 无限逼近法 怎样估算 x2=31 的近似值？ 估算x的近似值，可以按照如下顺序： 1．因为 ,所以x的值应在5与6之间,等于5加上一个纯小数. 2.设x=5+a,平方得,由于a是纯小数,所以a2就更小了,在估算的值时可以忽略不计…则估计：解得，这样就得到了x的第一个近似值5.6 . 估算无理数的方法二 方程法 a2=2 a2=2 归纳：无限不循环小数称为无理数 做一做 2 1 解：(1)设直角三角形的斜边长为b， 根据勾股定理得：b2=12+22=5， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 ∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. b S b b b (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 做一做 解：(2)∵正方形的边长为b， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 而S正方形=5，得出b2=5 ∴b满足 b2=5. b b b S (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 2 1 做一做 解：(3)∵b2=5，4<b2<9 ，∴ 2<b<3， ∴b不是整数； ∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而b2=5是整数， ∴b不是分数. b既不是整数，也不是分数，那么b一定不是有理数. 2 1 (1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 归纳 数a，b确实存在，但都不是有理数. 2 1 b a2=2 b2=5 a a a a 1 1 1 1 b b b 认识无理数 如果一个数既不是整数，也不是分数，那么这个数一定不是有理数. 若a2=2，b2=5，则数a，b确实存在，但都不是有理数. 如何判断一个数是否为有理数： 注意： 课堂小结 1.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 解析：如图：AB=1，AD=3， 根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5， ∴线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段. B A D E C 根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2， ∵ 1<AC2<4 ， ∴ AC不是整数； ∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2， ∴ AC不是分数，即AC为长度不是有理数的线段. 同理可得：BE，CD为长度不是有理数的线段. 随堂练习 2.已知a2=17，则a是(　　) A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 D 3．正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4．以下各正方形的边长不是有理数的是（ ） A．面积为25的正方形 B.面积为 的正方形 C．面积为8的正方形 D．面积为1.44的正方形 D C 算一算 请同学们借助计算器进行探索 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.988 1<S<2.016 4 1.414<a<1.415 1.999 396<S<2.002 225 1.414 2<a<1.414 3 1.999 961 64<S<2.000 244 49 要点归纳 0.101 001 000 1… （两个1之间依次多1个0） 无限不循环小数称为无理数. 如π=3.14159265…， $$